Страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.26. Решите систему уравнений способом почленного умножения и деления уравнений системы:

1)

$x^5 y^7 = 32,$

$x^7 y^5 = 128;$

2)

$x^8 y^6 = 64,$

$x^6 y^8 = 256;$

3)

$x^2 y^3 = 16,$

$x^3 y^2 = 2;$

4)

$(y + x) \cdot xy = 6,$

$(y - x) \cdot xy = -2;$

5)

$(x - y) \cdot (x + 2y) - 4 = 0,$

$(x + y) \cdot (x + 2y) - 12 = 0;$

6)

$(y - 1) \cdot x = 2,$

$(y - 1) \cdot xy^2 = 8;$

7)

$(y + 1) \cdot x = 6,$

$(y + 1) \cdot xy^2 = 24;$

8)

$(y - 1) \cdot x = 0,$

$(y - 1) \cdot xy^2 = 0;$

9)

$(y^2 - 1) \cdot x = 9,$

$(y^2 - 1) \cdot xy = 18.$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^5 y^7 = 32 \\x^7 y^5 = 128\end{cases}$Перемножим уравнения системы почленно:$(x^5 y^7) \cdot (x^7 y^5) = 32 \cdot 128$$x^{12} y^{12} = 2^5 \cdot 2^7$$(xy)^{12} = 2^{12}$Отсюда $xy = 2$ или $xy = -2$.

Теперь разделим второе уравнение на первое почленно (поскольку правые части не равны нулю, $x \neq 0, y \neq 0$):$\frac{x^7 y^5}{x^5 y^7} = \frac{128}{32}$$x^2 y^{-2} = 4$$(\frac{x}{y})^2 = 4$Отсюда $\frac{x}{y} = 2$ или $\frac{x}{y} = -2$, то есть $x = 2y$ или $x = -2y$.

Рассмотрим четыре возможных случая:
1. $\begin{cases} xy = 2 \\ x = 2y \end{cases}$. Подставляя второе в первое, получаем $(2y)y = 2 \Rightarrow 2y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = 1$. Значит, $y=1$ (и $x=2$) или $y=-1$ (и $x=-2$). Получаем решения $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.
2. $\begin{cases} xy = 2 \\ x = -2y \end{cases}$. Подставляя, получаем $(-2y)y = 2 \Rightarrow -2y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = -1$. Действительных решений нет.
3. $\begin{cases} xy = -2 \\ x = 2y \end{cases}$. Подставляя, получаем $(2y)y = -2 \Rightarrow 2y^2 = -2 \Rightarrow y^2 = -1$. Действительных решений нет.
4. $\begin{cases} xy = -2 \\ x = -2y \end{cases}$. Подставляя, получаем $(-2y)y = -2 \Rightarrow -2y^2 = -2 \Rightarrow y^2 = 1$. Значит, $y=1$ (и $x=-2$) или $y=-1$ (и $x=2$). Проверим пару $(-2, 1)$ в исходной системе: $(-2)^5 \cdot 1^7 = -32 \neq 32$. Эта пара не является решением. Проверим пару $(2, -1)$: $2^5 \cdot (-1)^7 = -32 \neq 32$. Эта пара тоже не является решением.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^8 y^6 = 64 \\x^6 y^8 = 256\end{cases}$Перемножим уравнения системы почленно:$(x^8 y^6) \cdot (x^6 y^8) = 64 \cdot 256$$x^{14} y^{14} = 2^6 \cdot 2^8$$(xy)^{14} = 2^{14}$Отсюда $xy = 2$ или $xy = -2$.

Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{x^6 y^8}{x^8 y^6} = \frac{256}{64}$$x^{-2} y^{2} = 4$$(\frac{y}{x})^2 = 4$Отсюда $\frac{y}{x} = 2$ или $\frac{y}{x} = -2$, то есть $y = 2x$ или $y = -2x$.

Рассмотрим четыре возможных случая:
1. $\begin{cases} xy = 2 \\ y = 2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(2x) = 2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2=1$. Значит, $x=1$ (и $y=2$) или $x=-1$ (и $y=-2$). Получаем решения $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.
2. $\begin{cases} xy = 2 \\ y = -2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(-2x) = 2 \Rightarrow -2x^2=2 \Rightarrow x^2 = -1$. Действительных решений нет.
3. $\begin{cases} xy = -2 \\ y = 2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(2x) = -2 \Rightarrow 2x^2=-2 \Rightarrow x^2 = -1$. Действительных решений нет.
4. $\begin{cases} xy = -2 \\ y = -2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(-2x) = -2 \Rightarrow -2x^2=-2 \Rightarrow x^2 = 1$. Значит, $x=1$ (и $y=-2$) или $x=-1$ (и $y=2$). Получаем решения $(1, -2)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(1, 2), (-1, -2), (1, -2), (-1, 2)$.

3)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 y^3 = 16 \\x^3 y^2 = 2\end{cases}$Поскольку $x^3 y^2 = 2 > 0$ и $y^2 \ge 0$, то $x^3$ должен быть положительным, значит $x>0$. Поскольку $x^2 y^3 = 16 > 0$ и $x^2 > 0$, то $y^3$ должен быть положительным, значит $y>0$.Перемножим уравнения системы почленно:$(x^2 y^3) \cdot (x^3 y^2) = 16 \cdot 2$$x^5 y^5 = 32$$(xy)^5 = 2^5$Отсюда $xy = 2$.

Разделим первое уравнение на второе почленно:$\frac{x^2 y^3}{x^3 y^2} = \frac{16}{2}$$x^{-1} y = 8$$\frac{y}{x} = 8 \Rightarrow y=8x$.

Решим систему:$\begin{cases} xy = 2 \\ y = 8x \end{cases}$.Подставим второе уравнение в первое:$x(8x) = 2 \Rightarrow 8x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}$.Так как $x>0$, то $x = \frac{1}{2}$.Тогда $y = 8x = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 4)$.

4)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y+x) \cdot xy = 6 \\(y-x) \cdot xy = -2\end{cases}$Заметим, что $xy \neq 0$, иначе правые части уравнений были бы равны нулю. Разделим первое уравнение на второе почленно:$\frac{(y+x)xy}{(y-x)xy} = \frac{6}{-2}$$\frac{y+x}{y-x} = -3$$y+x = -3(y-x)$$y+x = -3y+3x$$4y = 2x$$x = 2y$.

Подставим $x = 2y$ в первое уравнение исходной системы:$(y+2y) \cdot (2y)y = 6$$3y \cdot 2y^2 = 6$$6y^3 = 6$$y^3 = 1 \Rightarrow y=1$.Тогда $x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $(2, 1)$.

5)Дана система уравнений:$\begin{cases}(x-y)(x+2y) = 4 \\(x+y)(x+2y) = 12\end{cases}$Заметим, что $x+2y \neq 0$, иначе правые части уравнений были бы равны нулю. Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{(x+y)(x+2y)}{(x-y)(x+2y)} = \frac{12}{4}$$\frac{x+y}{x-y} = 3$$x+y = 3(x-y)$$x+y = 3x-3y$$4y = 2x$$x = 2y$.

