Номер 22.30, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.30. Решите неравенство:

1) $\frac{(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 10)^3}{(x + 2)^2 (3 - x)} \le 0;$

2) $\frac{(x^2 - 6x + 8) \cdot (x^2 - 9)}{5(x^3 - 8)} \ge 0;$

3) $\frac{(3x^2 + 5x) \cdot (4x - x^2)}{(x + 5)^2} \le 0;$

4) $\frac{(x + 3)^4 \cdot (x - 5)^3}{6(x^2 + x - 2)} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 7x - 8) \cdot (x - 10)^3}{(x + 2)^2 (3 - x)} \leqslant 0$.

Сначала разложим на множители выражения в числителе и знаменателе.

Квадратный трехчлен $x^2 - 7x - 8$ имеет корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 8$ (по теореме Виета или через дискриминант), поэтому $x^2 - 7x - 8 = (x + 1)(x - 8)$.

В знаменателе вынесем минус за скобки: $3 - x = -(x - 3)$.

Теперь неравенство имеет вид: $\frac{(x + 1)(x - 8)(x - 10)^3}{(x + 2)^2 (-(x - 3))} \leqslant 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{(x + 1)(x - 8)(x - 10)^3}{(x + 2)^2 (x - 3)} \geqslant 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя (точки, которые включаются в решение, так как неравенство нестрогое): $x = -1, x = 8, x = 10$.

Нули знаменателя (точки, которые всегда исключаются из решения): $x = -2, x = 3$.

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале. Учтем кратность корней: корень $x = -2$ имеет четную кратность (2), поэтому при переходе через него знак не меняется. Остальные корни имеют нечетную кратность, знак будет меняться.

Для $x > 10$ все множители положительны, значит, на крайнем правом интервале знак «+».

Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем нули числителя.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1] \cup (3; 8] \cup [10; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x^2 - 6x + 8) \cdot (x^2 - 9)}{5(x^3 - 8)} \geqslant 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$.

Подставим разложения в неравенство:

$\frac{(x - 2)(x - 4)(x - 3)(x + 3)}{5(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \geqslant 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, т.е. $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

На ОДЗ можно сократить дробь на $(x - 2)$. Также можно разделить обе части на $5(x^2 + 2x + 4)$, так как это выражение всегда положительно. Получим равносильное неравенство:

$(x - 4)(x - 3)(x + 3) \geqslant 0$ при условии $x \neq 2$.

Решим его методом интервалов. Нули: $x = -3, x = 3, x = 4$.

Выбираем интервалы со знаком «+». Получаем $x \in [-3; 3] \cup [4; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \neq 2$. Точка 2 попадает в интервал $[-3; 3]$, поэтому ее нужно исключить ("выколоть").

Ответ: $x \in [-3; 2) \cup (2; 3] \cup [4; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{(3x^2 + 5x) \cdot (4x - x^2)}{(x + 5)^2} \leqslant 0$.

Разложим на множители:

$3x^2 + 5x = x(3x + 5)$.

$4x - x^2 = x(4 - x) = -x(x - 4)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x(3x + 5)(-x(x - 4))}{(x + 5)^2} \leqslant 0$, или $\frac{-x^2(3x + 5)(x - 4)}{(x + 5)^2} \leqslant 0$.

Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x^2(3x + 5)(x - 4)}{(x + 5)^2} \geqslant 0$.

Решаем методом интервалов. Нули числителя (включаются): $x = 0, x = -5/3, x = 4$. Нуль знаменателя (исключается): $x = -5$.

Корни $x = 0$ и $x = -5$ имеют четную кратность (2), при переходе через них знак не меняется. Корни $x = -5/3$ и $x = 4$ имеют нечетную кратность (1), знак меняется.

Выбираем интервалы со знаком «+». Это $(-\infty; -5) \cup (-5; -5/3] \cup [4; +\infty)$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\geqslant 0$), в ответ должны войти и нули числителя. Точки $x=-5/3$ и $x=4$ уже вошли в решение как концы интервалов. Точка $x=0$ также является решением (при $x=0$ выражение равно 0), но она не попала в интервалы. Ее нужно добавить отдельно.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -5/3] \cup \{0\} \cup [4; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x + 3)^4 \cdot (x - 5)^3}{6(x^2 + x - 2)} \geqslant 0$.

Разложим знаменатель на множители: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.

Разделим обе части на положительное число 6, знак неравенства не изменится:

$\frac{(x + 3)^4 (x - 5)^3}{(x + 2)(x - 1)} \geqslant 0$.

Решаем методом интервалов. Нули числителя (включаются): $x = -3, x = 5$. Нули знаменателя (исключаются): $x = -2, x = 1$.

Корень $x = -3$ имеет четную кратность (4), знак при переходе через него не меняется. Остальные корни ($x=-2, x=1, x=5$) имеют нечетную кратность, знак меняется.

Выбираем интервалы со знаком «+». Это $(-2; 1) \cup [5; +\infty)$.

Неравенство нестрогое, поэтому проверяем нули числителя. $x=5$ уже включен в ответ. $x=-3$ также является решением (выражение равно 0), но не попадает в найденные интервалы. Добавляем его в ответ как изолированную точку.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup (-2; 1) \cup [5; +\infty)$.