Страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.42. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 6x$; 2) $f(x) = -x^2 + 4x$; 3) $f(x) = 2x^2 - 6x + 3$;

4) $f(x) = -x^2 - 6x + 2$ и по графику найдите промежутки ее убывания и возрастания.

1) $f(x) = x^2 - 6x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a=1, b=-6, c=0$. Графиком является парабола. Поскольку коэффициент $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -(-6) / (2 \cdot 1) = 3$. Ордината вершины: $y_v = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$. Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x-6)=0$. Корни $x_1=0, x_2=6$. Точки $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Построим график функции.

Из графика видно, что функция убывает на промежутке, где $x$ изменяется от $-\infty$ до абсциссы вершины $x=3$. Функция возрастает на промежутке, где $x$ изменяется от $3$ до $+\infty$. Промежуток убывания: $(-\infty, 3]$. Промежуток возрастания: $[3, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty, 3]$, возрастает на $[3, +\infty)$.

2) $f(x) = -x^2 + 4x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a=-1, b=4, c=0$. Графиком является парабола. Поскольку $a=-1<0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы: $x_v = -b / (2a) = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$. $y_v = f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$. Вершина: $(2, 4)$.

Найдем точки пересечения с осями: С осью Oy ($x=0$): $y = -0^2 + 4 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$. С осью Ox ($y=0$): $-x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -x(x-4)=0$. Корни $x_1=0, x_2=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Построим график функции.

По графику видно, что функция возрастает до вершины ($x=2$) и убывает после нее. Промежуток возрастания: $(-\infty, 2]$. Промежуток убывания: $[2, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 2]$, убывает на $[2, +\infty)$.

3) $f(x) = 2x^2 - 6x + 3$

Это квадратичная функция с $a=2, b=-6, c=3$. Графиком является парабола. Так как $a=2>0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины: $x_v = -(-6) / (2 \cdot 2) = 6/4 = 1.5$. $y_v = f(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 3 = 2(2.25) - 9 + 3 = 4.5 - 6 = -1.5$. Вершина: $(1.5, -1.5)$.

Найдем точки пересечения с осями: С осью Oy ($x=0$): $y = 3$. Точка $(0, 3)$. С осью Ox ($y=0$): $2x^2 - 6x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$. Корни $x_{1,2} = (6 \pm \sqrt{12}) / 4 = (6 \pm 2\sqrt{3}) / 4 = (3 \pm \sqrt{3}) / 2$. $x_1 \approx 0.63, x_2 \approx 2.37$. Точки $((3 - \sqrt{3}) / 2, 0)$ и $((3 + \sqrt{3}) / 2, 0)$.

Построим график функции.

По графику видно, что функция убывает до $x=1.5$ и возрастает после. Промежуток убывания: $(-\infty, 1.5]$. Промежуток возрастания: $[1.5, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty, 1.5]$, возрастает на $[1.5, +\infty)$.

4) $f(x) = -x^2 - 6x + 2$

Это квадратичная функция с $a=-1, b=-6, c=2$. Графиком является парабола. Так как $a=-1<0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины: $x_v = -(-6) / (2 \cdot (-1)) = 6 / (-2) = -3$. $y_v = f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) + 2 = -9 + 18 + 2 = 11$. Вершина: $(-3, 11)$.

Найдем точки пересечения с осями: С осью Oy ($x=0$): $y = 2$. Точка $(0, 2)$. С осью Ox ($y=0$): $-x^2 - 6x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 6x - 2 = 0$. $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$. $x_{1,2} = (-6 \pm \sqrt{44}) / 2 = (-6 \pm 2\sqrt{11}) / 2 = -3 \pm \sqrt{11}$. $x_1 \approx -6.32, x_2 \approx 0.32$. Точки $(-3 - \sqrt{11}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{11}, 0)$.

Построим график функции.

По графику видно, что функция возрастает до $x=-3$ и убывает после. Промежуток возрастания: $(-\infty, -3]$. Промежуток убывания: $[-3, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, -3]$, убывает на $[-3, +\infty)$.