Подставим $x = 2y$ в первое уравнение исходной системы:$(2y-y)(2y+2y) = 4$$y \cdot 4y = 4$$4y^2 = 4$$y^2 = 1 \Rightarrow y = 1$ или $y = -1$.

Если $y=1$, то $x=2y=2$.Если $y=-1$, то $x=2y=-2$.Получаем два решения.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

6)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y-1)x = 2 \\(y-1)xy^2 = 8\end{cases}$Из первого уравнения следует, что $(y-1)x \neq 0$, значит $y \neq 1$ и $x \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{(y-1)xy^2}{(y-1)x} = \frac{8}{2}$$y^2 = 4$$y = 2$ или $y = -2$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $y=2$, подставим в первое уравнение: $(2-1)x=2 \Rightarrow 1 \cdot x = 2 \Rightarrow x=2$. Получаем решение $(2, 2)$.
2. Если $y=-2$, подставим в первое уравнение: $(-2-1)x=2 \Rightarrow -3x = 2 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}$. Получаем решение $(-\frac{2}{3}, -2)$.

Ответ: $(2, 2), (-\frac{2}{3}, -2)$.

7)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y+1)x = 6 \\(y+1)xy^2 = 24\end{cases}$Из первого уравнения следует, что $(y+1)x \neq 0$, значит $y \neq -1$ и $x \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{(y+1)xy^2}{(y+1)x} = \frac{24}{6}$$y^2 = 4$$y = 2$ или $y = -2$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $y=2$, подставим в первое уравнение: $(2+1)x=6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x=2$. Получаем решение $(2, 2)$.
2. Если $y=-2$, подставим в первое уравнение: $(-2+1)x=6 \Rightarrow -x = 6 \Rightarrow x=-6$. Получаем решение $(-6, -2)$.

Ответ: $(2, 2), (-6, -2)$.

8)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y-1)x = 0 \\(y-1)xy^2 = 0\end{cases}$Рассмотрим первое уравнение: $(y-1)x=0$. Оно обращается в верное равенство, если $x=0$ или $y-1=0$, т.е. $y=1$.

Случай 1: $y=1$.Подставим это значение во второе уравнение системы:$(1-1) \cdot x \cdot 1^2 = 0$$0 \cdot x \cdot 1 = 0$$0 = 0$.Это верное равенство для любого значения $x$. Следовательно, все пары вида $(x, 1)$, где $x$ - любое действительное число, являются решениями системы.

Случай 2: $x=0$.Подставим это значение во второе уравнение системы:$(y-1) \cdot 0 \cdot y^2 = 0$$0 = 0$.Это верное равенство для любого значения $y$. Следовательно, все пары вида $(0, y)$, где $y$ - любое действительное число, являются решениями системы.

Объединяя оба случая, получаем, что решениями системы являются все точки, лежащие на прямой $x=0$ (ось OY) или на прямой $y=1$.

Ответ: все пары чисел $(x,y)$, для которых выполняется хотя бы одно из условий: $x=0$ или $y=1$.

9)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y^2-1)x = 9 \\(y^2-1)xy = 18\end{cases}$Из первого уравнения следует, что $(y^2-1)x \neq 0$, значит $y^2 \neq 1$ (т.е. $y \neq \pm 1$) и $x \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{(y^2-1)xy}{(y^2-1)x} = \frac{18}{9}$$y = 2$.

Подставим значение $y=2$ в первое уравнение системы:$(2^2-1)x = 9$$(4-1)x = 9$$3x = 9$$x = 3$.

Ответ: $(3, 2)$.

3.27. Решите систему уравнений:

1)$\begin{cases}5y^2 - x^2 = 1, \\7y^2 + 3xy = 1;\end{cases}$

2)$\begin{cases}y^2 - x^2 = 12, \\y^2 - 3xy + x^2 = 0;\end{cases}$

3)$\begin{cases}y^2 - x^2 = -3, \\2y^2 - 3xy + 2x^2 = 4;\end{cases}$

4)$\begin{cases}4x^2 + xy = 5, \\x^2 + 3xy - 4 = 0;\end{cases}$

5)$\begin{cases}x^2 - 2xy + 3y = 2x, \\y^2 - 3xy + 6y = 4x;\end{cases}$

6)$\begin{cases}x^2 = 3 + y^2, \\2x^2 - 3xy = 4 - 2y.\end{cases}$

1)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5y^2 - x^2 = 1, \\ 7y^2 + 3xy = 1; \end{cases}$
Правые части уравнений равны, поэтому приравняем левые части:
$5y^2 - x^2 = 7y^2 + 3xy$
$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$
Это однородное уравнение. Решим его относительно $x$, считая $y$ параметром.
Дискриминант $D = (3y)^2 - 4(1)(2y^2) = 9y^2 - 8y^2 = y^2$.
$x = \frac{-3y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{-3y \pm y}{2}$
Отсюда получаем два случая:
1. $x = \frac{-3y - y}{2} = -2y$
2. $x = \frac{-3y + y}{2} = -y$
Подставим эти выражения в первое уравнение системы $5y^2 - x^2 = 1$.
Случай 1: $x = -2y$
$5y^2 - (-2y)^2 = 1$
$5y^2 - 4y^2 = 1$
$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$
Если $y=1$, то $x = -2(1) = -2$.
Если $y=-1$, то $x = -2(-1) = 2$.
Получаем решения: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.
Случай 2: $x = -y$
$5y^2 - (-y)^2 = 1$
$5y^2 - y^2 = 1$
$4y^2 = 1 \implies y^2 = 1/4 \implies y = \pm 1/2$
Если $y=1/2$, то $x = -1/2$.
Если $y=-1/2$, то $x = 1/2$.
Получаем решения: $(-1/2, 1/2)$ и $(1/2, -1/2)$.
Ответ: $(-2, 1), (2, -1), (-1/2, 1/2), (1/2, -1/2)$.

