Номер 23.1, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.1. Приведите к тригонометрической функции угла $\alpha$ выражение:

1) $sin(90^\circ - \alpha)$;

2) $cos(90^\circ - \alpha)$;

3) $sin(180^\circ - \alpha)$;

4) $cos(180^\circ - \alpha)$;

5) $sin(270^\circ + \alpha)$;

6) $cos(270^\circ - \alpha)$;

7) $sin(360^\circ - \alpha)$;

8) $cos(360^\circ + \alpha)$;

9) $ctg(180^\circ - \alpha)$;

10) $tg(90^\circ + \alpha)$;

11) $ctg(270^\circ - \alpha)$;

12) $tg(360^\circ - \alpha)$.

1) Для упрощения выражения $\sin(90^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определяем, меняется ли функция. Так как в формуле участвует угол $90^\circ$, который лежит на вертикальной оси, то функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.
2. Определяем знак. Будем считать угол $\alpha$ острым. Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти, где значение синуса положительно. Значит, перед полученной функцией будет стоять знак «+».
Таким образом, $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$

2) Для упрощения выражения $\cos(90^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\cos$ на $\sin$), так как в формуле участвует угол $90^\circ$.
2. Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти, где косинус положителен. Значит, знак «+».
Таким образом, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$

3) Для упрощения выражения $\sin(180^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $180^\circ$, который лежит на горизонтальной оси.
2. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен. Значит, знак «+».
Таким образом, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$

4) Для упрощения выражения $\cos(180^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $180^\circ$.
2. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$

5) Для упрощения выражения $\sin(270^\circ + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\sin$ на $\cos$), так как в формуле участвует угол $270^\circ$ (вертикальная ось).
2. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$

6) Для упрощения выражения $\cos(270^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\cos$ на $\sin$), так как в формуле участвует угол $270^\circ$.
2. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$

7) Для упрощения выражения $\sin(360^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $360^\circ$ (горизонтальная ось).
2. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$

8) Для упрощения выражения $\cos(360^\circ + \alpha)$ используется свойство периодичности косинуса.
Период функции косинус равен $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), поэтому $\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$

9) Для упрощения выражения $\text{ctg}(180^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $180^\circ$.
2. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

10) Для упрощения выражения $\text{tg}(90^\circ + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\text{tg}$ на $\text{ctg}$), так как в формуле участвует угол $90^\circ$.
2. Угол $90^\circ + \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

11) Для упрощения выражения $\text{ctg}(270^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\text{ctg}$ на $\text{tg}$), так как в формуле участвует угол $270^\circ$.
2. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Значит, знак «+».
Таким образом, $\text{ctg}(270^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$.
Ответ: $\text{tg}(\alpha)$

12) Для упрощения выражения $\text{tg}(360^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $360^\circ$.
2. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\text{tg}(360^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.
Ответ: $-\text{tg}(\alpha)$