3.43. 1) Из двух населенных пунктов, длина пути (расстояние) между которыми по реке равна 57 км, навстречу друг другу движутся две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Лодка, идущая по течению, до встречи шла 1 ч, а лодка, идущая против течения, 2 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость каждой лодки.

2) Длина пути (расстояние) по реке между пунктами А и В равна 45 км. Одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

3) Катер на подводных крыльях прошел по течению реки за 2 ч такой же путь (расстояние), какой он проходит за 2 ч 15 мин против течения реки. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

4) По течению реки катер прошел за 7 ч путь такой же длины, какой он проходит за 8 ч против течения. Собственная скорость катера 30 км/ч. Найдите скорость течения реки.

1)

Пусть собственная скорость каждой лодки равна $v_c$ км/ч. Скорость течения реки по условию равна $v_т = 3$ км/ч.

Одна лодка движется по течению, поэтому ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_1 = v_c + v_т = v_c + 3$ км/ч. До встречи она шла $t_1 = 1$ ч. За это время она прошла расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = (v_c + 3) \cdot 1$ км.

Вторая лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_2 = v_c - v_т = v_c - 3$ км/ч. До встречи она шла $t_2 = 2$ ч. За это время она прошла расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_2 = (v_c - 3) \cdot 2$ км.

Сумма расстояний, пройденных обеими лодками до встречи, равна общему расстоянию между населенными пунктами, то есть $S = 57$ км. Составим уравнение:
$S_1 + S_2 = 57$
$(v_c + 3) \cdot 1 + (v_c - 3) \cdot 2 = 57$

Решим полученное уравнение:
$v_c + 3 + 2v_c - 6 = 57$
$3v_c - 3 = 57$
$3v_c = 60$
$v_c = 20$

Таким образом, собственная скорость каждой лодки составляет 20 км/ч.

Ответ: собственная скорость каждой лодки 20 км/ч.

2)

Пусть собственная скорость каждой лодки, которая по условию одинакова, равна $v_c$ км/ч. Скорость течения реки составляет $v_т = 3$ км/ч. Лодки вышли одновременно навстречу друг другу, значит, одна двигалась по течению, а другая — против течения.

Скорость лодки, идущей по течению: $v_{по} = v_c + v_т = v_c + 3$ км/ч.
Скорость лодки, идущей против течения: $v_{против} = v_c - v_т = v_c - 3$ км/ч.

Поскольку лодки движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_{по} + v_{против} = (v_c + 3) + (v_c - 3) = 2v_c$ км/ч.

Общее расстояние $S = 45$ км они преодолели за время $t = 1,5$ ч. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составим уравнение:
$45 = v_{сбл} \cdot 1,5$
$45 = 2v_c \cdot 1,5$
$45 = 3v_c$
$v_c = 45 / 3$
$v_c = 15$

Следовательно, собственная скорость лодок равна 15 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодок 15 км/ч.

3)

Пусть собственная скорость катера равна $v_к$ км/ч. Скорость течения реки $v_т = 3$ км/ч.

Скорость катера по течению: $v_{по} = v_к + v_т = v_к + 3$ км/ч. Время в пути по течению $t_{по} = 2$ ч.
Расстояние, пройденное по течению: $S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (v_к + 3) \cdot 2$.

Скорость катера против течения: $v_{против} = v_к - v_т = v_к - 3$ км/ч. Время в пути против течения $t_{против} = 2$ ч 15 мин. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = 15/60 \text{ ч} = 0,25$ ч. Таким образом, $t_{против} = 2 + 0,25 = 2,25$ ч.
Расстояние, пройденное против течения: $S_{против} = v_{против} \cdot t_{против} = (v_к - 3) \cdot 2,25$.

По условию, пройденный путь в обоих направлениях одинаков, т.е. $S_{по} = S_{против}$. Приравняем выражения для расстояний:
$(v_к + 3) \cdot 2 = (v_к - 3) \cdot 2,25$

Решим это уравнение:
$2v_к + 6 = 2,25v_к - 6,75$
$6 + 6,75 = 2,25v_к - 2v_к$
$12,75 = 0,25v_к$
$v_к = 12,75 / 0,25 = 51$

Собственная скорость катера составляет 51 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 51 км/ч.

4)

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость катера по условию $v_к = 30$ км/ч.