2)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} y^2 - x^2 = 12, \\ y^2 - 3xy + x^2 = 0; \end{cases}$
Второе уравнение является однородным. Предположим, что $x \neq 0$ (если $x=0$, то из второго уравнения $y=0$, но пара $(0,0)$ не удовлетворяет первому уравнению). Разделим второе уравнение на $x^2$:
$(\frac{y}{x})^2 - 3(\frac{y}{x}) + 1 = 0$
Пусть $t = \frac{y}{x}$. Получаем квадратное уравнение $t^2 - 3t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5$.
Корни: $t_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ и $t_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{y}{x} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$, то есть $y = x \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
Подставим в первое уравнение:
$(x \frac{3+\sqrt{5}}{2})^2 - x^2 = 12$
$x^2 ((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2 - 1) = 12$
$x^2 (\frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} - 1) = 12$
$x^2 (\frac{14 + 6\sqrt{5} - 4}{4}) = 12$
$x^2 (\frac{10 + 6\sqrt{5}}{4}) = 12 \implies x^2 (\frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}) = 12$
$x^2 = \frac{24}{5 + 3\sqrt{5}} = \frac{24(5 - 3\sqrt{5})}{(5 + 3\sqrt{5})(5 - 3\sqrt{5})} = \frac{24(5 - 3\sqrt{5})}{25 - 45} = \frac{24(5 - 3\sqrt{5})}{-20} = \frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}$.
Так как $3\sqrt{5} = \sqrt{45} > 5 = \sqrt{25}$, то $x^2 > 0$.
$x = \pm \sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}}$.
Соответствующие значения $y = x \frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Так как $\frac{3+\sqrt{5}}{2} > 0$, знаки $x$ и $y$ совпадают.
Случай 2: $\frac{y}{x} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Аналогично подставляем в первое уравнение:
$x^2 ((\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 - 1) = 12 \implies x^2 (\frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}) = 12$
$x^2 = \frac{24}{5 - 3\sqrt{5}}$. Так как $5 - 3\sqrt{5} < 0$, то $x^2 < 0$, и в этом случае действительных решений нет.
Ответ: $(\sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}}), (-\sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}}, -\frac{3+\sqrt{5}}{2}\sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}})$.

3)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} y^2 - x^2 = -3, \\ 2y^2 - 3xy + 2x^2 = 4; \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы избавиться от свободных членов:
$\begin{cases} 4y^2 - 4x^2 = -12, \\ 6y^2 - 9xy + 6x^2 = 12; \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(4y^2 - 4x^2) + (6y^2 - 9xy + 6x^2) = -12 + 12$
$10y^2 - 9xy + 2x^2 = 0$
Это однородное уравнение. Разделим на $x^2$ (случай $x=0$ дает $y=0$, что не является решением исходной системы):
$10(\frac{y}{x})^2 - 9(\frac{y}{x}) + 2 = 0$
Пусть $t = \frac{y}{x}$. Уравнение $10t^2 - 9t + 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4(10)(2) = 81 - 80 = 1$.
$t = \frac{9 \pm 1}{20}$, откуда $t_1 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Случай 1: $y/x = 1/2 \implies y = x/2$.
Подставим в первое уравнение: $(x/2)^2 - x^2 = -3 \implies x^2/4 - x^2 = -3 \implies -3x^2/4 = -3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Если $x=2, y=1$. Если $x=-2, y=-1$. Решения: $(2, 1), (-2, -1)$.
Случай 2: $y/x = 2/5 \implies y = 2x/5$.
Подставим в первое уравнение: $(2x/5)^2 - x^2 = -3 \implies 4x^2/25 - x^2 = -3 \implies -21x^2/25 = -3 \implies x^2 = 75/21 = 25/7 \implies x = \pm 5/\sqrt{7} = \pm 5\sqrt{7}/7$.
Если $x=5\sqrt{7}/7, y=2\sqrt{7}/7$. Если $x=-5\sqrt{7}/7, y=-2\sqrt{7}/7$.
Решения: $(\frac{5\sqrt{7}}{7}, \frac{2\sqrt{7}}{7}), (-\frac{5\sqrt{7}}{7}, -\frac{2\sqrt{7}}{7})$.
Ответ: $(2, 1), (-2, -1), (\frac{5\sqrt{7}}{7}, \frac{2\sqrt{7}}{7}), (-\frac{5\sqrt{7}}{7}, -\frac{2\sqrt{7}}{7})$.

4)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 4x^2 + xy = 5, \\ x^2 + 3xy - 4 = 0; \end{cases}$
Перепишем второе уравнение: $x^2 + 3xy = 4$.
Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5:
$\begin{cases} 16x^2 + 4xy = 20, \\ 5x^2 + 15xy = 20; \end{cases}$
Приравняем левые части:
$16x^2 + 4xy = 5x^2 + 15xy$
$11x^2 - 11xy = 0$
$11x(x-y) = 0$
Отсюда $x=0$ или $x=y$.
Случай 1: $x=0$.
Подставив в первое уравнение, получаем $4(0)^2 + 0 \cdot y = 5 \implies 0=5$, что неверно. Решений нет.
Случай 2: $x=y$.
Подставим в первое уравнение: $4x^2 + x(x) = 5 \implies 5x^2 = 5 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Если $x=1$, то $y=1$.
Если $x=-1$, то $y=-1$.
Проверим решения во втором уравнении $x^2 + 3xy = 4$.
Для $(1,1)$: $1^2+3(1)(1) = 4$. Верно.
Для $(-1,-1)$: $(-1)^2+3(-1)(-1) = 1+3=4$. Верно.
Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

5)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 2xy + 3y = 2x, \\ y^2 - 3xy + 6y = 4x; \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, чтобы приравнять правые части:
$2(x^2 - 2xy + 3y) = 2(2x) \implies 2x^2 - 4xy + 6y = 4x$.
Теперь приравняем левые части полученного и второго уравнений:
$2x^2 - 4xy + 6y = y^2 - 3xy + 6y$
$2x^2 - 4xy = y^2 - 3xy$
$2x^2 - xy - y^2 = 0$
Это однородное уравнение. Разложим его на множители: $(2x+y)(x-y)=0$.
Отсюда $y = -2x$ или $y = x$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $y=x$.
Подставим в первое исходное уравнение: $x^2 - 2x(x) + 3x = 2x \implies -x^2 + x = 0 \implies x(1-x) = 0$.
Получаем $x=0$ или $x=1$.
Если $x=0$, то $y=0$. Решение $(0,0)$.
Если $x=1$, то $y=1$. Решение $(1,1)$.
Случай 2: $y=-2x$.
Подставим в первое исходное уравнение: $x^2 - 2x(-2x) + 3(-2x) = 2x \implies x^2 + 4x^2 - 6x = 2x \implies 5x^2 - 8x = 0 \implies x(5x-8)=0$.
Получаем $x=0$ или $x=8/5$.
Если $x=0$, то $y=0$. Это решение уже найдено.
Если $x=8/5$, то $y = -2(8/5) = -16/5$. Решение $(8/5, -16/5)$.
Ответ: $(0, 0), (1, 1), (8/5, -16/5)$.

