Номер 21.23, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.23. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + \sin^2 2x$;

2) $4 - \sin^4 3x$;

3) $4 - 3 |\cos2x|$;

4) $2,4 - 0,5 \cos^2x$.

1) $1 + \sin^2{2x}$
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения воспользуемся свойствами функции синус.
Мы знаем, что область значений функции $y = \sin(t)$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$.
При возведении в квадрат, значения синуса становятся неотрицательными. Таким образом, область значений для $\sin^2{2x}$ — это отрезок $[0; 1]$, то есть $0 \le \sin^2{2x} \le 1$.
Чтобы найти наименьшее значение выражения $1 + \sin^2{2x}$, нужно к 1 прибавить наименьшее значение $\sin^2{2x}$, которое равно 0:
Наименьшее значение: $1 + 0 = 1$.
Чтобы найти наибольшее значение выражения, нужно к 1 прибавить наибольшее значение $\sin^2{2x}$, которое равно 1:
Наибольшее значение: $1 + 1 = 2$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 2.

2) $4 - \sin^4{3x}$
Аналогично предыдущему пункту, начнем с области значений синуса: $-1 \le \sin(3x) \le 1$.
Возведение в четвёртую степень также даёт неотрицательные значения. Область значений для $\sin^4{3x}$ — это отрезок $[0; 1]$, то есть $0 \le \sin^4{3x} \le 1$.
Выражение представляет собой разность, где из 4 вычитается $\sin^4{3x}$. Чтобы получить наибольшее значение выражения, нужно вычесть из 4 наименьшее возможное значение $\sin^4{3x}$, то есть 0:
Наибольшее значение: $4 - 0 = 4$.
Чтобы получить наименьшее значение выражения, нужно вычесть из 4 наибольшее возможное значение $\sin^4{3x}$, то есть 1:
Наименьшее значение: $4 - 1 = 3$.
Ответ: наименьшее значение 3, наибольшее значение 4.

3) $4 - 3|\cos{2x}|$
Область значений функции косинус $y = \cos(t)$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$.
Модуль числа всегда неотрицателен, поэтому область значений для $|\cos{2x}|$ — это отрезок $[0; 1]$, то есть $0 \le |\cos(2x)| \le 1$.
Умножим это неравенство на 3: $0 \le 3|\cos(2x)| \le 3$.
Теперь рассмотрим выражение $4 - 3|\cos{2x}|$. Чтобы найти его наибольшее значение, нужно из 4 вычесть наименьшее значение $3|\cos{2x}|$, то есть 0:
Наибольшее значение: $4 - 0 = 4$.
Чтобы найти наименьшее значение, нужно из 4 вычесть наибольшее значение $3|\cos{2x}|$, то есть 3:
Наименьшее значение: $4 - 3 = 1$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 4.

4) $2,4 - 0,5\cos^2{x}$
Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(x) \le 1$.
Область значений для квадрата косинуса, $\cos^2{x}$, — это отрезок $[0; 1]$, то есть $0 \le \cos^2{x} \le 1$.
Умножим это неравенство на 0,5: $0 \le 0,5\cos^2{x} \le 0,5$.
Рассмотрим выражение $2,4 - 0,5\cos^2{x}$. Чтобы найти его наибольшее значение, нужно из 2,4 вычесть наименьшее значение $0,5\cos^2{x}$, то есть 0:
Наибольшее значение: $2,4 - 0 = 2,4$.
Чтобы найти наименьшее значение, нужно из 2,4 вычесть наибольшее значение $0,5\cos^2{x}$, то есть 0,5:
Наименьшее значение: $2,4 - 0,5 = 1,9$.
Ответ: наименьшее значение 1,9, наибольшее значение 2,4.