Номер 21.21, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.21. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 3\sin(2x);$

2) $3 - 2\sin(3x);$

3) $4 - 3\cos(2x);$

4) $2 - 0.5\cos(x).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражений мы будем использовать свойство ограниченности тригонометрических функций синуса и косинуса. Область значений для $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $\alpha$ выполняются неравенства:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
$-1 \le \cos\alpha \le 1$

1) $1 + 3\sin2x$

Оценим значение выражения, исходя из области значений функции синус.
1. Начнем с основного неравенства для синуса:
$-1 \le \sin2x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется, так как 3 — положительное число:
$3 \cdot (-1) \le 3\sin2x \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3\sin2x \le 3$
3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-3 + 1 \le 1 + 3\sin2x \le 3 + 1$
$-2 \le 1 + 3\sin2x \le 4$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее — 4.
Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 4.

2) $3 - 2\sin3x$

Оценим значение выражения, исходя из области значений функции синус.
1. Основное неравенство для синуса:
$-1 \le \sin3x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на -2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-2) \cdot (-1) \ge -2\sin3x \ge (-2) \cdot 1$
$2 \ge -2\sin3x \ge -2$
Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-2 \le -2\sin3x \le 2$
3. Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-2 + 3 \le 3 - 2\sin3x \le 2 + 3$
$1 \le 3 - 2\sin3x \le 5$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1, а наибольшее — 5.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 5.

3) $4 - 3\cos2x$

Оценим значение выражения, исходя из области значений функции косинус.
1. Основное неравенство для косинуса:
$-1 \le \cos2x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на -3. Знаки неравенства меняются на противоположные, так как -3 — отрицательное число:
$(-3) \cdot (-1) \ge -3\cos2x \ge (-3) \cdot 1$
$3 \ge -3\cos2x \ge -3$
Запишем в стандартном виде:
$-3 \le -3\cos2x \le 3$
3. Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$-3 + 4 \le 4 - 3\cos2x \le 3 + 4$
$1 \le 4 - 3\cos2x \le 7$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1, а наибольшее — 7.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 7.

4) $2 - 0,5\cos x$

Оценим значение выражения, исходя из области значений функции косинус.
1. Основное неравенство для косинуса:
$-1 \le \cos x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на -0,5. Знаки неравенства меняются на противоположные, так как -0,5 — отрицательное число:
$(-0.5) \cdot (-1) \ge -0.5\cos x \ge (-0.5) \cdot 1$
$0.5 \ge -0.5\cos x \ge -0.5$
Запишем в стандартном виде:
$-0.5 \le -0.5\cos x \le 0.5$
3. Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-0.5 + 2 \le 2 - 0.5\cos x \le 0.5 + 2$
$1.5 \le 2 - 0.5\cos x \le 2.5$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1,5, а наибольшее — 2,5.
Ответ: наименьшее значение 1,5, наибольшее значение 2,5.