6)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 = 3 + y^2, \\ 2x^2 - 3xy = 4 - 2y; \end{cases}$
Перепишем систему в виде:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ 2x^2 - 3xy + 2y = 4; \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x^2 = y^2+3$ и подставим во второе уравнение:
$2(y^2+3) - 3xy + 2y = 4$
$2y^2 + 6 - 3xy + 2y = 4$
$2y^2 + 2y + 2 = 3xy$
Предположим $y \neq 0$ (если $y=0$, то $x^2=3$ и $2x^2=4 \implies x^2=2$, что противоречиво).
Выразим $x$: $x = \frac{2y^2+2y+2}{3y}$.
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение $x^2 = y^2 + 3$:
$(\frac{2y^2+2y+2}{3y})^2 = y^2+3$
$\frac{4(y^2+y+1)^2}{9y^2} = y^2+3$
$4(y^4+2y^3+3y^2+2y+1) = 9y^2(y^2+3)$
$4y^4+8y^3+12y^2+8y+4 = 9y^4+27y^2$
$5y^4 - 8y^3 + 15y^2 - 8y - 4 = 0$
Проверим целочисленные делители свободного члена: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Подставим $y=1$: $5(1)-8(1)+15(1)-8(1)-4 = 5-8+15-8-4=0$. Значит $y=1$ является корнем.
Найдем соответствующее значение $x$.
Если $y=1$, из первого уравнения $x^2 = 3+1^2=4 \implies x=\pm 2$.
Проверим полученные пары $(2,1)$ и $(-2,1)$ во втором уравнении $2x^2 - 3xy + 2y = 4$.
Для $(2,1)$: $2(2^2) - 3(2)(1) + 2(1) = 8 - 6 + 2 = 4$. Верно.
Для $(-2,1)$: $2(-2)^2 - 3(-2)(1) + 2(1) = 8 + 6 + 2 = 16 \neq 4$. Не является решением.
Другие действительные корни полинома для $y$ не являются рациональными.
Ответ: $(2, 1)$.

Решите системы уравнений (3.28—3.31):

3.28. 1)

$\begin{cases} x^3 + y^3 - 65 = 0, \\ xy \cdot (x + y) - 20 = 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ xy \cdot (x + y) = -2; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35, \\ x + y = 5. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + y^3 - 65 = 0 \\ xy(x+y) - 20 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть:

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 65 \\ xy(x+y) = 20 \end{cases}$

Это симметричная система уравнений. Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = xy$.

Используем формулу суммы кубов, выраженную через $u$ и $v$:

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = u(u^2-3v)$.

Подставив новые переменные, получим систему:

$\begin{cases} u(u^2 - 3v) = 65 \\ uv = 20 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v$ через $u$: $v = \frac{20}{u}$ (очевидно, $u \neq 0$, так как $uv=20$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$u(u^2 - 3 \cdot \frac{20}{u}) = 65$

$u(u^2 - \frac{60}{u}) = 65$

$u^3 - 60 = 65$

$u^3 = 125$

Отсюда находим действительный корень $u = 5$.

Теперь найдем $v$:

$v = \frac{20}{u} = \frac{20}{5} = 4$.

Мы получили систему для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Находим корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^4 = 5 \\ xy^2 = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения видно, что $y \neq 0$. Выразим $x$ из второго уравнения: $x = \frac{2}{y^2}$.

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(\frac{2}{y^2})^2 + y^4 = 5$

$\frac{4}{y^4} + y^4 = 5$

Сделаем замену переменной. Пусть $a = y^4$. Так как $y$ - действительное число и $y \neq 0$, то $a > 0$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{4}{a} + a = 5$

Умножим обе части уравнения на $a$ (так как $a \neq 0$):

$4 + a^2 = 5a$

$a^2 - 5a + 4 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$. Оба корня положительны, следовательно, оба являются возможными значениями для $y^4$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = 1$.

$y^4 = 1$, откуда $y^2 = 1$ (так как $y^2$ должно быть неотрицательно). Тогда $y = \pm 1$.

При $y=1$, $x = \frac{2}{1^2} = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

При $y=-1$, $x = \frac{2}{(-1)^2} = 2$. Получаем решение $(2, -1)$.

Случай 2: $a = 4$.

$y^4 = 4$, откуда $y^2 = 2$ (отбрасываем $y^2=-2$, так как $y$ действительное). Тогда $y = \pm \sqrt{2}$.

При $y=\sqrt{2}$, $x = \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решение $(1, \sqrt{2})$.

При $y=-\sqrt{2}$, $x = \frac{2}{(-\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решение $(1, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (1, \sqrt{2}), (1, -\sqrt{2})$.

3)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 7 \\ xy(x+y) = -2 \end{cases}$

Эта система является симметричной. Как и в задаче 1), введем замену $u = x+y$ и $v = xy$.

Используя тождество $x^3+y^3 = u(u^2-3v)$, перепишем систему в новых переменных:

$\begin{cases} u(u^2 - 3v) = 7 \\ uv = -2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v = -\frac{2}{u}$ (здесь $u \neq 0$) и подставим в первое уравнение:

$u(u^2 - 3(-\frac{2}{u})) = 7$

$u(u^2 + \frac{6}{u}) = 7$

$u^3 + 6 = 7$

$u^3 = 1$

Отсюда $u=1$.

Теперь найдем $v$:

$v = -\frac{2}{u} = -\frac{2}{1} = -2$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y = 1 \\ xy = -2 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

4)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x+y = 5 \end{cases}$

Используем формулу суммы кубов: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Подставим известное значение $x+y=5$ в первое уравнение:

$5(x^2 - xy + y^2) = 35$

Разделим обе части на 5:

$x^2 - xy + y^2 = 7$

Теперь выразим $x^2+y^2$ через $x+y$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Подставим $x+y=5$:

$x^2+y^2 = 5^2 - 2xy = 25 - 2xy$.

Подставим это выражение в уравнение $x^2 - xy + y^2 = 7$:

$(25 - 2xy) - xy = 7$

$25 - 3xy = 7$

$-3xy = 7 - 25$

$-3xy = -18$

$xy = 6$

Теперь мы имеем простую систему:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Находим корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Таким образом, решениями системы являются пары $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

3.29. 1) $\begin{cases} \frac{x^2 + y^2}{x + y} = \frac{10}{3}, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,75; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6}, \\ x^2 - y^2 = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6}, \\ x^2 + y^2 = 15; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{x - 1}{y} + \frac{y}{x - 1} = 2, \\ x^2 + xy = 6; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{26}{5}, \\ x^2 - y^2 = 24; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \left(\frac{y - x}{x}\right)^2 = 1, \\ 2y^2 - x^2 = 1. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x^2 + y^2}{x + y} = \frac{10}{3} \\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,75\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x+y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{y+x}{xy} = 0,75 = \frac{3}{4}$

Отсюда выразим $x+y$: $x+y = \frac{3}{4}xy$.

Теперь преобразуем первое уравнение, используя формулу $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$:

$\frac{(x+y)^2 - 2xy}{x+y} = \frac{10}{3}$

Разделим почленно левую часть:

$(x+y) - \frac{2xy}{x+y} = \frac{10}{3}$

Подставим в это уравнение выражение $x+y = \frac{3}{4}xy$, полученное из второго уравнения системы:

$\frac{3}{4}xy - \frac{2xy}{\frac{3}{4}xy} = \frac{10}{3}$

$\frac{3}{4}xy - 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$

$\frac{3}{4}xy - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$

$\frac{3}{4}xy = \frac{10}{3} + \frac{8}{3}$

$\frac{3}{4}xy = \frac{18}{3} = 6$

$xy = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$.

