Номер 23.11, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.11. Найдите значение выражения:

1) $\sin(-135^{\circ}) \cdot \cos390^{\circ} \cdot \operatorname{tg}405^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}(-330^{\circ});$

2) $\sin(-225^{\circ}) \cdot \cos(-480^{\circ}) \cdot \operatorname{ctg}(-420^{\circ}) \cdot \operatorname{tg}300^{\circ}.$

1) Найдем значение выражения $\sin(-135^\circ) \cdot \cos(390^\circ) \cdot \tan(405^\circ) \cdot \cot(-330^\circ)$.

Для этого упростим каждый множитель, используя свойства тригонометрических функций (периодичность, четность/нечетность) и формулы приведения.

- Первый множитель: $\sin(-135^\circ)$. Синус — нечетная функция, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-135^\circ) = -\sin(135^\circ)$.
Применим формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$:
$-\sin(135^\circ) = -\sin(180^\circ - 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

- Второй множитель: $\cos(390^\circ)$. Косинус — периодическая функция с периодом $360^\circ$, поэтому $\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$.
$\cos(390^\circ) = \cos(360^\circ + 30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

- Третий множитель: $\tan(405^\circ)$. Тангенс — периодическая функция с периодом $180^\circ$ (а значит и $360^\circ$), поэтому $\tan(360^\circ + \alpha) = \tan(\alpha)$.
$\tan(405^\circ) = \tan(360^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1$.

- Четвертый множитель: $\cot(-330^\circ)$. Котангенс — нечетная функция, поэтому $\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha)$.
$\cot(-330^\circ) = -\cot(330^\circ)$.
Применим формулу приведения $\cot(360^\circ - \alpha) = -\cot(\alpha)$:
$-\cot(330^\circ) = -(-\cot(30^\circ)) = \cot(30^\circ) = \sqrt{3}$.

Теперь перемножим полученные значения:
$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2} \cdot 3}{4} = -\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

2) Найдем значение выражения $\sin(-225^\circ) \cdot \cos(-480^\circ) \cdot \cot(-420^\circ) \cdot \tan(300^\circ)$.

Упростим каждый множитель по отдельности.

- Первый множитель: $\sin(-225^\circ)$. Используем нечетность синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$) и формулу приведения $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin(-225^\circ) = -\sin(225^\circ) = -\sin(180^\circ + 45^\circ) = -(-\sin(45^\circ)) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

- Второй множитель: $\cos(-480^\circ)$. Используем четность косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), его периодичность ($360^\circ$) и формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$\cos(-480^\circ) = \cos(480^\circ) = \cos(360^\circ + 120^\circ) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

- Третий множитель: $\cot(-420^\circ)$. Используем нечетность котангенса ($\cot(-\alpha) = -\cot(\alpha)$) и его периодичность ($180^\circ$):
$\cot(-420^\circ) = -\cot(420^\circ) = -\cot(2 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = -\cot(60^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

- Четвертый множитель: $\tan(300^\circ)$. Используем формулу приведения $\tan(360^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)$:
$\tan(300^\circ) = \tan(360^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.

Теперь перемножим полученные значения:
$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot (-\sqrt{3})$.
Произведение последних двух множителей $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot (-\sqrt{3})$ равно $1$.
Таким образом, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1 = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.