Страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.36. 1)

$\begin{cases}x+y=3, \\y+z=-1, \\xz=-3;\end{cases}$

2)

$\begin{cases}x^2+y^2=5, \\y-2z=3, \\x+z=1;\end{cases}$

3)

$\begin{cases}z-x=4, \\y-z=-3, \\x^2+y^2+z^2=30;\end{cases}$

4)

$\begin{cases}xy=6, \\yz=2, \\x^2+z^2=10.\end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 3 \\ y + z = -1 \\ xz = -3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 3 - x$.
Из второго уравнения выразим $z$ через $y$: $z = -1 - y$.
Подставим выражение для $y$ в выражение для $z$: $z = -1 - (3 - x) = -1 - 3 + x = x - 4$.
Теперь у нас есть выражения для $y$ и $z$ через $x$. Подставим выражение для $z$ в третье уравнение системы: $x(x - 4) = -3$.
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x = -3$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Найдем соответствующие значения $y$ и $z$ для каждого найденного $x$.
Случай 1: Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 3 - x_1 = 3 - 1 = 2$
$z_1 = x_1 - 4 = 1 - 4 = -3$
Получаем первое решение: $(1, 2, -3)$.
Случай 2: Если $x_2 = 3$, то:
$y_2 = 3 - x_2 = 3 - 3 = 0$
$z_2 = x_2 - 4 = 3 - 4 = -1$
Получаем второе решение: $(3, 0, -1)$.
Проверка подтверждает, что оба набора чисел являются решениями системы.
Ответ: $(1, 2, -3)$, $(3, 0, -1)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ y - 2z = 3 \\ x + z = 1 \end{cases} $
Из второго и третьего уравнений выразим $x$ и $y$ через $z$:
Из $x + z = 1$ следует, что $x = 1 - z$.
Из $y - 2z = 3$ следует, что $y = 3 + 2z$.
Подставим эти выражения в первое уравнение системы:
$(1 - z)^2 + (3 + 2z)^2 = 5$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$(1 - 2z + z^2) + (9 + 12z + 4z^2) = 5$
$5z^2 + 10z + 10 = 5$
$5z^2 + 10z + 5 = 0$
Разделим обе части уравнения на 5:
$z^2 + 2z + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(z + 1)^2 = 0$.
Отсюда получаем единственное значение для $z$: $z = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ и $y$:
$x = 1 - z = 1 - (-1) = 2$
$y = 3 + 2z = 3 + 2(-1) = 1$
Решение системы: $(2, 1, -1)$.
Проверим: $2^2 + 1^2 = 5$, $1 - 2(-1) = 3$, $2 + (-1) = 1$. Все равенства верны.
Ответ: $(2, 1, -1)$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} z - x = 4 \\ y - z = -3 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 30 \end{cases} $
Из первых двух уравнений выразим $x$ и $y$ через $z$:
Из $z - x = 4$ следует, что $x = z - 4$.
Из $y - z = -3$ следует, что $y = z - 3$.
Подставим эти выражения в третье уравнение:
$(z - 4)^2 + (z - 3)^2 + z^2 = 30$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(z^2 - 8z + 16) + (z^2 - 6z + 9) + z^2 = 30$
$3z^2 - 14z + 25 = 30$
$3z^2 - 14z - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
Находим корни для $z$:
$z = \frac{14 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$
$z_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$z_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого $z$.
Случай 1: Если $z_1 = 5$, то:
$x_1 = z_1 - 4 = 5 - 4 = 1$
$y_1 = z_1 - 3 = 5 - 3 = 2$
Первое решение: $(1, 2, 5)$.
Случай 2: Если $z_2 = -1/3$, то:
$x_2 = z_2 - 4 = -\frac{1}{3} - 4 = -\frac{13}{3}$
$y_2 = z_2 - 3 = -\frac{1}{3} - 3 = -\frac{10}{3}$
Второе решение: $(-\frac{13}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$.
Ответ: $(1, 2, 5)$, $(-\frac{13}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{1}{3})$.

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy = 6 \\ yz = 2 \\ x^2 + z^2 = 10 \end{cases} $
Так как произведения $xy$ и $yz$ не равны нулю, то ни одна из переменных $x, y, z$ не может быть равна нулю.
Из первого уравнения выразим $y = \frac{6}{x}$.
Из второго уравнения выразим $y = \frac{2}{z}$.
Приравняем два выражения для $y$:
$\frac{6}{x} = \frac{2}{z}$
$6z = 2x$
$x = 3z$
Подставим это соотношение в третье уравнение системы:
$(3z)^2 + z^2 = 10$
$9z^2 + z^2 = 10$
$10z^2 = 10$
$z^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $z$: $z_1 = 1$ и $z_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$ и $y$.
Случай 1: Если $z_1 = 1$, то:
$x_1 = 3z_1 = 3 \cdot 1 = 3$
$y_1 = \frac{2}{z_1} = \frac{2}{1} = 2$
Первое решение: $(3, 2, 1)$.
Случай 2: Если $z_2 = -1$, то:
$x_2 = 3z_2 = 3 \cdot (-1) = -3$
$y_2 = \frac{2}{z_2} = \frac{2}{-1} = -2$
Второе решение: $(-3, -2, -1)$.
Ответ: $(3, 2, 1)$, $(-3, -2, -1)$.

