Номер 21.30, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.30. В каких четвертях $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ принимают значения:

1) одного знака;

2) разных знаков?

Для определения знаков тригонометрических функций $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ в разных четвертях используется единичная окружность в декартовой системе координат. По определению, для точки на окружности, соответствующей углу $\alpha$, ее абсцисса (координата по оси x) равна $\cos \alpha$, а ее ордината (координата по оси y) равна $\sin \alpha$. Знак координаты зависит от четверти, в которой находится точка.

Проанализируем знаки в каждой координатной четверти:
I четверть (от 0° до 90°): x > 0, y > 0. Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha > 0$.
II четверть (от 90° до 180°): x < 0, y > 0. Следовательно, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha > 0$.
III четверть (от 180° до 270°): x < 0, y < 0. Следовательно, $\cos \alpha < 0$ и $\sin \alpha < 0$.
IV четверть (от 270° до 360°): x > 0, y < 0. Следовательно, $\cos \alpha > 0$ и $\sin \alpha < 0$.

1) одного знака;

Функции $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ принимают значения одного знака, когда они обе положительны или обе отрицательны. Исходя из анализа по четвертям, это происходит:
- в I четверти, где $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha > 0$ (оба положительны);
- в III четверти, где $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$ (оба отрицательны).
Ответ: в I и III четвертях.

2) разных знаков?

Функции $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ принимают значения разных знаков, когда одна из них положительна, а другая отрицательна. Исходя из анализа по четвертям, это происходит:
- во II четверти, где $\sin \alpha > 0$ и $\cos \alpha < 0$;
- в IV четверти, где $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha > 0$.
Ответ: во II и IV четвертях.