Теперь, зная $xy$, найдем $x+y$:

$x+y = \frac{3}{4}xy = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$.

Получили новую, более простую систему:

$\begin{cases}x+y=6 \\xy=8\end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.

Решаем уравнение: $(t-2)(t-4) = 0$. Корни $t_1=2$, $t_2=4$.

Следовательно, решения системы — это пары $(2, 4)$ и $(4, 2)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 4), (4, 2)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} \\x^2 - y^2 = 5\end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{5}{xy} = \frac{5}{6}$

Отсюда следует, что $xy = 6$.

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = 5 \\xy = 6\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$ и подставим в первое:

$x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 5$

$x^2 - \frac{36}{x^2} = 5$

Умножим обе части на $x^2$ (так как $x \neq 0$):

$x^4 - 36 = 5x^2$

$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$.

$t^2 - 5t - 36 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1=9$, $t_2=-4$.

Корень $t_2=-4$ не подходит, так как $t=x^2 \ge 0$.

Следовательно, $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Если $x=3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$. Получаем пару $(3, 2)$.

Если $x=-3$, то $y = \frac{6}{-3} = -2$. Получаем пару $(-3, -2)$.

Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

3)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} \\x^2 + y^2 = 15\end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим $x^2 - y^2 = \frac{5}{6}xy$.

Теперь у нас есть система:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = \frac{5}{6}xy \\x^2 + y^2 = 15\end{cases}$

Сложим эти два уравнения: $2x^2 = 15 + \frac{5}{6}xy$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y^2 = 15 - \frac{5}{6}xy$.

Перемножим полученные уравнения:

$4x^2y^2 = (15 + \frac{5}{6}xy)(15 - \frac{5}{6}xy)$

Используем формулу разности квадратов:

$4(xy)^2 = 15^2 - (\frac{5}{6}xy)^2 = 225 - \frac{25}{36}(xy)^2$.

Пусть $u = xy$. Тогда:

$4u^2 = 225 - \frac{25}{36}u^2$

$4u^2 + \frac{25}{36}u^2 = 225$

$(\frac{144+25}{36})u^2 = 225 \implies \frac{169}{36}u^2 = 225$

$u^2 = \frac{225 \cdot 36}{169} = (\frac{15 \cdot 6}{13})^2 = (\frac{90}{13})^2$

Следовательно, $u = xy = \frac{90}{13}$ или $u = xy = -\frac{90}{13}$.

Случай 1: $xy = \frac{90}{13}$.

$x^2 - y^2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{90}{13} = \frac{75}{13}$.

Решаем систему: $\begin{cases}x^2 + y^2 = 15 \\x^2 - y^2 = \frac{75}{13}\end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 15 + \frac{75}{13} = \frac{195+75}{13} = \frac{270}{13} \implies x^2 = \frac{135}{13}$.

Вычитая второе из первого, получаем $2y^2 = 15 - \frac{75}{13} = \frac{195-75}{13} = \frac{120}{13} \implies y^2 = \frac{60}{13}$.

$x = \pm \sqrt{\frac{135}{13}} = \pm 3\sqrt{\frac{15}{13}}$, $y = \pm \sqrt{\frac{60}{13}} = \pm 2\sqrt{\frac{15}{13}}$.

Так как $xy > 0$, знаки $x$ и $y$ должны совпадать. Получаем две пары решений: $(3\sqrt{\frac{15}{13}}, 2\sqrt{\frac{15}{13}})$ и $(-3\sqrt{\frac{15}{13}}, -2\sqrt{\frac{15}{13}})$.

Случай 2: $xy = -\frac{90}{13}$.

$x^2 - y^2 = \frac{5}{6} \cdot (-\frac{90}{13}) = -\frac{75}{13}$.

Решаем систему: $\begin{cases}x^2 + y^2 = 15 \\x^2 - y^2 = -\frac{75}{13}\end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 15 - \frac{75}{13} = \frac{120}{13} \implies x^2 = \frac{60}{13}$.

Вычитая второе из первого, получаем $2y^2 = 15 + \frac{75}{13} = \frac{270}{13} \implies y^2 = \frac{135}{13}$.

$x = \pm \sqrt{\frac{60}{13}} = \pm 2\sqrt{\frac{15}{13}}$, $y = \pm \sqrt{\frac{135}{13}} = \pm 3\sqrt{\frac{15}{13}}$.

Так как $xy < 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть противоположными. Получаем еще две пары решений: $(2\sqrt{\frac{15}{13}}, -3\sqrt{\frac{15}{13}})$ и $(-2\sqrt{\frac{15}{13}}, 3\sqrt{\frac{15}{13}})$.

Ответ: $(3\sqrt{\frac{15}{13}}, 2\sqrt{\frac{15}{13}}), (-3\sqrt{\frac{15}{13}}, -2\sqrt{\frac{15}{13}}), (2\sqrt{\frac{15}{13}}, -3\sqrt{\frac{15}{13}}), (-2\sqrt{\frac{15}{13}}, 3\sqrt{\frac{15}{13}})$.

4)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x-1}{y} + \frac{y}{x-1} = 2 \\x^2 + xy = 6\end{cases}$

ОДЗ: $y \neq 0$, $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

В первом уравнении сделаем замену $t = \frac{x-1}{y}$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим на $t$ (при $t \neq 0$): $t^2 + 1 = 2t$.

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда $t=1$.

Возвращаемся к замене: $\frac{x-1}{y} = 1$, что означает $x-1=y$.

Подставим $y=x-1$ во второе уравнение системы:

$x^2 + x(x-1) = 6$

$x^2 + x^2 - x = 6$

$2x^2 - x - 6 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{4}$.

$x_1 = \frac{1+7}{4} = 2$. Тогда $y_1 = x_1 - 1 = 2-1 = 1$.

$x_2 = \frac{1-7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$. Тогда $y_2 = x_2 - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$.

Обе пары $(2, 1)$ и $(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 1), (-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$.

5)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{26}{5} \\x^2 - y^2 = 24\end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$5(x^2 + y^2) = 26xy$

$5x^2 - 26xy + 5y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (т.к. $y \neq 0$):

$5(\frac{x}{y})^2 - 26(\frac{x}{y}) + 5 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-26)^2 - 4(5)(5) = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

$t_{1,2} = \frac{26 \pm 24}{10}$.

$t_1 = \frac{26+24}{10} = 5$.

$t_2 = \frac{26-24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 5 \implies x = 5y$.

Подставим во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 24$:

$(5y)^2 - y^2 = 24$

$25y^2 - y^2 = 24 \implies 24y^2 = 24 \implies y^2 = 1$.

