Номер 23.8, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.8. Докажите тождество:

1) $\cos^2 (180^\circ - x) + \cos^2 (270^\circ + x) = 1;$

2) $\cos^2 (720^\circ - x) + \sin^2 (540^\circ + x) = 1;$

3) $\operatorname{tg}(2\pi - x) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -1;$

4) $\operatorname{ctg}(6\pi - x) \operatorname{ctg}\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = -1.$

1) Для доказательства тождества $cos^2(180^\circ - x) + cos^2(270^\circ + x) = 1$ преобразуем левую часть с помощью формул приведения.
Применим формулу приведения для первого слагаемого: $cos(180^\circ - x) = -cos(x)$. Поскольку выражение возводится в квадрат, получаем $cos^2(180^\circ - x) = (-cos(x))^2 = cos^2(x)$.
Применим формулу приведения для второго слагаемого: $cos(270^\circ + x) = sin(x)$. Возводя в квадрат, получаем $cos^2(270^\circ + x) = (sin(x))^2 = sin^2(x)$.
Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$cos^2(x) + sin^2(x)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$.
Таким образом, левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $cos^2(720^\circ - x) + sin^2(540^\circ + x) = 1$ преобразуем левую часть, используя свойство периодичности тригонометрических функций и формулы приведения.
Рассмотрим первое слагаемое. Период функции косинус равен $360^\circ$. Так как $720^\circ = 2 \cdot 360^\circ$, мы можем отбросить полные обороты: $cos(720^\circ - x) = cos(-x)$. Косинус — чётная функция, поэтому $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos^2(720^\circ - x) = cos^2(x)$.
Рассмотрим второе слагаемое. Период функции синус равен $360^\circ$. Представим $540^\circ$ как $360^\circ + 180^\circ$. Тогда $sin(540^\circ + x) = sin(360^\circ + 180^\circ + x) = sin(180^\circ + x)$. По формуле приведения $sin(180^\circ + x) = -sin(x)$. Возводя в квадрат, получаем $sin^2(540^\circ + x) = (-sin(x))^2 = sin^2(x)$.
Подставим преобразованные выражения в левую часть:
$cos^2(x) + sin^2(x)$.
По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно $1$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $tg(2\pi - x) \cdot tg\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -1$ преобразуем множители в левой части.
Первый множитель: $tg(2\pi - x)$. Используя периодичность тангенса (период $\pi$), получаем $tg(2\pi - x) = tg(-x)$. Тангенс — нечётная функция, поэтому $tg(-x) = -tg(x)$.
Второй множитель: $tg\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)$. Используем формулу приведения. Поскольку в аргументе стоит $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс). Угол $\frac{3\pi}{2} - x$ находится в третьей четверти (если считать $x$ малым положительным углом), где тангенс положителен. Таким образом, $tg\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = ctg(x)$.
Перемножим полученные результаты:
$(-tg(x)) \cdot (ctg(x)) = -(tg(x) \cdot ctg(x))$.
Так как $tg(x) \cdot ctg(x) = 1$ (для всех $x$, где обе функции определены), получаем:
$-(1) = -1$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $ctg(6\pi - x) \cdot ctg\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = -1$ преобразуем левую часть.
Первый множитель: $ctg(6\pi - x)$. Используя периодичность котангенса (период $\pi$), имеем $ctg(6\pi - x) = ctg(-x)$. Котангенс — нечётная функция, поэтому $ctg(-x) = -ctg(x)$.
Второй множитель: $ctg\left(\frac{9\pi}{2} - x\right)$. Упростим аргумент, выделив целое число полных оборотов: $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Тогда $ctg\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = ctg\left(4\pi + \frac{\pi}{2} - x\right) = ctg\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. По формуле приведения, функция меняется на кофункцию (котангенс на тангенс), а знак сохраняется, так как угол $\frac{\pi}{2} - x$ в первой четверти. Таким образом, $ctg\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = tg(x)$.
Перемножим преобразованные выражения:
$(-ctg(x)) \cdot (tg(x)) = -(ctg(x) \cdot tg(x))$.
Поскольку $ctg(x) \cdot tg(x) = 1$, левая часть равна:
$-(1) = -1$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.