Номер 22.31, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.31. Расположите в порядке возрастания значения выражений:

1) $\sin30^\circ, \cos60^\circ, \sin150^\circ, \cos120^\circ$;

2) $\tan30^\circ, \cot60^\circ, \tan150^\circ, \cot120^\circ$.

1)

Чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, необходимо найти числовое значение каждого из них.

Вычислим значение $sin30^\circ$:
$sin30^\circ = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $cos60^\circ$:
$cos60^\circ = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $sin150^\circ$, используя формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin\alpha$:
$sin150^\circ = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin30^\circ = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $cos120^\circ$, используя формулу приведения $cos(180^\circ - \alpha) = -cos\alpha$:
$cos120^\circ = cos(180^\circ - 60^\circ) = -cos60^\circ = -\frac{1}{2}$

Мы получили следующие значения: $sin30^\circ = \frac{1}{2}$, $cos60^\circ = \frac{1}{2}$, $sin150^\circ = \frac{1}{2}$ и $cos120^\circ = -\frac{1}{2}$.

Сравним полученные числа: $-\frac{1}{2} < \frac{1}{2}$.

Следовательно, наименьшее значение имеет $cos120^\circ$. Остальные три выражения имеют одинаковые значения. Располагаем выражения в порядке возрастания их значений.

Ответ: $cos120^\circ, sin30^\circ, cos60^\circ, sin150^\circ$.

2)

Аналогично первому пункту, найдем числовое значение каждого выражения.

Вычислим значение $tg30^\circ$:
$tg30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычислим значение $ctg60^\circ$:
$ctg60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычислим значение $tg150^\circ$, используя формулу приведения $tg(180^\circ - \alpha) = -tg\alpha$:
$tg150^\circ = tg(180^\circ - 30^\circ) = -tg30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычислим значение $ctg120^\circ$, используя формулу приведения $ctg(180^\circ - \alpha) = -ctg\alpha$:
$ctg120^\circ = ctg(180^\circ - 60^\circ) = -ctg60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Мы получили следующие значения: $tg30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $ctg60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $tg150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $ctg120^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сравним полученные числа: $-\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, наименьшие значения имеют $tg150^\circ$ и $ctg120^\circ$. Наибольшие значения имеют $tg30^\circ$ и $ctg60^\circ$. Располагаем выражения в порядке возрастания их значений.

Ответ: $tg150^\circ, ctg120^\circ, tg30^\circ, ctg60^\circ$.