3.37.1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 12, \\ xy + xz + yz = 12; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 3, \\ x + z + y = 3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 108, \\ x + z + y = 18. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 = 12 \\xy + xz + yz = 12\end{cases}$
Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:$x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$
Перенесем все члены в левую часть:$x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы сгруппировать члены в полные квадраты:$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz = 0$
Сгруппируем члены:$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2xz + z^2) + (y^2 - 2yz + z^2) = 0$
Это можно записать в виде суммы квадратов:$(x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2 = 0$
Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из членов равен нулю.$x - y = 0 \implies x = y$
$x - z = 0 \implies x = z$
$y - z = 0 \implies y = z$
Следовательно, $x = y = z$.
Подставим это равенство в первое уравнение системы:$x^2 + x^2 + x^2 = 12$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$
Таким образом, мы получаем два набора решений:
1. $x = y = z = 2$
2. $x = y = z = -2$
Проверим оба решения.
Для $(2, 2, 2)$:$2^2 + 2^2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12$
$2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 + 4 = 12$
Решение верное.
Для $(-2, -2, -2)$:$(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 4 = 12$
$(-2)(-2) + (-2)(-2) + (-2)(-2) = 4 + 4 + 4 = 12$
Решение верное.
Ответ: $(2, 2, 2)$, $(-2, -2, -2)$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\x + y + z = 3\end{cases}$
Это симметрическая система. Воспользуемся известным тождеством: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+xz+yz)$.
Подставим в это тождество значения из системы:$3^2 = 3 + 2(xy+xz+yz)$
$9 = 3 + 2(xy+xz+yz)$
$6 = 2(xy+xz+yz)$
$xy+xz+yz = 3$
Теперь мы видим, что $x^2+y^2+z^2 = 3$ и $xy+xz+yz = 3$. Приравняем левые части:$x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$
Как и в предыдущей задаче, это уравнение эквивалентно:$(x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2 = 0$
Это означает, что $x = y = z$.
Подставим это равенство во второе уравнение исходной системы:$x + x + x = 3$
$3x = 3$
$x = 1$
Следовательно, единственное решение системы — $x=y=z=1$.
Проверим решение:$1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$
$1 + 1 + 1 = 3$
Оба уравнения удовлетворяются.
Ответ: $(1, 1, 1)$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 = 108 \\x + y + z = 18\end{cases}$
Эта система аналогична предыдущей. Воспользуемся тождеством: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+xz+yz)$.
Подставим известные значения:$18^2 = 108 + 2(xy+xz+yz)$
$324 = 108 + 2(xy+xz+yz)$
$324 - 108 = 2(xy+xz+yz)$
$216 = 2(xy+xz+yz)$
$xy+xz+yz = 108$
Мы получили, что $x^2+y^2+z^2 = 108$ и $xy+xz+yz = 108$.
Приравнивая левые части, получаем:$x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$
Это уравнение, как мы уже показывали, приводит к выводу, что $x=y=z$.
Подставим это условие во второе уравнение исходной системы:$x + x + x = 18$
$3x = 18$
$x = 6$
Следовательно, единственное решение системы — $x=y=z=6$.
Проверим это решение:$6^2 + 6^2 + 6^2 = 36 + 36 + 36 = 108$
$6 + 6 + 6 = 18$
Оба уравнения выполняются.
Ответ: $(6, 6, 6)$.

*3.38. Найдите множество значений параметра p, при котором имеет единственное решение система уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = p, \\ x^2 + y^2 = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x + y = p, \\ x^2 - y = -1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y = p, \\ 2x + y^2 = 1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x - y = p, \\ x^2 + y^2 = 4. \end{cases} $

Для нахождения значений параметра $p$, при которых система уравнений имеет единственное решение, мы будем использовать аналитический метод. В каждом случае мы выразим одну переменную через другую из одного уравнения и подставим во второе. Это приведет к квадратному уравнению относительно одной из переменных. Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение будет иметь единственный корень, что равносильно условию равенства нулю его дискриминанта ($D=0$).

Геометрически это означает, что графики уравнений (прямая и окружность/парабола) касаются друг друга, то есть имеют одну общую точку.

1) Дана система:

$\begin{cases}x + y = p, \\x^2 + y^2 = 2;\end{cases}$

Первое уравнение — это семейство прямых, а второе — окружность с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt{2}$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = p - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (p - x)^2 = 2$

$x^2 + p^2 - 2px + x^2 = 2$

$2x^2 - 2px + (p^2 - 2) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю.

$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (p^2 - 2) = 4p^2 - 8(p^2 - 2) = 4p^2 - 8p^2 + 16 = -4p^2 + 16$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$-4p^2 + 16 = 0$

$4p^2 = 16$

$p^2 = 4$

$p = \pm 2$.

Ответ: $p = -2, p = 2$.

2) Дана система:

$\begin{cases}2x + y = p, \\x^2 - y = -1;\end{cases}$

Первое уравнение — это семейство прямых, а второе — парабола $y = x^2 + 1$ с вершиной в точке $(0, 1)$.

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = x^2 + 1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x + (x^2 + 1) = p$

$x^2 + 2x + (1 - p) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдём его дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - p) = 4 - 4 + 4p = 4p$.

Приравняем дискриминант к нулю для единственного решения:

$4p = 0$

$p = 0$.

Ответ: $p = 0$.

