Номер 21.25, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.25. Постройте график функции и укажите множество ее значений:

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$;

2) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$;

3) $y = \frac{2x^2}{x}$;

4) $y = \frac{2(x - 1)^2}{x - 1}$.

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Теперь упростим выражение для функции. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$, получив линейную функцию:

$y = x + 2$

Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую $y = x + 2$ с одной "выколотой" точкой, соответствующей значению $x = 2$. Чтобы найти координаты этой точки, подставим $x = 2$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = 2 + 2 = 4$

Следовательно, точка с координатами $(2, 4)$ исключается из графика.

График функции — прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

Множество значений функции — это все возможные значения $y$. Так как из графика исключена точка с ординатой $y=4$, то множество значений функции состоит из всех действительных чисел, кроме 4.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$

Область определения: $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Упростим функцию, разложив числитель на множители:

$y = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$

При $x \neq -3$ сокращаем дробь и получаем:

$y = x - 3$

Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой при $x = -3$. Найдем ординату этой точки:

$y = -3 - 3 = -6$

Следовательно, точка $(-3, -6)$ не принадлежит графику.

График функции — прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3, -6)$.

Множество значений функции — это все действительные числа, за исключением ординаты выколотой точки $y = -6$.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

3) $y = \frac{2x^2}{x}$

Область определения: знаменатель не равен нулю, $x \neq 0$.

Упростим выражение, сократив дробь на $x$ (при $x \neq 0$):

$y = 2x$

Графиком функции является прямая $y = 2x$ с выколотой точкой при $x = 0$. Найдем ординату этой точки:

$y = 2 \cdot 0 = 0$

Точка, которая не принадлежит графику, — это начало координат $(0, 0)$.

График функции — прямая $y = 2x$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

Множество значений функции включает все действительные числа, кроме ординаты выколотой точки $y = 0$.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) $y = \frac{2(x - 1)^2}{x - 1}$

Область определения: $x - 1 \neq 0$, следовательно $x \neq 1$.

Упростим выражение при $x \neq 1$:

$y = 2(x - 1) = 2x - 2$

Графиком функции является прямая $y = 2x - 2$ с выколотой точкой при $x = 1$. Найдем ординату этой точки:

$y = 2(1) - 2 = 0$

Таким образом, точка $(1, 0)$ не принадлежит графику.

График функции — прямая $y = 2x - 2$ с выколотой точкой $(1, 0)$.

Множество значений функции — это все действительные числа, кроме $y = 0$.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.