Скорость катера по течению: $v_{по} = v_к + x = 30 + x$ км/ч. Время движения $t_{по} = 7$ ч.
Пройденный путь по течению: $S_{по} = (30 + x) \cdot 7$.

Скорость катера против течения: $v_{против} = v_к - x = 30 - x$ км/ч. Время движения $t_{против} = 8$ ч.
Пройденный путь против течения: $S_{против} = (30 - x) \cdot 8$.

Так как путь по течению и против течения одинаков ($S_{по} = S_{против}$), составим уравнение:
$(30 + x) \cdot 7 = (30 - x) \cdot 8$

Решим уравнение:
$210 + 7x = 240 - 8x$
$7x + 8x = 240 - 210$
$15x = 30$
$x = 30 / 15$
$x = 2$

Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.

3.44. 1) В коробке лежат несколько одинаковых пачек печенья. Если из коробки вынуть 7 пачек печенья, то в ней останется $ \frac{1}{4} $ от всего числа пачек, которое в ней может поместиться. Если же добавить $ \frac{3}{4} $ от имеющегося числа пачек, то одна пачка не поместится. Сколько пачек печенья лежит в коробке?

2) В ведре было несколько литров воды. Если отлить половину всей воды, то там останется на 7 л воды меньше, чем помещается в ведро. Если же добавить 2 л воды, то количество литров воды составит $ \frac{2}{3} $ от вместимости ведра. Сколько литров воды вмещается в ведро?

1) Обозначим за $x$ количество пачек печенья, которое лежит в коробке, а за $y$ — общее количество пачек, которое может поместиться в коробке (вместимость).
Исходя из первого условия, если из коробки вынуть 7 пачек, то в ней останется $\frac{1}{4}$ от всего числа пачек, которое в ней может поместиться. Это можно записать в виде уравнения:
$x - 7 = \frac{1}{4}y$
Исходя из второго условия, если добавить $\frac{3}{4}$ от имеющегося числа пачек, то одна пачка не поместится. Это означает, что новое количество пачек будет на 1 больше, чем вместимость коробки. Составим второе уравнение:
$x + \frac{3}{4}x = y + 1$
Упростим второе уравнение:
$\frac{4}{4}x + \frac{3}{4}x = y + 1$
$\frac{7}{4}x = y + 1$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $x - 7 = \frac{1}{4}y$
2) $\frac{7}{4}x = y + 1$
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 4(x - 7) = 4x - 28$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$\frac{7}{4}x = (4x - 28) + 1$
$\frac{7}{4}x = 4x - 27$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$7x = 4(4x - 27)$
$7x = 16x - 108$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:
$16x - 7x = 108$
$9x = 108$
$x = \frac{108}{9}$
$x = 12$
Таким образом, в коробке лежит 12 пачек печенья.
Ответ: 12 пачек.

2) Обозначим за $w$ количество литров воды, которое было в ведре, а за $c$ — вместимость ведра в литрах.
Из первого условия, если отлить половину всей воды ($\frac{w}{2}$), то в ведре останется на 7 литров воды меньше, чем помещается в ведро. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{w}{2} = c - 7$
Из второго условия, если добавить 2 л воды, то количество литров воды составит $\frac{2}{3}$ от вместимости ведра. Составим второе уравнение:
$w + 2 = \frac{2}{3}c$
Получили систему из двух уравнений:
1) $\frac{w}{2} = c - 7$
2) $w + 2 = \frac{2}{3}c$
Из первого уравнения выразим $w$:
$w = 2(c - 7) = 2c - 14$
Подставим это выражение для $w$ во второе уравнение:
$(2c - 14) + 2 = \frac{2}{3}c$
$2c - 12 = \frac{2}{3}c$
Перенесем все слагаемые с $c$ в левую часть уравнения, а числа — в правую:
$2c - \frac{2}{3}c = 12$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{6}{3}c - \frac{2}{3}c = 12$
$\frac{4}{3}c = 12$
Теперь найдем $c$:
$c = 12 \cdot \frac{3}{4}$
$c = \frac{12 \cdot 3}{4} = 3 \cdot 3 = 9$
Таким образом, вместимость ведра составляет 9 литров.
Ответ: 9 литров.