3) Дана система:

$\begin{cases}x + y = p, \\2x + y^2 = 1;\end{cases}$

Первое уравнение — это семейство прямых, а второе — парабола $x = -\frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}$ с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$, ветви которой направлены влево.

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = p - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(p - y) + y^2 = 1$

$2p - 2y + y^2 = 1$

$y^2 - 2y + (2p - 1) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдём его дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p - 1) = 4 - 8p + 4 = 8 - 8p$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$8 - 8p = 0$

$8p = 8$

$p = 1$.

Ответ: $p = 1$.

4) Дана система:

$\begin{cases}x - y = p, \\x^2 + y^2 = 4;\end{cases}$

Первое уравнение — это семейство прямых, а второе — окружность с центром в начале координат и радиусом $R=2$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = x - p$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (x - p)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 2px + p^2 = 4$

$2x^2 - 2px + (p^2 - 4) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдём его дискриминант:

$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (p^2 - 4) = 4p^2 - 8(p^2 - 4) = 4p^2 - 8p^2 + 32 = -4p^2 + 32$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$-4p^2 + 32 = 0$

$4p^2 = 32$

$p^2 = 8$

$p = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Ответ: $p = -2\sqrt{2}, p = 2\sqrt{2}$.

3.39. Решите неравенство:

1) $0.4x (3x - 1) - x - 1.1 < 1.2x (x - 3);$

2) $4 + 0.2x (x - 1) - x (0.2x + 0.5) < 0.6x;$

3) $15y^2 - 12y - 30 > 10y + 7;$

4) $(y + 0.6) \cdot (y + 1.6) \cdot (1.2 - y) > 0.$

1) $0,4x(3x - 1) - x - 1,1 < 1,2x(x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$0,4x \cdot 3x - 0,4x \cdot 1 - x - 1,1 < 1,2x \cdot x - 1,2x \cdot 3$

$1,2x^2 - 0,4x - x - 1,1 < 1,2x^2 - 3,6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$1,2x^2 - 1,4x - 1,1 < 1,2x^2 - 3,6x$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$1,2x^2 - 1,2x^2 - 1,4x + 3,6x - 1,1 < 0$

$2,2x - 1,1 < 0$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$2,2x < 1,1$

$x < \frac{1,1}{2,2}$

$x < 0,5$

Решение можно записать в виде интервала $(-\infty; 0,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,5)$.

2) $4 + 0,2x(x - 1) - x(0,2x + 0,5) < 0,6x$

Сначала раскроем скобки:

$4 + 0,2x \cdot x + 0,2x \cdot (-1) - x \cdot 0,2x - x \cdot 0,5 < 0,6x$

$4 + 0,2x^2 - 0,2x - 0,2x^2 - 0,5x < 0,6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$4 + (0,2x^2 - 0,2x^2) + (-0,2x - 0,5x) < 0,6x$

$4 - 0,7x < 0,6x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы оставим в левой:

$4 < 0,6x + 0,7x$

$4 < 1,3x$

Разделим обе части на 1,3 (так как 1,3 > 0, знак неравенства не меняется), чтобы выразить $x$:

$x > \frac{4}{1,3}$

Преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 10:

$x > \frac{40}{13}$

Решение неравенства — интервал $(\frac{40}{13}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{40}{13}; +\infty)$.

3) $15y^2 - 12y - 30 > 10y + 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратичное неравенство вида $ay^2+by+c > 0$:

$15y^2 - 12y - 10y - 30 - 7 > 0$

$15y^2 - 22y - 37 > 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $15y^2 - 22y - 37 = 0$ с помощью дискриминанта.

$a=15$, $b=-22$, $c=-37$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-37) = 484 + 2220 = 2704$.

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 52}{2 \cdot 15} = \frac{-30}{30} = -1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 52}{2 \cdot 15} = \frac{74}{30} = \frac{37}{15}$

Графиком функции $f(y) = 15y^2 - 22y - 37$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=15 > 0$). Следовательно, значения функции больше нуля ($f(y) > 0$) при значениях $y$, находящихся вне интервала между корнями. Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в решение.

Изобразим решение на числовой оси:

Неравенство выполняется на интервалах, где стоит знак «+».

Таким образом, решение: $y < -1$ или $y > \frac{37}{15}$.

Ответ: $y \in (-\infty; -1) \cup (\frac{37}{15}; +\infty)$.

4) $(y + 0,6) \cdot (y + 1,6) \cdot (1,2 - y) > 0$

Это неравенство решим методом интервалов. Сначала найдем корни выражения, приравняв его к нулю:

$(y + 0,6)(y + 1,6)(1,2 - y) = 0$

Корнями являются $y_1 = -0,6$, $y_2 = -1,6$, $y_3 = 1,2$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-1,6$, $-0,6$, $1,2$. Так как неравенство строгое, точки на оси будут выколотыми.

Определим знаки выражения $f(y) = (y + 0,6)(y + 1,6)(1,2 - y)$ в каждом из получившихся интервалов. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(1,2; +\infty)$, например $y=2$:

$f(2) = (2 + 0,6)(2 + 1,6)(1,2 - 2) = (2,6)(3,6)(-0,8) < 0$.

Значит, в крайнем правом интервале выражение отрицательно. Так как все корни имеют кратность 1, знаки в интервалах будут чередоваться.

Изобразим знаки на числовой оси:

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Из рисунка видно, что это интервалы $(-\infty; -1,6)$ и $(-0,6; 1,2)$.

