Номер 21.19, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.19. Докажите, что если $0 < \alpha < 90^\circ$, то $\sin\alpha + \cos\alpha > 1$.

Для доказательства данного неравенства можно использовать несколько подходов.

Способ 1. Алгебраический

Рассмотрим доказываемое неравенство: $\sin\alpha + \cos\alpha > 1$.

По условию угол $\alpha$ находится в диапазоне $0 < \alpha < 90^\circ$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти значения синуса и косинуса строго положительны: $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$. Следовательно, их сумма $\sin\alpha + \cos\alpha$ также является положительным числом. Поскольку обе части неравенства (левая и правая) положительны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 > 1^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha > 1$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha > 1$

$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha > 1$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$2\sin\alpha\cos\alpha > 0$

Так как для $0 < \alpha < 90^\circ$ мы имеем $\sin\alpha > 0$ и $\cos\alpha > 0$, то их произведение $\sin\alpha\cos\alpha$ также будет положительным. Умножение на 2 не меняет знака. Таким образом, мы получили верное неравенство $2\sin\alpha\cos\alpha > 0$.

Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство $\sin\alpha + \cos\alpha > 1$ также является верным для заданного диапазона $\alpha$.

Способ 2. Геометрический

Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат $O(0,0)$. Для угла $\alpha$ ($0 < \alpha < 90^\circ$) точка $P$ на окружности имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Построим прямоугольный треугольник $OAP$ с вершинами в точках $O(0,0)$, $A(\cos\alpha, 0)$ и $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$.

В этом треугольнике катет $OA$ лежит на оси Ox, его длина равна $\cos\alpha$. Катет $AP$ параллелен оси Oy, его длина равна $\sin\alpha$. Гипотенуза $OP$ является радиусом единичной окружности, поэтому её длина равна 1.

Для любого невырожденного треугольника справедливо неравенство треугольника: сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Так как $0 < \alpha < 90^\circ$, наш треугольник не является вырожденным (не схлопывается в линию).

Применим неравенство треугольника к сторонам $OA$, $AP$ и $OP$:

$OA + AP > OP$

Подставим длины сторон в это неравенство:

$\cos\alpha + \sin\alpha > 1$

Геометрически это означает, что путь из точки O в точку P по ломаной линии O-A-P длиннее, чем по прямой O-P. Таким образом, неравенство доказано.

Способ 3. Метод вспомогательного угла

Преобразуем сумму $\sin\alpha + \cos\alpha$. Для этого умножим и разделим выражение на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha\right)$

Мы знаем, что $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на соответствующие тригонометрические функции:

$\sqrt{2}(\sin\alpha\cos(45^\circ) + \cos\alpha\sin(45^\circ))$

Выражение в скобках является развернутой формулой синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. Применим её:

$\sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha + 45^\circ)$

Теперь исходное неравенство $\sin\alpha + \cos\alpha > 1$ можно переписать в виде:

$\sqrt{2}\sin(\alpha + 45^\circ) > 1$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\sin(\alpha + 45^\circ) > \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь определим, в каком диапазоне находится угол $\alpha + 45^\circ$. Из условия $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ следует:

$0^\circ + 45^\circ < \alpha + 45^\circ < 90^\circ + 45^\circ$

$45^\circ < \alpha + 45^\circ < 135^\circ$

На интервале $(45^\circ, 135^\circ)$ функция синуса принимает значения от $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ до $\sin(90^\circ)=1$ и обратно до $\sin(135^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Во всех точках внутри этого интервала значение синуса строго больше $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Поскольку $45^\circ < \alpha + 45^\circ < 135^\circ$, неравенство $\sin(\alpha + 45^\circ) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ выполняется. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.