Страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

21.21. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + 3\sin(2x);$

2) $3 - 2\sin(3x);$

3) $4 - 3\cos(2x);$

4) $2 - 0.5\cos(x).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражений мы будем использовать свойство ограниченности тригонометрических функций синуса и косинуса. Область значений для $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $\alpha$ выполняются неравенства:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
$-1 \le \cos\alpha \le 1$

1) $1 + 3\sin2x$

Оценим значение выражения, исходя из области значений функции синус.
1. Начнем с основного неравенства для синуса:
$-1 \le \sin2x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется, так как 3 — положительное число:
$3 \cdot (-1) \le 3\sin2x \le 3 \cdot 1$
$-3 \le 3\sin2x \le 3$
3. Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-3 + 1 \le 1 + 3\sin2x \le 3 + 1$
$-2 \le 1 + 3\sin2x \le 4$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -2, а наибольшее — 4.
Ответ: наименьшее значение -2, наибольшее значение 4.

2) $3 - 2\sin3x$

Оценим значение выражения, исходя из области значений функции синус.
1. Основное неравенство для синуса:
$-1 \le \sin3x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на -2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-2) \cdot (-1) \ge -2\sin3x \ge (-2) \cdot 1$
$2 \ge -2\sin3x \ge -2$
Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-2 \le -2\sin3x \le 2$
3. Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$-2 + 3 \le 3 - 2\sin3x \le 2 + 3$
$1 \le 3 - 2\sin3x \le 5$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1, а наибольшее — 5.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 5.

3) $4 - 3\cos2x$

Оценим значение выражения, исходя из области значений функции косинус.
1. Основное неравенство для косинуса:
$-1 \le \cos2x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на -3. Знаки неравенства меняются на противоположные, так как -3 — отрицательное число:
$(-3) \cdot (-1) \ge -3\cos2x \ge (-3) \cdot 1$
$3 \ge -3\cos2x \ge -3$
Запишем в стандартном виде:
$-3 \le -3\cos2x \le 3$
3. Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$-3 + 4 \le 4 - 3\cos2x \le 3 + 4$
$1 \le 4 - 3\cos2x \le 7$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1, а наибольшее — 7.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 7.

4) $2 - 0,5\cos x$

Оценим значение выражения, исходя из области значений функции косинус.
1. Основное неравенство для косинуса:
$-1 \le \cos x \le 1$
2. Умножим все части неравенства на -0,5. Знаки неравенства меняются на противоположные, так как -0,5 — отрицательное число:
$(-0.5) \cdot (-1) \ge -0.5\cos x \ge (-0.5) \cdot 1$
$0.5 \ge -0.5\cos x \ge -0.5$
Запишем в стандартном виде:
$-0.5 \le -0.5\cos x \le 0.5$
3. Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-0.5 + 2 \le 2 - 0.5\cos x \le 0.5 + 2$
$1.5 \le 2 - 0.5\cos x \le 2.5$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1,5, а наибольшее — 2,5.
Ответ: наименьшее значение 1,5, наибольшее значение 2,5.

*21.22. Известно, что функция $y = f(x)$ задана на множестве $R$ и имеет период $T = 4$. При $x \in [0; 4]$ функция задана формулой $y = x^2 - 4x$. Постройте график функции $y = f(x)$ на $R$.

Для построения графика функции $y = f(x)$ на всей числовой прямой $R$ необходимо сначала построить ее график на заданном промежутке, а затем, используя свойство периодичности, продолжить его на всю область определения.

1. Построение графика на отрезке $[0; 4]$.

На отрезке $x \in [0; 4]$ функция задана формулой $y = x^2 - 4x$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_в = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; -4)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат на данном отрезке:

С осью $Oy$: при $x = 0$, $y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.

С осью $Ox$: при $y = 0$, $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$. Корни $x = 0$ и $x = 4$. Точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

Итак, на отрезке $[0; 4]$ график функции представляет собой дугу параболы, проходящую через точки $(0; 0)$, $(4; 0)$ и имеющую вершину в точке $(2; -4)$.

2. Построение графика на множестве $R$.

Известно, что функция является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что $f(x + 4) = f(x)$ для любого $x \in R$. Следовательно, для построения всего графика нужно взять построенный на отрезке $[0; 4]$ фрагмент и параллельно переносить его вдоль оси $Ox$ на $4n$ единиц, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

Таким образом, график функции будет состоять из бесконечно повторяющихся дуг параболы.