Ответ: $y \in (-\infty; -1,6) \cup (-0,6; 1,2)$.

3.40. При каких значениях переменной принимает неотрицательные значения выражение:

1) $-x^2 - 2x + 120;$

2) $2x^2 - 9x - 45;$

3) $\frac{9}{x} - \frac{x}{4};$

4) $\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x}?$

1) Чтобы найти, при каких значениях переменной выражение $-x^2 - 2x + 120$ принимает неотрицательные значения, решим неравенство $-x^2 - 2x + 120 \ge 0$.

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения $-x^2 - 2x + 120 = 0$. Умножим обе части на $-1$, чтобы получить приведенное уравнение: $x^2 + 2x - 120 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 22}{2} = -12$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 22}{2} = 10$.

Функция $y = -x^2 - 2x + 120$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Это означает, что функция принимает неотрицательные значения на отрезке между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, удовлетворяющие условию $-12 \le x \le 10$.

Ответ: $x \in [-12; 10]$.

2) Найдем значения $x$, при которых выполняется неравенство $2x^2 - 9x - 45 \ge 0$.

Сначала решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 9x - 45 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 81 + 360 = 441$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 7,5$.

Графиком функции $y = 2x^2 - 9x - 45$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решением неравенства является объединение двух промежутков: $x \le -3$ и $x \ge 7,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [7,5; +\infty)$.

3) Для выражения $\frac{9}{x} - \frac{x}{4}$ нужно решить неравенство $\frac{9}{x} - \frac{x}{4} \ge 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $4x$: $\frac{9 \cdot 4}{4x} - \frac{x \cdot x}{4x} \ge 0$, что преобразуется в $\frac{36 - x^2}{4x} \ge 0$.

Для решения этого рационального неравенства используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $36 - x^2 = 0 \Rightarrow (6-x)(6+x) = 0 \Rightarrow x_1 = 6, x_2 = -6$. Эти точки входят в решение, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $4x = 0 \Rightarrow x = 0$. Эта точка не входит в решение (знаменатель не может быть равен нулю), поэтому она будет "выколотой" на числовой оси.

Отметим точки $-6, 0, 6$ на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{36 - x^2}{4x}$ в получившихся интервалах.

Проверяем знаки на интервалах:
- при $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{36-49}{-28} > 0$ (знак "+").
- при $-6 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{36-1}{-4} < 0$ (знак "-").
- при $0 < x < 6$ (например, $x=1$): $\frac{36-1}{4} > 0$ (знак "+").
- при $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{36-49}{28} < 0$ (знак "-").

Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно (знак "+"), а также точки, где оно равно нулю. Это объединение промежутков $(-\infty; -6]$ и $(0; 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup (0; 6]$.

4) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 2x} \ge 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Для числителя $2x^2 - 3x - 2$ найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_1 = \frac{3-5}{4} = -0,5$ и $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$.

Следовательно, числитель раскладывается как $2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + 0,5) = (x - 2)(2x + 1)$.

Знаменатель раскладывается на множители: $x^2 - 2x = x(x-2)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 2)(2x + 1)}{x(x - 2)} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \neq 0$ и $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$. Неравенство (с учетом ОДЗ) становится равносильно системе:$$ \begin{cases} \frac{2x+1}{x} \ge 0 \\ x \neq 2 \end{cases} $$

Решим неравенство $\frac{2x+1}{x} \ge 0$ методом интервалов. Нуль числителя $x = -0,5$. Нуль знаменателя $x = 0$.

Точки $-0,5$ и $0$ разбивают числовую ось на три интервала. Точка $x=-0,5$ включается в решение, а $x=0$ - нет.

Проверяя знаки на интервалах, находим, что $\frac{2x+1}{x} \ge 0$ при $x \in (-\infty; -0,5] \cup (0; +\infty)$.

Теперь необходимо учесть второе условие системы: $x \neq 2$. Точка $2$ находится в промежутке $(0; +\infty)$, поэтому ее нужно исключить. Для этого "разрываем" промежуток в этой точке.

Окончательное решение: $x \in (-\infty; -0,5] \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5] \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

3.41. 1) Длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. Какой может быть длина, если площадь прямоугольника меньше $36 \text{ cm}^2$?

2) Длина участка прямоугольной формы на 7 м больше его ширины. Какую ширину должен иметь этот участок, чтобы его площадь была больше $60 \text{ m}^2$?

3) У хозяина птицефермы имеется материал для построения забора длиной 96 м. Вычислите стороны прямоугольного загона для уток и гусей на птицеферме площадью 5,4 а ($1 \text{ а} = 100 \text{ m}^2$).

1) Пусть $l$ см – длина прямоугольника. По условию, она на 5 см больше ширины, значит ширина равна $(l - 5)$ см.
Так как размеры сторон должны быть положительными числами, то ширина $(l-5)$ должна быть больше нуля:
$l - 5 > 0$
$l > 5$
Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$. В нашем случае $S = l(l - 5)$.
По условию, площадь меньше $36 \text{ см}^2$, составим и решим неравенство:
$l(l - 5) < 36$
$l^2 - 5l < 36$
$l^2 - 5l - 36 < 0$
Чтобы решить квадратное неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $l^2 - 5l - 36 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения:
$l_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4$
$l_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9$
Парабола $y = l^2 - 5l - 36$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $l^2 - 5l - 36 < 0$ выполняется для значений $l$, находящихся между корнями: $-4 < l < 9$.
Объединим это решение с ранее найденным условием $l > 5$.
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} -4 < l < 9 \\ l > 5 \end{cases}$
Решением системы является интервал $5 < l < 9$.
Ответ: длина прямоугольника должна быть больше 5 см, но меньше 9 см.