22.29. Упростите выражение:

1) $(\frac{1}{a-x} - \frac{3x^2}{a^3-x^3} - \frac{x}{a^2+ax+x^2}) \cdot (\frac{a^2}{a+x} + x)$;

2) $\frac{2x-3}{3x} - \frac{1}{x+3} \cdot (\frac{x}{3} - \frac{3}{x}) + \frac{2}{3}$.

1) Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

Сначала преобразуем выражение в первой скобке: $ \left(\frac{1}{a-x} - \frac{3x^2}{a^3 - x^3} - \frac{x}{a^2 + ax + x^2}\right) $. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Используя формулу разности кубов $ a^3 - x^3 = (a-x)(a^2 + ax + x^2) $, видим, что общим знаменателем является $ a^3 - x^3 $.

$ \frac{1 \cdot (a^2 + ax + x^2)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)} - \frac{3x^2}{a^3 - x^3} - \frac{x \cdot (a-x)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)} = \frac{a^2 + ax + x^2 - 3x^2 - (ax - x^2)}{a^3 - x^3} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 + ax + x^2 - 3x^2 - ax + x^2}{a^3 - x^3} = \frac{a^2 - x^2}{a^3 - x^3} $

Сократим полученную дробь, разложив числитель по формуле разности квадратов, а знаменатель — по формуле разности кубов:

$ \frac{(a-x)(a+x)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)} = \frac{a+x}{a^2 + ax + x^2} $

Теперь упростим выражение во второй скобке: $ \left(\frac{a^2}{a+x} + x\right) $. Приведем к общему знаменателю $ (a+x) $:

$ \frac{a^2}{a+x} + \frac{x(a+x)}{a+x} = \frac{a^2 + ax + x^2}{a+x} $

Наконец, перемножим результаты преобразований обеих скобок:

$ \left(\frac{a+x}{a^2 + ax + x^2}\right) \cdot \left(\frac{a^2 + ax + x^2}{a+x}\right) = 1 $

Ответ: $1$

2) Упростим данное выражение, соблюдая порядок действий.

Сначала выполним умножение: $ \frac{1}{x+3} \cdot \left(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}\right) $. Для этого преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $ 3x $:

$ \frac{x}{3} - \frac{3}{x} = \frac{x \cdot x}{3x} - \frac{3 \cdot 3}{3x} = \frac{x^2 - 9}{3x} $

Теперь выполним умножение, предварительно разложив числитель $ x^2-9 $ по формуле разности квадратов $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $:

$ \frac{1}{x+3} \cdot \frac{x^2-9}{3x} = \frac{1}{x+3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{3x} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x+3) $:

$ \frac{x-3}{3x} $

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{2x-3}{3x} - \frac{x-3}{3x} + \frac{2}{3} $

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $ 3x $:

$ \frac{(2x-3) - (x-3)}{3x} + \frac{2}{3} = \frac{2x - 3 - x + 3}{3x} + \frac{2}{3} = \frac{x}{3x} + \frac{2}{3} $

Сократим дробь $ \frac{x}{3x} $ на $ x $ (при $ x \neq 0 $) и выполним сложение:

$ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1 $

Ответ: $1$

22.30. Решите неравенство:

1) $\frac{(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 10)^3}{(x + 2)^2 (3 - x)} \le 0;$

2) $\frac{(x^2 - 6x + 8) \cdot (x^2 - 9)}{5(x^3 - 8)} \ge 0;$

3) $\frac{(3x^2 + 5x) \cdot (4x - x^2)}{(x + 5)^2} \le 0;$

4) $\frac{(x + 3)^4 \cdot (x - 5)^3}{6(x^2 + x - 2)} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 10)^3}{(x + 2)^2 (3 - x)} \leqslant 0$.

Сначала разложим на множители выражения в числителе и знаменателе.

Квадратный трехчлен $x^2 - 7x - 8$ имеет корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 8$ (по теореме Виета или через дискриминант), поэтому $x^2 - 7x - 8 = (x + 1)(x - 8)$.

В знаменателе вынесем минус за скобки: $3 - x = -(x - 3)$.