Ответ:

21.23. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $1 + \sin^2 2x$;

2) $4 - \sin^4 3x$;

3) $4 - 3 |\cos2x|$;

4) $2,4 - 0,5 \cos^2x$.

1) $1 + \sin^2{2x}$
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения воспользуемся свойствами функции синус.
Мы знаем, что область значений функции $y = \sin(t)$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$.
При возведении в квадрат, значения синуса становятся неотрицательными. Таким образом, область значений для $\sin^2{2x}$ — это отрезок $[0; 1]$, то есть $0 \le \sin^2{2x} \le 1$.
Чтобы найти наименьшее значение выражения $1 + \sin^2{2x}$, нужно к 1 прибавить наименьшее значение $\sin^2{2x}$, которое равно 0:
Наименьшее значение: $1 + 0 = 1$.
Чтобы найти наибольшее значение выражения, нужно к 1 прибавить наибольшее значение $\sin^2{2x}$, которое равно 1:
Наибольшее значение: $1 + 1 = 2$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 2.

2) $4 - \sin^4{3x}$
Аналогично предыдущему пункту, начнем с области значений синуса: $-1 \le \sin(3x) \le 1$.
Возведение в четвёртую степень также даёт неотрицательные значения. Область значений для $\sin^4{3x}$ — это отрезок $[0; 1]$, то есть $0 \le \sin^4{3x} \le 1$.
Выражение представляет собой разность, где из 4 вычитается $\sin^4{3x}$. Чтобы получить наибольшее значение выражения, нужно вычесть из 4 наименьшее возможное значение $\sin^4{3x}$, то есть 0:
Наибольшее значение: $4 - 0 = 4$.
Чтобы получить наименьшее значение выражения, нужно вычесть из 4 наибольшее возможное значение $\sin^4{3x}$, то есть 1:
Наименьшее значение: $4 - 1 = 3$.
Ответ: наименьшее значение 3, наибольшее значение 4.

3) $4 - 3|\cos{2x}|$
Область значений функции косинус $y = \cos(t)$ есть отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$.
Модуль числа всегда неотрицателен, поэтому область значений для $|\cos{2x}|$ — это отрезок $[0; 1]$, то есть $0 \le |\cos(2x)| \le 1$.
Умножим это неравенство на 3: $0 \le 3|\cos(2x)| \le 3$.
Теперь рассмотрим выражение $4 - 3|\cos{2x}|$. Чтобы найти его наибольшее значение, нужно из 4 вычесть наименьшее значение $3|\cos{2x}|$, то есть 0:
Наибольшее значение: $4 - 0 = 4$.
Чтобы найти наименьшее значение, нужно из 4 вычесть наибольшее значение $3|\cos{2x}|$, то есть 3:
Наименьшее значение: $4 - 3 = 1$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 4.

4) $2,4 - 0,5\cos^2{x}$
Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(x) \le 1$.
Область значений для квадрата косинуса, $\cos^2{x}$, — это отрезок $[0; 1]$, то есть $0 \le \cos^2{x} \le 1$.
Умножим это неравенство на 0,5: $0 \le 0,5\cos^2{x} \le 0,5$.
Рассмотрим выражение $2,4 - 0,5\cos^2{x}$. Чтобы найти его наибольшее значение, нужно из 2,4 вычесть наименьшее значение $0,5\cos^2{x}$, то есть 0:
Наибольшее значение: $2,4 - 0 = 2,4$.
Чтобы найти наименьшее значение, нужно из 2,4 вычесть наибольшее значение $0,5\cos^2{x}$, то есть 0,5:
Наименьшее значение: $2,4 - 0,5 = 1,9$.
Ответ: наименьшее значение 1,9, наибольшее значение 2,4.

