Номер 21.27, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.27. Упростите выражение:

1) $ \frac{x + a}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{x^3 - a^3}{a^2 - x^2} : \left(1 - \frac{1 + a}{a}\right); $

2) $ \left(\frac{4b + a}{2b} + \frac{6b}{a - 4b}\right) \cdot \left(\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4b^2 - a^2} + 1\right). $

1)

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, затем выполним умножение и деление дробей.

1. Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю $a$:

$1 - \frac{1+a}{a} = \frac{a}{a} - \frac{1+a}{a} = \frac{a - (1+a)}{a} = \frac{a-1-a}{a} = \frac{-1}{a} = -\frac{1}{a}$

2. Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{x + a}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{x^3 - a^3}{a^2 - x^2} : (-\frac{1}{a})$

3. Разложим на множители числитель второй дроби по формуле разности кубов $x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)$ и знаменатель по формуле разности квадратов $a^2-x^2 = (a-x)(a+x)$:

$\frac{x + a}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{(x-a)(x^2 + ax + a^2)}{(a-x)(a+x)}$

4. Сократим общие множители. Заметим, что $(x+a)$ и $(a+x)$ равны, $(x^2+ax+a^2)$ также является общим множителем. Кроме того, $(x-a) = -(a-x)$.

$\frac{\cancel{(x + a)}}{\cancel{x^2 + ax + a^2}} \cdot \frac{-(a-x)(\cancel{x^2 + ax + a^2})}{\cancel{(a-x)}\cancel{(a+x)}} = -1$

5. Выполним последнее действие — деление:

$-1 : (-\frac{1}{a}) = -1 \cdot (-a) = a$

Ответ: $a$.

2)

Упростим выражение, выполнив действия в каждой из скобок, а затем перемножив полученные результаты.

1. Преобразуем выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $2b(a-4b)$:

$\frac{4b + a}{2b} + \frac{6b}{a - 4b} = \frac{(a+4b)(a-4b)}{2b(a-4b)} + \frac{6b \cdot 2b}{2b(a-4b)} = \frac{a^2 - 16b^2 + 12b^2}{2b(a-4b)} = \frac{a^2 - 4b^2}{2b(a-4b)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-4b^2 = (a-2b)(a+2b)$:

$\frac{(a-2b)(a+2b)}{2b(a-4b)}$

2. Преобразуем выражение во второй скобке. Сначала представим 1 как дробь с нужным знаменателем, а также разложим на множители числитель и знаменатель исходной дроби:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4b^2 - a^2} + 1 = \frac{(a-b)^2}{(2b-a)(2b+a)} + \frac{(2b-a)(2b+a)}{(2b-a)(2b+a)}$

Сложим дроби:

$\frac{(a-b)^2 + (2b-a)(2b+a)}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{(a^2-2ab+b^2) + (4b^2-a^2)}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{a^2-2ab+b^2+4b^2-a^2}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{5b^2-2ab}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{b(5b-2a)}{(2b-a)(2b+a)}$

3. Теперь перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$\frac{(a-2b)(a+2b)}{2b(a-4b)} \cdot \frac{b(5b-2a)}{(2b-a)(2b+a)}$

4. Сократим общие множители. Учтем, что $a-2b = -(2b-a)$ и $a+2b = 2b+a$:

$\frac{-(2b-a)(2b+a)}{2b(a-4b)} \cdot \frac{b(5b-2a)}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{-\cancel{(2b-a)}\cancel{(2b+a)}\cancel{b}(5b-2a)}{2\cancel{b}(a-4b)\cancel{(2b-a)}\cancel{(2b+a)}} = \frac{-(5b-2a)}{2(a-4b)} = \frac{2a-5b}{2(a-4b)}$

Ответ: $\frac{2a-5b}{2(a-4b)}$.