Теперь неравенство имеет вид: $\frac{(x + 1)(x - 8)(x - 10)^3}{(x + 2)^2 (-(x - 3))} \leqslant 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{(x + 1)(x - 8)(x - 10)^3}{(x + 2)^2 (x - 3)} \geqslant 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя (точки, которые включаются в решение, так как неравенство нестрогое): $x = -1, x = 8, x = 10$.

Нули знаменателя (точки, которые всегда исключаются из решения): $x = -2, x = 3$.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале. Учтем кратность корней: корень $x = -2$ имеет четную кратность (2), поэтому при переходе через него знак не меняется. Остальные корни имеют нечетную кратность, знак будет меняться.

Для $x > 10$ все множители положительны, значит, на крайнем правом интервале знак «+».

Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем нули числителя.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1] \cup (3; 8] \cup [10; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 6x + 8) \cdot (x^2 - 9)}{5(x^3 - 8)} \geqslant 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$.

Подставим разложения в неравенство:

$\frac{(x - 2)(x - 4)(x - 3)(x + 3)}{5(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \geqslant 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

На ОДЗ можно сократить дробь на $(x - 2)$. Также можно разделить обе части на $5(x^2 + 2x + 4)$, так как это выражение всегда положительно. Получим равносильное неравенство:

$(x - 4)(x - 3)(x + 3) \geqslant 0$ при условии $x \neq 2$.

Решим его методом интервалов. Нули: $x = -3, x = 3, x = 4$.

Выбираем интервалы со знаком «+». Получаем $x \in [-3; 3] \cup [4; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \neq 2$. Точка 2 попадает в интервал $[-3; 3]$, поэтому ее нужно исключить ("выколоть").

Ответ: $x \in [-3; 2) \cup (2; 3] \cup [4; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{(3x^2 + 5x) \cdot (4x - x^2)}{(x + 5)^2} \leqslant 0$.

Разложим на множители:

$3x^2 + 5x = x(3x + 5)$.

$4x - x^2 = x(4 - x) = -x(x - 4)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x(3x + 5)(-x(x - 4))}{(x + 5)^2} \leqslant 0$, или $\frac{-x^2(3x + 5)(x - 4)}{(x + 5)^2} \leqslant 0$.

Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x^2(3x + 5)(x - 4)}{(x + 5)^2} \geqslant 0$.

Решаем методом интервалов. Нули числителя (включаются): $x = 0, x = -5/3, x = 4$. Нуль знаменателя (исключается): $x = -5$.

Корни $x = 0$ и $x = -5$ имеют четную кратность (2), при переходе через них знак не меняется. Корни $x = -5/3$ и $x = 4$ имеют нечетную кратность (1), знак меняется.

Выбираем интервалы со знаком «+». Это $(-\infty; -5) \cup (-5; -5/3] \cup [4; +\infty)$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\geqslant 0$), в ответ должны войти и нули числителя. Точки $x=-5/3$ и $x=4$ уже вошли в решение как концы интервалов. Точка $x=0$ также является решением (при $x=0$ выражение равно 0), но она не попала в интервалы. Ее нужно добавить отдельно.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -5/3] \cup \{0\} \cup [4; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x + 3)^4 \cdot (x - 5)^3}{6(x^2 + x - 2)} \geqslant 0$.

Разложим знаменатель на множители: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.

Разделим обе части на положительное число 6, знак неравенства не изменится:

$\frac{(x + 3)^4 (x - 5)^3}{(x + 2)(x - 1)} \geqslant 0$.

Решаем методом интервалов. Нули числителя (включаются): $x = -3, x = 5$. Нули знаменателя (исключаются): $x = -2, x = 1$.

Корень $x = -3$ имеет четную кратность (4), знак при переходе через него не меняется. Остальные корни ($x=-2, x=1, x=5$) имеют нечетную кратность, знак меняется.

Выбираем интервалы со знаком «+». Это $(-2; 1) \cup [5; +\infty)$.

Неравенство нестрогое, поэтому проверяем нули числителя. $x=5$ уже включен в ответ. $x=-3$ также является решением (выражение равно 0), но не попадает в найденные интервалы. Добавляем его в ответ как изолированную точку.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup (-2; 1) \cup [5; +\infty)$.