Отсюда $y = 1$ или $y = -1$.

Если $y=1$, то $x=5(1)=5$. Решение $(5, 1)$.

Если $y=-1$, то $x=5(-1)=-5$. Решение $(-5, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{5} \implies y = 5x$.

Подставим во второе уравнение $x^2 - y^2 = 24$:

$x^2 - (5x)^2 = 24$

$x^2 - 25x^2 = 24 \implies -24x^2 = 24 \implies x^2 = -1$.

В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(5, 1), (-5, -1)$.

6)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x}{y} - (\frac{y-x}{x})^2 = 1 \\2y^2 - x^2 = 1\end{cases}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Упростим первое уравнение. Заметим, что $(\frac{y-x}{x})^2 = (-( \frac{x-y}{x} ))^2 = (\frac{x-y}{x})^2 = (1 - \frac{y}{x})^2$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$. Первое уравнение примет вид:

$t - (1 - \frac{1}{t})^2 = 1$

$t - (1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}) = 1$

$t - 1 + \frac{2}{t} - \frac{1}{t^2} = 1$

Умножим обе части на $t^2$ (т.к. $t \neq 0$):

$t^3 - t^2 + 2t - 1 = t^2$

$t^3 - 2t^2 + 2t - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(t^3-t^2) - (t^2-2t+1) = 0$ не помогает. Попробуем так: $(t^3-1) - (2t^2-2t) = 0$.

$(t-1)(t^2+t+1) - 2t(t-1) = 0$

$(t-1)(t^2+t+1 - 2t) = 0$

$(t-1)(t^2-t+1) = 0$

Получаем два уравнения: $t-1=0$ или $t^2-t+1=0$.

Из первого $t=1$.

Для второго $t^2-t+1=0$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3 < 0$, действительных корней нет.

Единственное решение для $t$ это $t=1$.

Возвращаемся к замене: $\frac{x}{y} = 1 \implies x=y$.

Подставим $x=y$ во второе уравнение системы $2y^2 - x^2 = 1$:

$2y^2 - y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда $y=1$ или $y=-1$.

Если $y=1$, то $x=1$. Решение $(1, 1)$.

Если $y=-1$, то $x=-1$. Решение $(-1, -1)$.

Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

22.10. Докажите, что не зависит от переменной значение выражения:

1) $ \frac{2\sin x \cos x - 1}{(\sin x - \cos x)^2} $

2) $ \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 x} + \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 x} $

3) $ \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha} $

4) $ \frac{1}{1 - \operatorname{tg}^2 x} + \frac{1}{1 - \operatorname{ctg}^2 x} $

1) Упростим данное выражение. Раскроем квадрат разности в знаменателе, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получим:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2\sin x \cos x = 1 - 2\sin x \cos x$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{2\sin x \cos x - 1}{1 - 2\sin x \cos x}$.

Вынесем $-1$ за скобки в числителе:

$\frac{-(1 - 2\sin x \cos x)}{1 - 2\sin x \cos x}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю (т.е. $1 - 2\sin x \cos x \neq 0$), мы можем сократить дробь. В результате получаем $-1$. Значение выражения является константой и не зависит от переменной $x$.
Ответ: $-1$.

2) Для упрощения выражения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

$1 + \ctg^2 x = \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

$1 + \tg^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$\frac{1}{1 + \ctg^2 x} + \frac{1}{1 + \tg^2 x} = \frac{1}{\csc^2 x} + \frac{1}{\sec^2 x} = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 x}} + \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}}$.

Упростив дроби, получим:

$\sin^2 x + \cos^2 x$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значение выражения равно $1$ и не зависит от переменной $x$.
Ответ: $1$.

3) Упростим данное выражение. Знаменатель $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$ является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда знаменатель равен:

$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

Подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение:

$\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем дробь и получаем $1$. Значение выражения является константой и не зависит от переменной $\alpha$.
Ответ: $1$.

4) Упростим данное выражение. Выразим котангенс через тангенс, используя тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$:

$\frac{1}{1 - \tg^2 x} + \frac{1}{1 - \ctg^2 x} = \frac{1}{1 - \tg^2 x} + \frac{1}{1 - \frac{1}{\tg^2 x}}$.

Преобразуем второе слагаемое:

$\frac{1}{1 - \frac{1}{\tg^2 x}} = \frac{1}{\frac{\tg^2 x - 1}{\tg^2 x}} = \frac{\tg^2 x}{\tg^2 x - 1}$.

Подставим его обратно в выражение:

$\frac{1}{1 - \tg^2 x} + \frac{\tg^2 x}{\tg^2 x - 1}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, вынесем $-1$ из знаменателя второй дроби:

$\frac{1}{1 - \tg^2 x} + \frac{\tg^2 x}{-(1 - \tg^2 x)} = \frac{1}{1 - \tg^2 x} - \frac{\tg^2 x}{1 - \tg^2 x}$.

Теперь вычтем дроби:

$\frac{1 - \tg^2 x}{1 - \tg^2 x}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем дробь и получаем $1$. Значение выражения является константой и не зависит от переменной $x$.
Ответ: $1$.

22.11. Найдите значение выражения:

1) $ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha $, если $ \text{tg}\alpha = \frac{1}{3} $;

2) $ 3\text{sin}^2\alpha + 2\text{cos}^2\alpha $, если $ \text{sin}\alpha = \frac{1}{3} $.

1) Дано выражение $tg^2\alpha + ctg^2\alpha$ и известно, что $tg\alpha = \frac{1}{3}$.
Для решения воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$.
Найдем значение $ctg\alpha$:
$ctg\alpha = \frac{1}{1/3} = 3$.
Теперь найдем значения квадратов тангенса и котангенса:
$tg^2\alpha = (tg\alpha)^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
$ctg^2\alpha = (ctg\alpha)^2 = 3^2 = 9$.
Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним сложение:
$tg^2\alpha + ctg^2\alpha = \frac{1}{9} + 9 = \frac{1}{9} + \frac{81}{9} = \frac{1 + 81}{9} = \frac{82}{9}$.
Ответ: $\frac{82}{9}$.

2) Дано выражение $3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha$ и известно, что $\sin\alpha = \frac{1}{3}$.
Для решения преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Представим $3\sin^2\alpha$ в виде суммы $2\sin^2\alpha + \sin^2\alpha$:
$3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = (2\sin^2\alpha + \sin^2\alpha) + 2\cos^2\alpha$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 2 за скобки:
$\sin^2\alpha + (2\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha) = \sin^2\alpha + 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$.
Применяя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, упрощаем выражение:
$\sin^2\alpha + 2(1) = \sin^2\alpha + 2$.
Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\sin\alpha = \frac{1}{3}$. Сначала найдем $\sin^2\alpha$:
$\sin^2\alpha = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
Вычислим итоговое значение:
$\frac{1}{9} + 2 = \frac{1}{9} + \frac{18}{9} = \frac{19}{9}$.
Ответ: $\frac{19}{9}$.

