Номер 22.29, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.29. Упростите выражение:

1) $(\frac{1}{a-x} - \frac{3x^2}{a^3-x^3} - \frac{x}{a^2+ax+x^2}) \cdot (\frac{a^2}{a+x} + x)$;

2) $\frac{2x-3}{3x} - \frac{1}{x+3} \cdot (\frac{x}{3} - \frac{3}{x}) + \frac{2}{3}$.

1) Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

Сначала преобразуем выражение в первой скобке: $ \left(\frac{1}{a-x} - \frac{3x^2}{a^3 - x^3} - \frac{x}{a^2 + ax + x^2}\right) $. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Используя формулу разности кубов $ a^3 - x^3 = (a-x)(a^2 + ax + x^2) $, видим, что общим знаменателем является $ a^3 - x^3 $.

$ \frac{1 \cdot (a^2 + ax + x^2)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)} - \frac{3x^2}{a^3 - x^3} - \frac{x \cdot (a-x)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)} = \frac{a^2 + ax + x^2 - 3x^2 - (ax - x^2)}{a^3 - x^3} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2 + ax + x^2 - 3x^2 - ax + x^2}{a^3 - x^3} = \frac{a^2 - x^2}{a^3 - x^3} $

Сократим полученную дробь, разложив числитель по формуле разности квадратов, а знаменатель — по формуле разности кубов:

$ \frac{(a-x)(a+x)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)} = \frac{a+x}{a^2 + ax + x^2} $

Теперь упростим выражение во второй скобке: $ \left(\frac{a^2}{a+x} + x\right) $. Приведем к общему знаменателю $ (a+x) $:

$ \frac{a^2}{a+x} + \frac{x(a+x)}{a+x} = \frac{a^2 + ax + x^2}{a+x} $

Наконец, перемножим результаты преобразований обеих скобок:

$ \left(\frac{a+x}{a^2 + ax + x^2}\right) \cdot \left(\frac{a^2 + ax + x^2}{a+x}\right) = 1 $

Ответ: $1$

2) Упростим данное выражение, соблюдая порядок действий.

Сначала выполним умножение: $ \frac{1}{x+3} \cdot \left(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}\right) $. Для этого преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $ 3x $:

$ \frac{x}{3} - \frac{3}{x} = \frac{x \cdot x}{3x} - \frac{3 \cdot 3}{3x} = \frac{x^2 - 9}{3x} $

Теперь выполним умножение, предварительно разложив числитель $ x^2-9 $ по формуле разности квадратов $ x^2-9 = (x-3)(x+3) $:

$ \frac{1}{x+3} \cdot \frac{x^2-9}{3x} = \frac{1}{x+3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{3x} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x+3) $:

$ \frac{x-3}{3x} $

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{2x-3}{3x} - \frac{x-3}{3x} + \frac{2}{3} $

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $ 3x $:

$ \frac{(2x-3) - (x-3)}{3x} + \frac{2}{3} = \frac{2x - 3 - x + 3}{3x} + \frac{2}{3} = \frac{x}{3x} + \frac{2}{3} $

Сократим дробь $ \frac{x}{3x} $ на $ x $ (при $ x \neq 0 $) и выполним сложение:

$ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1 $

Ответ: $1$