2) Пусть $w$ м – ширина участка. По условию, длина на 7 м больше ширины, значит длина равна $(w + 7)$ м.
Площадь участка $S$ равна $w(w + 7)$.
По условию, площадь должна быть больше $60 \text{ м}^2$, составим и решим неравенство:
$w(w + 7) > 60$
$w^2 + 7w > 60$
$w^2 + 7w - 60 > 0$
Найдем корни уравнения $w^2 + 7w - 60 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2$.
Корни уравнения:
$w_1 = \frac{-7 - 17}{2} = -12$
$w_2 = \frac{-7 + 17}{2} = 5$
Парабола $y = w^2 + 7w - 60$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $w^2 + 7w - 60 > 0$ выполняется для значений $w$, находящихся вне интервала между корнями: $w < -12$ или $w > 5$.
Так как ширина участка не может быть отрицательной, нас интересует только решение $w > 5$.
Ответ: ширина участка должна быть больше 5 м.

3) Сначала переведем площадь из аров в квадратные метры, зная, что 1 а = 100 м²:
$S = 5,4 \text{ а} = 5,4 \cdot 100 \text{ м}^2 = 540 \text{ м}^2$.
Длина забора представляет собой периметр прямоугольного загона. Пусть стороны загона равны $a$ и $b$ метров.
Периметр $P = 2(a + b)$. По условию $P = 96$ м.
$2(a + b) = 96$
$a + b = 48$
Выразим одну сторону через другую, например, $b = 48 - a$.
Площадь загона $S = a \cdot b$. Подставим известные значения и выражение для $b$:
$a \cdot (48 - a) = 540$
$48a - a^2 = 540$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$a^2 - 48a + 540 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2304 - 2160 = 144 = 12^2$.
Найдем корни:
$a_1 = \frac{48 - 12}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$a_2 = \frac{48 + 12}{2} = \frac{60}{2} = 30$
Мы нашли возможные значения для одной из сторон. Найдем вторую сторону для каждого случая:
Если $a = 18$ м, то $b = 48 - 18 = 30$ м.
Если $a = 30$ м, то $b = 48 - 30 = 18$ м.
В обоих случаях стороны прямоугольного загона равны 18 м и 30 м.
Ответ: стороны загона равны 18 м и 30 м.

22.22. Существует ли угол $\alpha$, для которого верно равенство:

1) $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{5}$;

2) $\sin\alpha = \frac{5}{8}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{8}$;

3) $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{4}$;

4) $\text{tg}\alpha = 1,4$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{5}{7}$;

5) $\text{tg}\alpha = -2,4$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{5}{12}$;

6) $\text{tg}\alpha = \sqrt{3}$ и $\text{ctg}\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$?

1) Для проверки существования угла $\alpha$, для которого верны равенства $sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $cos\alpha = \frac{3}{5}$, используется основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Подставим в него заданные значения:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{16 + 9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Так как тождество выполняется ($1 = 1$), такой угол существует.
Ответ: да, существует.

2) Проверим, существует ли угол $\alpha$ с $sin\alpha = \frac{5}{8}$ и $cos\alpha = \frac{3}{8}$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (\frac{5}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 = \frac{25}{64} + \frac{9}{64} = \frac{25 + 9}{64} = \frac{34}{64}$.
Равенство не выполняется, так как $\frac{34}{64} \neq 1$.
Ответ: нет, не существует.

3) Проверим равенства $sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $cos\alpha = -\frac{3}{4}$, используя тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (\frac{4}{5})^2 + (-\frac{3}{4})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{16}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $25 \cdot 16 = 400$:
$\frac{16 \cdot 16}{400} + \frac{9 \cdot 25}{400} = \frac{256}{400} + \frac{225}{400} = \frac{481}{400}$.
Равенство не выполняется, так как $\frac{481}{400} \neq 1$.
Ответ: нет, не существует.

4) Для проверки равенств $tg\alpha = 1,4$ и $ctg\alpha = \frac{5}{7}$ используется тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Подставим значения в тождество:
$tg\alpha \cdot ctg\alpha = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7} = 1$.
Тождество выполняется. Также знаки тангенса и котангенса совпадают (оба положительные), что является необходимым условием.
Ответ: да, существует.

5) Проверим равенства $tg\alpha = -2,4$ и $ctg\alpha = \frac{5}{12}$.
Для любого угла $\alpha$ тангенс и котангенс должны иметь одинаковые знаки, так как $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$. В данном случае $tg\alpha = -2,4$ (отрицательный), а $ctg\alpha = \frac{5}{12}$ (положительный). Поскольку знаки разные, такой угол не может существовать.
Можно также проверить тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
$-2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}$.
$tg\alpha \cdot ctg\alpha = (-\frac{12}{5}) \cdot \frac{5}{12} = -1$.
Так как $-1 \neq 1$, тождество не выполняется.
Ответ: нет, не существует.