22.12. Упростите выражение:

1) $ \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} + \sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}; $

2) $ \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}} + \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}. $

1)

Для упрощения выражения $ \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} + \sqrt{1 + \text{ctg}^2 \alpha} $ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.

Также используем тождество $ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.

Подставим эти тождества в исходное выражение. При извлечении квадратного корня из квадрата функции необходимо использовать модуль, так как результат корня должен быть неотрицательным: $ \sqrt{x^2} = |x| $.

Преобразуем первый член выражения:
$ \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{|\sin \alpha|} $.

Преобразуем второй член выражения:
$ \sqrt{1 + \text{ctg}^2 \alpha} = \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{|\sin \alpha|} $.

Теперь сложим полученные дроби: $ \frac{1}{|\sin \alpha|} + \frac{1}{|\sin \alpha|} = \frac{1+1}{|\sin \alpha|} = \frac{2}{|\sin \alpha|} $.

Область допустимых значений выражения определяется условиями: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным ($1 - \cos^2 \alpha > 0$, что эквивалентно $\sin^2 \alpha > 0$ или $\sin \alpha \neq 0$), и должен существовать котангенс ($\sin \alpha \neq 0$). Оба условия совпадают.

Ответ: $ \frac{2}{|\sin \alpha|} $

2)

Для упрощения выражения $ \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} + \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $ также воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Используем тождество $ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \sec^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.

Из основного тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Подставим тождества в исходное выражение, не забывая про модуль при извлечении корня.

Преобразуем первый член выражения:
$ \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}} = \frac{1}{\frac{1}{|\cos \alpha|}} = |\cos \alpha| $.

Преобразуем второй член выражения:
$ \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{\cos^2 \alpha} = |\cos \alpha| $.

Теперь сложим полученные выражения: $ |\cos \alpha| + |\cos \alpha| = 2|\cos \alpha| $.

Область допустимых значений определяется условием существования тангенса, то есть $ \cos \alpha \neq 0 $. При этом условии $ 1 + \text{tg}^2 \alpha $ всегда положительно, а $ 1 - \sin^2 \alpha $ всегда неотрицательно.

Ответ: $ 2|\cos \alpha| $

22.13. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 \beta - \sin^3 \beta}{1 + \cos\beta \cdot \sin\beta} = \cos\beta - \sin\beta;$

2) $\frac{\cos\beta}{1 + \sin\beta} - \frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} = -2tg\beta;$

3) $(1 + tg\beta)^2 + (1 - tg\beta)^2 = \frac{2}{\cos^2 \beta};$

4) $\frac{1 - 4\cos^2 \beta \cdot \sin^2 \beta}{(\cos\beta + \sin\beta)^2} + 2\cos\beta \cdot \sin\beta = 1.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. В числителе используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \cos\beta$ и $b = \sin\beta$. Получаем: $\frac{(\cos\beta - \sin\beta)(\cos^2\beta + \cos\beta\sin\beta + \sin^2\beta)}{1 + \cos\beta \cdot \sin\beta}$. Применяя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, выражение в скобках в числителе становится $(1 + \cos\beta\sin\beta)$. Тогда вся дробь принимает вид $\frac{(\cos\beta - \sin\beta)(1 + \cos\beta\sin\beta)}{1 + \cos\beta \sin\beta}$. Сокращая дробь на общий множитель $(1 + \cos\beta\sin\beta)$, мы получаем $\cos\beta - \sin\beta$. Полученное выражение равно правой части исходного тождества. Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(1 + \sin\beta)(1 - \sin\beta)$. Используя формулу разности квадратов, получаем $1 - \sin^2\beta$, что по основному тригонометрическому тождеству равно $\cos^2\beta$. Выражение принимает вид: $\frac{\cos\beta(1 - \sin\beta) - \cos\beta(1 + \sin\beta)}{(1 + \sin\beta)(1 - \sin\beta)} = \frac{\cos\beta - \cos\beta\sin\beta - \cos\beta - \cos\beta\sin\beta}{\cos^2\beta}$. Упростив числитель, получаем $\frac{-2\cos\beta\sin\beta}{\cos^2\beta}$. Сократив дробь на $\cos\beta$ (при условии, что $\cos\beta \neq 0$), получаем $\frac{-2\sin\beta}{\cos\beta}$. Так как $\operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$, конечный результат равен $-2\operatorname{tg}\beta$, что соответствует правой части тождества. Ответ: тождество доказано.

3) Рассмотрим левую часть тождества и раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Получаем $(1 + 2\operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta) + (1 - 2\operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta)$. После приведения подобных слагаемых ($2\operatorname{tg}\beta$ и $-2\operatorname{tg}\beta$ взаимно уничтожаются) выражение упрощается до $2 + 2\operatorname{tg}^2\beta$. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(1 + \operatorname{tg}^2\beta)$. Используя тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$, заменяем выражение в скобках. В итоге получаем $2 \cdot \frac{1}{\cos^2\beta} = \frac{2}{\cos^2\beta}$. Левая часть равна правой. Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим дробь. Числитель $1 - 4\cos^2\beta \sin^2\beta$ можно представить как разность квадратов $1^2 - (2\cos\beta\sin\beta)^2$, что равно $(1 - 2\cos\beta\sin\beta)(1 + 2\cos\beta\sin\beta)$. Знаменатель $(\cos\beta + \sin\beta)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы: $\cos^2\beta + 2\cos\beta\sin\beta + \sin^2\beta$. Используя тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, знаменатель равен $1 + 2\cos\beta\sin\beta$. Таким образом, дробь равна $\frac{(1 - 2\cos\beta\sin\beta)(1 + 2\cos\beta\sin\beta)}{1 + 2\cos\beta\sin\beta}$. Сократив на $(1 + 2\cos\beta\sin\beta)$, получаем $1 - 2\cos\beta\sin\beta$. Теперь подставим это в исходное выражение: $(1 - 2\cos\beta\sin\beta) + 2\cos\beta\sin\beta$. Взаимно уничтожив слагаемые $-2\cos\beta\sin\beta$ и $2\cos\beta\sin\beta$, получаем 1. Левая часть равна правой. Ответ: тождество доказано.

22.14. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $1 - \sin\gamma \cos\gamma \operatorname{tg}\gamma$, если $\sin\gamma = 0,6$;

2) $\cos^4\beta + \cos^2\beta \cdot \sin^2\beta$, если $\operatorname{tg}\beta = 3$;

3) $\frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta}$, если $\sin\beta = 0,3$;

4) $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{\cos\beta}{1 + \sin\beta}$, если $\cos\beta = 0,4$.