*21.24. Найдите период функции $y = f(x):$

1) $y = \sin2\pi x + \cos4\pi x;$

2) $y = \sin\pi x + \cos2\pi x;$

3) $y = \cos4\pi x + \sin8\pi x;$

4) $y = \operatorname{tg}4\pi x + \sin2\pi x.$

1) Чтобы найти период функции $y = \sin(2\pi x) + \cos(4\pi x)$, нужно найти периоды каждого слагаемого, а затем их наименьшее общее кратное (НОК).
Функция $f_1(x) = \sin(2\pi x)$ имеет вид $\sin(kx)$, где $k=2\pi$. Её основной период $T_1$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
$T_1 = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$.
Функция $f_2(x) = \cos(4\pi x)$ имеет вид $\cos(kx)$, где $k=4\pi$. Её основной период $T_2$ вычисляется по той же формуле.
$T_2 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.
Период $T$ функции $y$ равен наименьшему общему кратному периодов $T_1$ и $T_2$.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, \frac{1}{2}) = 1$.
Ответ: 1.

2) Рассмотрим функцию $y = \sin(\pi x) + \cos(2\pi x)$. Она является суммой функций $f_1(x) = \sin(\pi x)$ и $f_2(x) = \cos(2\pi x)$.
Найдем период для $f_1(x) = \sin(\pi x)$. Здесь $k=\pi$.
$T_1 = \frac{2\pi}{|\pi|} = 2$.
Найдем период для $f_2(x) = \cos(2\pi x)$. Здесь $k=2\pi$.
$T_2 = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.
Период $T$ исходной функции равен НОК периодов слагаемых.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2, 1) = 2$.
Ответ: 2.

3) Рассмотрим функцию $y = \cos(4\pi x) + \sin(8\pi x)$. Она является суммой функций $f_1(x) = \cos(4\pi x)$ и $f_2(x) = \sin(8\pi x)$.
Найдем период для $f_1(x) = \cos(4\pi x)$. Здесь $k=4\pi$.
$T_1 = \frac{2\pi}{|4\pi|} = \frac{1}{2}$.
Найдем период для $f_2(x) = \sin(8\pi x)$. Здесь $k=8\pi$.
$T_2 = \frac{2\pi}{|8\pi|} = \frac{1}{4}$.
Период $T$ исходной функции равен НОК периодов слагаемых.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Рассмотрим функцию $y = \text{tg}(4\pi x) + \sin(2\pi x)$. Она является суммой функций $f_1(x) = \text{tg}(4\pi x)$ и $f_2(x) = \sin(2\pi x)$.
Период функции вида $\text{tg}(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.
Для $f_1(x) = \text{tg}(4\pi x)$ имеем $k=4\pi$.
$T_1 = \frac{\pi}{|4\pi|} = \frac{1}{4}$.
Период функции вида $\sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для $f_2(x) = \sin(2\pi x)$ имеем $k=2\pi$.
$T_2 = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.
Период $T$ исходной функции равен НОК периодов слагаемых.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{1}{4}, 1) = 1$.
Ответ: 1.

21.25. Постройте график функции и укажите множество ее значений:

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$;

2) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$;

3) $y = \frac{2x^2}{x}$;

4) $y = \frac{2(x - 1)^2}{x - 1}$.

1) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Теперь упростим выражение для функции. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$, получив линейную функцию:

$y = x + 2$

Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую $y = x + 2$ с одной "выколотой" точкой, соответствующей значению $x = 2$. Чтобы найти координаты этой точки, подставим $x = 2$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = 2 + 2 = 4$

Следовательно, точка с координатами $(2, 4)$ исключается из графика.

График функции — прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

Множество значений функции — это все возможные значения $y$. Так как из графика исключена точка с ординатой $y=4$, то множество значений функции состоит из всех действительных чисел, кроме 4.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$

Область определения: $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Упростим функцию, разложив числитель на множители:

$y = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$

При $x \neq -3$ сокращаем дробь и получаем:

$y = x - 3$

Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой при $x = -3$. Найдем ординату этой точки:

$y = -3 - 3 = -6$

Следовательно, точка $(-3, -6)$ не принадлежит графику.

График функции — прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3, -6)$.

Множество значений функции — это все действительные числа, за исключением ординаты выколотой точки $y = -6$.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$.

3) $y = \frac{2x^2}{x}$

Область определения: знаменатель не равен нулю, $x \neq 0$.

Упростим выражение, сократив дробь на $x$ (при $x \neq 0$):

$y = 2x$

Графиком функции является прямая $y = 2x$ с выколотой точкой при $x = 0$. Найдем ординату этой точки:

$y = 2 \cdot 0 = 0$

Точка, которая не принадлежит графику, — это начало координат $(0, 0)$.