6) Проверим равенства $tg\alpha = \sqrt{3}$ и $ctg\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Тангенс и котангенс должны иметь одинаковые знаки. Здесь $tg\alpha > 0$, а $ctg\alpha < 0$. Разные знаки означают, что такой угол не существует.
Проверим тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$:
$tg\alpha \cdot ctg\alpha = \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{(\sqrt{3})^2}{3} = -\frac{3}{3} = -1$.
Поскольку $-1 \neq 1$, тождество не выполняется.
Ответ: нет, не существует.

22.23. Найдите значение выражения $ctg^2 \beta + \frac{1}{\cos\beta \cdot \sin\beta} + tg^2 \beta$, если $ctg \beta + tg \beta = 4$.

Для нахождения значения выражения, мы преобразуем его части, используя данное условие $\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta = 4$.

Сначала преобразуем сумму котангенса и тангенса, выразив их через синус и косинус:

$\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\cos^2\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta \cdot \cos\beta}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, получаем:

$\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta = \frac{1}{\sin\beta \cdot \cos\beta}$

Так как по условию $\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta = 4$, то мы можем заключить, что:

$\frac{1}{\sin\beta \cdot \cos\beta} = 4$

Теперь мы знаем значение среднего слагаемого в искомом выражении.

Далее, найдем значение суммы $\text{ctg}^2\beta + \text{tg}^2\beta$. Для этого возведем в квадрат обе части исходного равенства:

$(\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta)^2 = 4^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$\text{ctg}^2\beta + 2 \cdot \text{ctg}\beta \cdot \text{tg}\beta + \text{tg}^2\beta = 16$

Мы знаем, что произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице: $\text{ctg}\beta \cdot \text{tg}\beta = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$\text{ctg}^2\beta + 2 \cdot 1 + \text{tg}^2\beta = 16$

$\text{ctg}^2\beta + \text{tg}^2\beta = 16 - 2$

$\text{ctg}^2\beta + \text{tg}^2\beta = 14$

Теперь у нас есть значения для всех частей искомого выражения. Подставим их в исходное выражение:

$\text{ctg}^2\beta + \frac{1}{\cos\beta \cdot \sin\beta} + \text{tg}^2\beta = (\text{ctg}^2\beta + \text{tg}^2\beta) + \frac{1}{\cos\beta \cdot \sin\beta}$

Подставляем найденные значения $14$ и $4$:

$14 + 4 = 18$

Ответ: 18

22.24. Упростите выражение:

1) $1 - \sin^2 3\beta - \cos^2 3\beta;$

2) $\frac{(\sin^2 4\alpha - \cos^2 4\alpha)^2}{1 - 4\sin^2 4\alpha \cdot \cos^2 4\alpha};$

3) $2 - 2 \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha;$

4) $1 - 2\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sin^6 \alpha - \cos^6 \alpha.$

1) Исходное выражение: $1 - \sin^2 3\beta - \cos^2 3\beta$.
Вынесем $-1$ за скобки у второго и третьего слагаемых: $1 - (\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, где $x = 3\beta$:
$1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$.

2) Исходное выражение: $\frac{(\sin^2 4\alpha - \cos^2 4\alpha)^2}{1 - 4\sin^2 4\alpha \cdot \cos^2 4\alpha}$.
Упростим числитель. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$\sin^2 4\alpha - \cos^2 4\alpha = -(\cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha) = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha)$.
Тогда числитель равен $(-\cos(8\alpha))^2 = \cos^2(8\alpha)$.
Упростим знаменатель. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
$1 - 4\sin^2 4\alpha \cos^2 4\alpha = 1 - (2\sin 4\alpha \cos 4\alpha)^2 = 1 - (\sin(2 \cdot 4\alpha))^2 = 1 - \sin^2(8\alpha)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, откуда $1 - \sin^2 y = \cos^2 y$. При $y=8\alpha$ получаем $1 - \sin^2(8\alpha) = \cos^2(8\alpha)$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$\frac{\cos^2(8\alpha)}{\cos^2(8\alpha)} = 1$.
Ответ: $1$.

3) Исходное выражение: $2 - 2\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^4\alpha - \cos^4\alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $2 - (\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha)$.
Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$.

4) Исходное выражение: $1 - 2\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^6\alpha - \cos^6\alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $1 - (\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha$.
Преобразуем сумму кубов $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \sin^2\alpha$ и $b=\cos^2\alpha$:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)((\sin^2\alpha)^2 - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2) = 1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha)$.
Преобразуем $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Тогда $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$1 - (1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 1 + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

22.25. Известно, что $\sin \beta + \cos \beta = 0,6$. Найдите значение выражения:

1) $\sin \beta - \cos \beta$;

2) $\sin^3 \beta + \cos^3 \beta$;

3) $\sin^4 \beta + \cos^4 \beta$;

4) $\sin^6 \beta + \cos^6 \beta$.

