Номер 23.13, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.13. Упростите выражение:

1) $\sin(2\pi - x) \cdot \cos(90^\circ + x) - \cos(2\pi + x) \cdot \sin(270^\circ - x) - 1;$

2) $\sin(4\pi - x) \cdot \cos(270^\circ - x) + \cos(\pi + x) \cdot \sin(270^\circ + x) - 1.$

1) Упростим выражение $sin(2\pi - x) \cdot cos(90^\circ + x) - cos(2\pi + x) \cdot sin(270^\circ - x) - 1$.

Для этого воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить каждый из тригонометрических членов.

1. $sin(2\pi - x)$: Угол $2\pi - x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Так как мы вычитаем из $2\pi$, название функции не меняется. Следовательно, $sin(2\pi - x) = -sin(x)$.

2. $cos(90^\circ + x)$: Угол $90^\circ + x$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Так как мы прибавляем к $90^\circ$, название функции меняется с косинуса на синус. Следовательно, $cos(90^\circ + x) = -sin(x)$.

3. $cos(2\pi + x)$: Функция косинуса имеет период $2\pi$, поэтому $cos(2\pi + x) = cos(x)$.

4. $sin(270^\circ - x)$: Угол $270^\circ - x$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Так как мы вычитаем из $270^\circ$, название функции меняется с синуса на косинус. Следовательно, $sin(270^\circ - x) = -cos(x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$(-sin(x)) \cdot (-sin(x)) - (cos(x)) \cdot (-cos(x)) - 1$

Выполним умножение:

$sin^2(x) - (-cos^2(x)) - 1 = sin^2(x) + cos^2(x) - 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $sin(4\pi - x) \cdot cos(270^\circ - x) + cos(\pi + x) \cdot sin(270^\circ + x) - 1$.

Применим формулы приведения для каждого члена выражения.

1. $sin(4\pi - x)$: Функция синуса имеет период $2\pi$, поэтому $sin(4\pi - x) = sin(2\pi - x)$. Угол $2\pi - x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Название функции не меняется. Таким образом, $sin(4\pi - x) = -sin(x)$.

2. $cos(270^\circ - x)$: Угол $270^\circ - x$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Название функции меняется на синус. Следовательно, $cos(270^\circ - x) = -sin(x)$.

3. $cos(\pi + x)$: Угол $\pi + x$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Название функции не меняется. Следовательно, $cos(\pi + x) = -cos(x)$.

4. $sin(270^\circ + x)$: Угол $270^\circ + x$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Название функции меняется на косинус. Следовательно, $sin(270^\circ + x) = -cos(x)$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$(-sin(x)) \cdot (-sin(x)) + (-cos(x)) \cdot (-cos(x)) - 1$

Выполним умножение:

$sin^2(x) + cos^2(x) - 1$

Применяя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.