График функции — прямая $y = 2x$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

Множество значений функции включает все действительные числа, кроме ординаты выколотой точки $y = 0$.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) $y = \frac{2(x - 1)^2}{x - 1}$

Область определения: $x - 1 \neq 0$, следовательно $x \neq 1$.

Упростим выражение при $x \neq 1$:

$y = 2(x - 1) = 2x - 2$

Графиком функции является прямая $y = 2x - 2$ с выколотой точкой при $x = 1$. Найдем ординату этой точки:

$y = 2(1) - 2 = 0$

Таким образом, точка $(1, 0)$ не принадлежит графику.

График функции — прямая $y = 2x - 2$ с выколотой точкой $(1, 0)$.

Множество значений функции — это все действительные числа, кроме $y = 0$.

Ответ: Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

21.26. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x^2 - y^2 = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 18, \\ xy = 9. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$x^2+y^2=5,$
$x^2-y^2=3;$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y^2$:

$(x^2+y^2) + (x^2-y^2) = 5+3$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x^2$:

$(x^2+y^2) - (x^2-y^2) = 5-3$

$2y^2 = 2$

$y^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Поскольку в исходные уравнения переменные входят только в квадрате, решением будет любая пара $(x, y)$, где $x \in \{2, -2\}$ и $y \in \{1, -1\}$.

Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2; 1)$, $(2; -1)$, $(-2; 1)$, $(-2; -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$x^2+y^2=18,$
$xy=9.$

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$ (заметим, что $x \neq 0$, поскольку иначе произведение $xy$ было бы равно 0, а не 9):

$y = \frac{9}{x}$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 + \left(\frac{9}{x}\right)^2 = 18$

$x^2 + \frac{81}{x^2} = 18$

Умножим все члены уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от дроби:

$x^4 + 81 = 18x^2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 18x^2 + 81 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 18t + 81 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом:

$(t-9)^2 = 0$

Отсюда $t-9 = 0$, значит, $t=9$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$x^2 = 9$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$:

1) Если $x = 3$, то $y = \frac{9}{3} = 3$. Получаем решение $(3; 3)$.

2) Если $x = -3$, то $y = \frac{9}{-3} = -3$. Получаем решение $(-3; -3)$.

Ответ: $(3; 3)$, $(-3; -3)$.

21.27. Упростите выражение:

1) $ \frac{x + a}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{x^3 - a^3}{a^2 - x^2} : \left(1 - \frac{1 + a}{a}\right); $

2) $ \left(\frac{4b + a}{2b} + \frac{6b}{a - 4b}\right) \cdot \left(\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4b^2 - a^2} + 1\right). $

1)

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, затем выполним умножение и деление дробей.

1. Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю $a$:

$1 - \frac{1+a}{a} = \frac{a}{a} - \frac{1+a}{a} = \frac{a - (1+a)}{a} = \frac{a-1-a}{a} = \frac{-1}{a} = -\frac{1}{a}$

2. Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{x + a}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{x^3 - a^3}{a^2 - x^2} : (-\frac{1}{a})$

3. Разложим на множители числитель второй дроби по формуле разности кубов $x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)$ и знаменатель по формуле разности квадратов $a^2-x^2 = (a-x)(a+x)$:

$\frac{x + a}{x^2 + ax + a^2} \cdot \frac{(x-a)(x^2 + ax + a^2)}{(a-x)(a+x)}$

4. Сократим общие множители. Заметим, что $(x+a)$ и $(a+x)$ равны, $(x^2+ax+a^2)$ также является общим множителем. Кроме того, $(x-a) = -(a-x)$.

$\frac{\cancel{(x + a)}}{\cancel{x^2 + ax + a^2}} \cdot \frac{-(a-x)(\cancel{x^2 + ax + a^2})}{\cancel{(a-x)}\cancel{(a+x)}} = -1$

5. Выполним последнее действие — деление:

$-1 : (-\frac{1}{a}) = -1 \cdot (-a) = a$

Ответ: $a$.

2)

Упростим выражение, выполнив действия в каждой из скобок, а затем перемножив полученные результаты.