Для решения всех пунктов задачи сначала найдем значение произведения $sin \beta cos \beta$. Из данного условия $sin \beta + cos \beta = 0,6$ путем возведения обеих частей равенства в квадрат получаем:
$(sin \beta + cos \beta)^2 = 0,6^2$
$sin^2 \beta + 2 sin \beta cos \beta + cos^2 \beta = 0,36$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$, имеем:
$1 + 2 sin \beta cos \beta = 0,36$
$2 sin \beta cos \beta = 0,36 - 1 = -0,64$
$sin \beta cos \beta = -0,32$

1) sinβ - cosβ;
Пусть искомое значение равно $x$, то есть $x = sin \beta - cos \beta$. Возведем это выражение в квадрат:
$x^2 = (sin \beta - cos \beta)^2 = sin^2 \beta - 2 sin \beta cos \beta + cos^2 \beta$
$x^2 = (sin^2 \beta + cos^2 \beta) - 2 sin \beta cos \beta = 1 - 2 sin \beta cos \beta$
Подставим ранее найденное значение $2 sin \beta cos \beta = -0,64$:
$x^2 = 1 - (-0,64) = 1 + 0,64 = 1,64$
Следовательно, $x = \pm\sqrt{1,64}$. Так как нет дополнительной информации об угле $\beta$, возможны два значения.
Ответ: $\pm\sqrt{1,64}$.

2) sin³β + cos³β;
Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$sin^3 \beta + cos^3 \beta = (sin \beta + cos \beta)(sin^2 \beta - sin \beta cos \beta + cos^2 \beta)$
$sin^3 \beta + cos^3 \beta = (sin \beta + cos \beta)((sin^2 \beta + cos^2 \beta) - sin \beta cos \beta)$
Подставим известные значения $sin \beta + cos \beta = 0,6$ и $sin \beta cos \beta = -0,32$:
$sin^3 \beta + cos^3 \beta = 0,6 \cdot (1 - (-0,32)) = 0,6 \cdot (1 + 0,32) = 0,6 \cdot 1,32 = 0,792$.
Ответ: $0,792$.

3) sin⁴β + cos⁴β;
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
$sin^4 \beta + cos^4 \beta = (sin^2 \beta)^2 + (cos^2 \beta)^2 = (sin^2 \beta + cos^2 \beta)^2 - 2 sin^2 \beta cos^2 \beta$
$sin^4 \beta + cos^4 \beta = 1^2 - 2(sin \beta cos \beta)^2$
Подставим значение $sin \beta cos \beta = -0,32$:
$sin^4 \beta + cos^4 \beta = 1 - 2(-0,32)^2 = 1 - 2(0,1024) = 1 - 0,2048 = 0,7952$.
Ответ: $0,7952$.

4) sin⁶β + cos⁶β;
Представим выражение как сумму кубов для квадратов: $sin^6 \beta + cos^6 \beta = (sin^2 \beta)^3 + (cos^2 \beta)^3$.
Применим формулу суммы кубов:
$sin^6 \beta + cos^6 \beta = (sin^2 \beta + cos^2 \beta)((sin^2 \beta)^2 - sin^2 \beta cos^2 \beta + (cos^2 \beta)^2)$
$sin^6 \beta + cos^6 \beta = 1 \cdot (sin^4 \beta + cos^4 \beta - (sin \beta cos \beta)^2)$
Подставим значения, найденные ранее: $sin^4 \beta + cos^4 \beta = 0,7952$ и $sin \beta cos \beta = -0,32$:
$sin^6 \beta + cos^6 \beta = 0,7952 - (-0,32)^2 = 0,7952 - 0,1024 = 0,6928$.
Ответ: $0,6928$.

22.26. В X в. багдадский ученый Абу-ль-Вефа присоединил к понятиям синусов и косинусов понятия тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов и установил также основные соотношения между ними.

В X веке багдадский ученый Абу-ль-Вефа, один из крупнейших математиков и астрономов средневекового Востока, действительно внёс существенный вклад в развитие тригонометрии. Он систематизировал и дополнил знания о тригонометрических функциях, введя понятия тангенса, котангенса, секанса и косеканса и установив ключевые зависимости между ними. Вот эти основные соотношения:

Определения тригонометрических функций через синус и косинус

Абу-ль-Вефа и другие математики его времени определили новые тригонометрические функции через уже известные синус и косинус для произвольного угла $\alpha$:

1. Тангенс (в то время назывался «тень»): отношение синуса к косинусу.

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

2. Котангенс: отношение косинуса к синусу.

$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

3. Секанс (в то время назывался «секущая»): величина, обратная косинусу.

$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$

4. Косеканс: величина, обратная синусу.

$\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества, также известные как Пифагоровы тождества, являются следствием теоремы Пифагора, примененной к единичной окружности, и связывают квадраты различных тригонометрических функций.

1. Главное тождество, связывающее синус и косинус:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

2. Тождество, связывающее тангенс и секанс. Его можно получить, разделив предыдущее тождество на $\cos^2 \alpha$:

$1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$

3. Тождество, связывающее котангенс и косеканс. Его можно получить, разделив главное тождество на $\sin^2 \alpha$:

$1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$

Соотношения взаимной обратности

Из определений напрямую следуют соотношения, показывающие, что некоторые пары функций являются взаимно обратными.

1. Тангенс и котангенс:

$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$, откуда $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}$ и $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

2. Синус и косеканс (из определения косеканса):

$\sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1$

3. Косинус и секанс (из определения секанса):

$\cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1$

Ответ: Основные соотношения между тригонометрическими функциями, установленные и систематизированные в работах Абу-ль-Вефы, включают: определения тангенса, котангенса, секанса и косеканса через синус и косинус ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$, $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$); основные тригонометрические (Пифагоровы) тождества ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$, $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$); и соотношения взаимной обратности ($\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$).