22.31. Расположите в порядке возрастания значения выражений:

1) $\sin30^\circ, \cos60^\circ, \sin150^\circ, \cos120^\circ$;

2) $\tan30^\circ, \cot60^\circ, \tan150^\circ, \cot120^\circ$.

1)

Чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, необходимо найти числовое значение каждого из них.

Вычислим значение $sin30^\circ$:
$sin30^\circ = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $cos60^\circ$:
$cos60^\circ = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $sin150^\circ$, используя формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin\alpha$:
$sin150^\circ = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin30^\circ = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $cos120^\circ$, используя формулу приведения $cos(180^\circ - \alpha) = -cos\alpha$:
$cos120^\circ = cos(180^\circ - 60^\circ) = -cos60^\circ = -\frac{1}{2}$

Мы получили следующие значения: $sin30^\circ = \frac{1}{2}$, $cos60^\circ = \frac{1}{2}$, $sin150^\circ = \frac{1}{2}$ и $cos120^\circ = -\frac{1}{2}$.

Сравним полученные числа: $-\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$.

Следовательно, наименьшее значение имеет $cos120^\circ$. Остальные три выражения имеют одинаковые значения. Располагаем выражения в порядке возрастания их значений.

Ответ: $cos120^\circ, sin30^\circ, cos60^\circ, sin150^\circ$.

2)

Аналогично первому пункту, найдем числовое значение каждого выражения.

Вычислим значение $tg30^\circ$:
$tg30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычислим значение $ctg60^\circ$:
$ctg60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычислим значение $tg150^\circ$, используя формулу приведения $tg(180^\circ - \alpha) = -tg\alpha$:
$tg150^\circ = tg(180^\circ - 30^\circ) = -tg30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычислим значение $ctg120^\circ$, используя формулу приведения $ctg(180^\circ - \alpha) = -ctg\alpha$:
$ctg120^\circ = ctg(180^\circ - 60^\circ) = -ctg60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Мы получили следующие значения: $tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $tg150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $ctg120^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сравним полученные числа: $-\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, наименьшие значения имеют $tg150^\circ$ и $ctg120^\circ$. Наибольшие значения имеют $tg30^\circ$ и $ctg60^\circ$. Располагаем выражения в порядке возрастания их значений.

Ответ: $tg150^\circ, ctg120^\circ, tg30^\circ, ctg60^\circ$.

22.32. Найдите значение выражения:

1) $ \sin90^\circ + 2\cos150^\circ - \sin150^\circ + \cot120^\circ; $

2) $ 2\sin120^\circ + \cos90^\circ - \cos120^\circ + \tan150^\circ. $

1) $\sin90^\circ + 2\cos150^\circ - \sin150^\circ + \text{ctg}120^\circ$

Для решения этого выражения найдем значения каждой тригонометрической функции. Будем использовать формулы приведения, которые позволяют свести тригонометрические функции любого угла к функциям острого угла.

$\sin90^\circ = 1$ (стандартное значение)

$\cos150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (косинус во второй четверти отрицателен)

$\sin150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$ (синус во второй четверти положителен)

$\text{ctg}120^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = -\text{ctg}60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ (котангенс во второй четверти отрицателен)

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\sin90^\circ + 2\cos150^\circ - \sin150^\circ + \text{ctg}120^\circ = 1 + 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Упростим выражение, выполнив арифметические действия:

$1 - \sqrt{3} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = (1 - \frac{1}{2}) + (-\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{2} - (\frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

2) $2\sin120^\circ + \cos90^\circ - \cos120^\circ + \text{tg}150^\circ$

Найдем значения тригонометрических функций, используя формулы приведения.

$\sin120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (синус во второй четверти положителен)

$\cos90^\circ = 0$ (стандартное значение)

$\cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ = -\frac{1}{2}$ (косинус во второй четверти отрицателен)

$\text{tg}150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ (тангенс во второй четверти отрицателен)

Подставим значения в выражение:

$2\sin120^\circ + \cos90^\circ - \cos120^\circ + \text{tg}150^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 - (-\frac{1}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Упростим полученное выражение:

$\sqrt{3} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = (\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{1}{2} = (\frac{3\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$.