1. Преобразуем выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $2b(a-4b)$:

$\frac{4b + a}{2b} + \frac{6b}{a - 4b} = \frac{(a+4b)(a-4b)}{2b(a-4b)} + \frac{6b \cdot 2b}{2b(a-4b)} = \frac{a^2 - 16b^2 + 12b^2}{2b(a-4b)} = \frac{a^2 - 4b^2}{2b(a-4b)}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-4b^2 = (a-2b)(a+2b)$:

$\frac{(a-2b)(a+2b)}{2b(a-4b)}$

2. Преобразуем выражение во второй скобке. Сначала представим 1 как дробь с нужным знаменателем, а также разложим на множители числитель и знаменатель исходной дроби:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{4b^2 - a^2} + 1 = \frac{(a-b)^2}{(2b-a)(2b+a)} + \frac{(2b-a)(2b+a)}{(2b-a)(2b+a)}$

Сложим дроби:

$\frac{(a-b)^2 + (2b-a)(2b+a)}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{(a^2-2ab+b^2) + (4b^2-a^2)}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{a^2-2ab+b^2+4b^2-a^2}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{5b^2-2ab}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{b(5b-2a)}{(2b-a)(2b+a)}$

3. Теперь перемножим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$\frac{(a-2b)(a+2b)}{2b(a-4b)} \cdot \frac{b(5b-2a)}{(2b-a)(2b+a)}$

4. Сократим общие множители. Учтем, что $a-2b = -(2b-a)$ и $a+2b = 2b+a$:

$\frac{-(2b-a)(2b+a)}{2b(a-4b)} \cdot \frac{b(5b-2a)}{(2b-a)(2b+a)} = \frac{-\cancel{(2b-a)}\cancel{(2b+a)}\cancel{b}(5b-2a)}{2\cancel{b}(a-4b)\cancel{(2b-a)}\cancel{(2b+a)}} = \frac{-(5b-2a)}{2(a-4b)} = \frac{2a-5b}{2(a-4b)}$

Ответ: $\frac{2a-5b}{2(a-4b)}$.

21.28. Значение суммы катетов прямоугольного треугольника равно 79 см. Если длину одного из катетов увеличить на 23 см, другой уменьшить на 11 см, то полученный прямоугольный и данный треугольники будут иметь одинаковые длины гипотенуз. Найдите длины катетов данного треугольника.

Пусть длины катетов данного прямоугольного треугольника равны $a$ см и $b$ см.

Согласно условию задачи, сумма длин катетов равна 79 см. Это можно записать в виде уравнения:

$a + b = 79$

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $c$ исходного треугольника равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2$

Далее, если длину одного из катетов (например, $a$) увеличить на 23 см, а длину другого ($b$) уменьшить на 11 см, то получатся катеты нового прямоугольного треугольника: $(a + 23)$ см и $(b - 11)$ см. По условию, гипотенуза нового треугольника равна гипотенузе исходного. Запишем теорему Пифагора для нового треугольника:

$c^2 = (a + 23)^2 + (b - 11)^2$

Поскольку левые части обоих уравнений Пифагора равны ($c^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + b^2 = (a + 23)^2 + (b - 11)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$a^2 + b^2 = (a^2 + 46a + 529) + (b^2 - 22b + 121)$

Упростим уравнение, вычтя $a^2$ и $b^2$ из обеих частей:

$0 = 46a - 22b + 529 + 121$

$0 = 46a - 22b + 650$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а числовое значение в другую:

$22b - 46a = 650$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$11b - 23a = 325$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 79 \\ -23a + 11b = 325 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 79 - a$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$11(79 - a) - 23a = 325$

$869 - 11a - 23a = 325$

$869 - 34a = 325$

$34a = 869 - 325$

$34a = 544$

$a = \frac{544}{34}$

$a = 16$

Теперь найдем длину второго катета $b$, подставив значение $a$ в выражение $b = 79 - a$:

$b = 79 - 16 = 63$

Таким образом, длины катетов исходного треугольника равны 16 см и 63 см.

Проверим полученное решение. Сумма катетов: $16 + 63 = 79$ см. Квадрат гипотенузы исходного треугольника: $c^2 = 16^2 + 63^2 = 256 + 3969 = 4225$. Новые катеты: $16 + 23 = 39$ см и $63 - 11 = 52$ см. Квадрат гипотенузы нового треугольника: $39^2 + 52^2 = 1521 + 2704 = 4225$. Квадраты гипотенуз равны, значит, и гипотенузы равны. Условия задачи выполнены.

Ответ: 16 см и 63 см.