1) Упростим выражение $1 - \sin\gamma \cos\gamma \tan\gamma$.
Используя определение тангенса $\tan\gamma = \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}$, подставим его в выражение (при условии, что $\cos\gamma \neq 0$):
$1 - \sin\gamma \cos\gamma \cdot \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma} = 1 - \sin^2\gamma$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2\gamma = \cos^2\gamma$. Для вычисления нам достаточно выражения $1 - \sin^2\gamma$.
Найдем значение выражения при $\sin\gamma = 0,6$:
$1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.
Ответ: 0,64.

2) Упростим выражение $\cos^4\beta + \cos^2\beta \cdot \sin^2\beta$.
Вынесем общий множитель $\cos^2\beta$ за скобки:
$\cos^2\beta(\cos^2\beta + \sin^2\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$, получаем:
$\cos^2\beta \cdot 1 = \cos^2\beta$
Теперь найдем значение $\cos^2\beta$, зная, что $\tan\beta = 3$.
Воспользуемся тождеством $1 + \tan^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$:
$1 + 3^2 = \frac{1}{\cos^2\beta}$
$1 + 9 = \frac{1}{\cos^2\beta}$
$10 = \frac{1}{\cos^2\beta}$
$\cos^2\beta = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1.

3) Упростим выражение $\frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} + \frac{\sin\beta}{1 - \cos\beta}$.
(Примечание: в условии задачи, вероятно, допущена опечатка, и знаменатель второй дроби должен быть $1 - \cos\beta$, что соответствует стандартному виду подобных заданий и структуре пункта 4).
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \cos\beta)(1 - \cos\beta) = 1 - \cos^2\beta$. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.
$\frac{\sin\beta(1 - \cos\beta) + \sin\beta(1 + \cos\beta)}{(1 + \cos\beta)(1 - \cos\beta)} = \frac{\sin\beta - \sin\beta\cos\beta + \sin\beta + \sin\beta\cos\beta}{\sin^2\beta} = \frac{2\sin\beta}{\sin^2\beta}$
Сократим дробь на $\sin\beta$ (при условии, что $\sin\beta \neq 0$):
$\frac{2}{\sin\beta}$
Найдем значение выражения при $\sin\beta = 0,3$:
$\frac{2}{0,3} = \frac{2}{\frac{3}{10}} = \frac{2 \cdot 10}{3} = \frac{20}{3}$.
Ответ: $\frac{20}{3}$.

4) Упростим выражение $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{\cos\beta}{1 + \sin\beta}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin\beta)(1 + \sin\beta) = 1 - \sin^2\beta$. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2\beta = \cos^2\beta$.
$\frac{\cos\beta(1 + \sin\beta) + \cos\beta(1 - \sin\beta)}{(1 - \sin\beta)(1 + \sin\beta)} = \frac{\cos\beta + \cos\beta\sin\beta + \cos\beta - \cos\beta\sin\beta}{\cos^2\beta} = \frac{2\cos\beta}{\cos^2\beta}$
Сократим дробь на $\cos\beta$ (при условии, что $\cos\beta \neq 0$):
$\frac{2}{\cos\beta}$
Найдем значение выражения при $\cos\beta = 0,4$:
$\frac{2}{0,4} = \frac{2}{\frac{4}{10}} = \frac{2 \cdot 10}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
Ответ: 5.

22.15. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}$;

2) $\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}$;

3) $\sin(-\alpha) \cdot \operatorname{ctg}\alpha + \cos(-\alpha) = 0$;

4) $\cos\alpha \cdot \operatorname{tg}(-\alpha) - \sin(-\alpha) = 0$.

1) Для доказательства данного "тождества" преобразуем его левую часть. Заменим котангенс по определению: $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$.
$\frac{cosα}{1 - sinα} + ctgα = \frac{cosα}{1 - sinα} + \frac{cosα}{sinα}$
Приведем слагаемые к общему знаменателю $sinα(1 - sinα)$:
$\frac{cosα \cdot sinα + cosα \cdot (1 - sinα)}{sinα(1 - sinα)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$\frac{cosα \cdot sinα + cosα - cosα \cdot sinα}{sinα(1 - sinα)} = \frac{cosα}{sinα(1 - sinα)}$
Полученное выражение $\frac{cosα}{sinα(1 - sinα)}$ не равно правой части $\frac{1}{sinα}$. Равенство было бы верным, если бы $cosα = 1 - sinα$, что не является тождеством (например, не выполняется для $α = \frac{π}{4}$).
Можно также привести контрпример. Пусть $α = \frac{π}{6}$, тогда $sinα = \frac{1}{2}$, $cosα = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $ctgα = \sqrt{3}$.
Левая часть: $\frac{\sqrt{3}/2}{1 - 1/2} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Правая часть: $\frac{1}{sin(π/6)} = \frac{1}{1/2} = 2$.
Так как $2\sqrt{3} \ne 2$, исходное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.
Ответ: Тождество неверно. Левая часть равна $\frac{cosα}{sinα(1 - sinα)}$, а правая $\frac{1}{sinα}$.

2) Преобразуем левую часть тождества. Заменим тангенс по определению: $tgα = \frac{sinα}{cosα}$.
$\frac{cosα}{1 + sinα} + tgα = \frac{cosα}{1 + sinα} + \frac{sinα}{cosα}$
Приведем дроби к общему знаменателю $cosα(1 + sinα)$:
$\frac{cosα \cdot cosα + sinα \cdot (1 + sinα)}{cosα(1 + sinα)} = \frac{cos^2α + sinα + sin^2α}{cosα(1 + sinα)}$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2α + cos^2α = 1$ в числителе:
$\frac{(sin^2α + cos^2α) + sinα}{cosα(1 + sinα)} = \frac{1 + sinα}{cosα(1 + sinα)}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 + sinα)$, при условии, что $1 + sinα \ne 0$ (т.е. $sinα \ne -1$):
$\frac{1}{cosα}$
Мы преобразовали левую часть к правой. Тождество доказано.
Ответ: $\frac{1}{cosα} = \frac{1}{cosα}$.

3) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: синус — функция нечетная ($sin(-α) = -sinα$), а косинус — функция четная ($cos(-α) = cosα$).
$sin(-α) \cdot ctgα + cos(-α) = -sinα \cdot ctgα + cosα$
Заменим $ctgα$ на отношение $\frac{cosα}{sinα}$:
$-sinα \cdot \frac{cosα}{sinα} + cosα$
Сократим $sinα$ (при условии, что $sinα \ne 0$):
$-cosα + cosα = 0$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $0 = 0$.

4) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства нечетности функций тангенса и синуса: $tg(-α) = -tgα$ и $sin(-α) = -sinα$.
$cosα \cdot tg(-α) - sin(-α) = cosα \cdot (-tgα) - (-sinα) = -cosα \cdot tgα + sinα$
Заменим $tgα$ на отношение $\frac{sinα}{cosα}$:
$-cosα \cdot \frac{sinα}{cosα} + sinα$
Сократим $cosα$ (при условии, что $cosα \ne 0$):
$-sinα + sinα = 0$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $0 = 0$.