22.27.1) Найдите значение суммы первых 105 членов арифметической прогрессии, если

$a_{53} = 30.$

2) Найдите значение суммы первых 207 членов арифметической прогрессии, если

$a_{103} = 15.$

1)

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — $n$-й член, а $n$ — количество членов.

В данном случае нам нужно найти сумму первых 105 членов, то есть $n = 105$.

Для арифметической прогрессии с нечетным числом членов $n$ существует свойство: сумма всех членов равна произведению количества членов на средний член. Номер среднего члена $k$ вычисляется по формуле $k = \frac{n+1}{2}$.

Для $n=105$ номер среднего члена равен $k = \frac{105+1}{2} = \frac{106}{2} = 53$. Это означает, что $a_{53}$ является средним членом для последовательности из первых 105 членов.

Следовательно, сумму можно вычислить по упрощенной формуле: $S_{105} = 105 \cdot a_{53}$.

По условию задачи $a_{53} = 30$. Подставим это значение: $S_{105} = 105 \cdot 30 = 3150$.

Ответ: 3150.

2)

Требуется найти сумму первых 207 членов арифметической прогрессии, то есть $n = 207$. По условию нам известен 103-й член прогрессии: $a_{103} = 15$.

Проверим, является ли $a_{103}$ средним членом для последовательности из 207 членов. Номер среднего члена для $n=207$ равен $k = \frac{207+1}{2} = \frac{208}{2} = 104$. Таким образом, средним членом является $a_{104}$, а не $a_{103}$. Прямое применение метода из первого пункта невозможно.

Рассмотрим общую формулу суммы через $n$-й член: $S_{207} = \frac{a_1 + a_{207}}{2} \cdot 207$.

Выразим $a_1$ и $a_{207}$ через известный нам $a_{103}$ и разность прогрессии $d$. Формула $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$. Известно, что $a_{103} = a_1 + (103-1)d = a_1 + 102d = 15$. Отсюда $a_1 = 15 - 102d$.

Теперь найдем $a_{207}$: $a_{207} = a_1 + (207-1)d = (15 - 102d) + 206d = 15 + 104d$.

Подставим выражения для $a_1$ и $a_{207}$ в формулу суммы: $S_{207} = \frac{(15 - 102d) + (15 + 104d)}{2} \cdot 207 = \frac{30 + 2d}{2} \cdot 207 = (15+d) \cdot 207$.

В итоге мы получили выражение $S_{207} = 3105 + 207d$. Как видно, значение суммы напрямую зависит от разности прогрессии $d$. Поскольку $d$ в условии не задана и не может быть найдена из предоставленных данных, то однозначно вычислить значение суммы невозможно.

Ответ: В рамках предоставленного условия найти точное значение суммы невозможно, так как оно зависит от неизвестной разности прогрессии $d$.

22.28. Постройте график уравнения:

1) $ \frac{y - x^2}{x - 2} = 0; $

2) $ \frac{y - x^2 + 2}{x - 2} = 0; $

3) $ \frac{y - 0,5x^2}{|x| - 2} = 0; $

4) $ \frac{y + 0,5x^2}{|x| - 3} = 0. $

1) $\frac{y - x^2}{x - 2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы условий:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Следовательно, графиком данного уравнения является парабола $y = x^2$, из которой исключена точка, абсцисса которой равна 2. Найдем ординату этой точки: $y = 2^2 = 4$.

Таким образом, график — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

Ответ:

2) $\frac{y - x^2 + 2}{x - 2} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 + 2 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2 - 2 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Графиком является парабола $y = x^2 - 2$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Из графика нужно исключить точку с абсциссой $x = 2$. Найдем ее ординату: $y = 2^2 - 2 = 2$.

Таким образом, график — это парабола $y = x^2 - 2$ с выколотой точкой $(2, 2)$.

Ответ:

3) $\frac{y - 0,5x^2}{|x| - 2} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - 0.5x^2 = 0 \\ |x| - 2 \neq 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y = 0.5x^2 \\ |x| \neq 2 \end{cases}$

Условие $|x| \neq 2$ означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Графиком является парабола $y = 0.5x^2$, из которой исключены две точки. Найдем их координаты:

При $x = 2$, $y = 0.5 \cdot 2^2 = 0.5 \cdot 4 = 2$. Точка $(2, 2)$.

При $x = -2$, $y = 0.5 \cdot (-2)^2 = 0.5 \cdot 4 = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Таким образом, график — это парабола $y = 0.5x^2$ с выколотыми точками $(2, 2)$ и $(-2, 2)$.

Ответ:

4) $\frac{y + 0,5x^2}{|x| - 3} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y + 0.5x^2 = 0 \\ |x| - 3 \neq 0 \end{cases}$

Из системы получаем:

$\begin{cases} y = -0.5x^2 \\ |x| \neq 3 \end{cases}$

Условие $|x| \neq 3$ означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Графиком является парабола $y = -0.5x^2$, ветви которой направлены вниз. Из графика нужно исключить две точки. Найдем их координаты:

При $x = 3$, $y = -0.5 \cdot 3^2 = -0.5 \cdot 9 = -4.5$. Точка $(3, -4.5)$.

При $x = -3$, $y = -0.5 \cdot (-3)^2 = -0.5 \cdot 9 = -4.5$. Точка $(-3, -4.5)$.

Таким образом, график — это парабола $y = -0.5x^2$ с выколотыми точками $(3, -4.5)$ и $(-3, -4.5)$.

Ответ: