Номер 23.15, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.15. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(-\alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} - \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{1 + \sin\alpha};$

2) $\frac{\cos(2\pi - \alpha)}{\sin(-\alpha)} + \frac{\sin(2\pi - \alpha)}{1 + \cos(-\alpha)};$

3) $\text{tg}^2 (270^\circ + \alpha) \cdot \sin^2 (180^\circ + \alpha) + \text{tg}315^\circ;$

4) $\text{ctg}^2 (360^\circ - \alpha) \cdot \cos^2(270^\circ + \alpha) + \sin270^\circ.$

1)Упростим выражение $ \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} - \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}{1 + \sin\alpha} $. Для этого воспользуемся формулами приведения и свойствами четности/нечетности тригонометрических функций:
$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $ (синус — нечетная функция).
$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $ (угол во II четверти, косинус отрицательный).
$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $ (угол в III четверти, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию).
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$ \frac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} - \frac{-\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \cos\alpha(1 + \sin\alpha) $:
$ \frac{\sin\alpha(1 + \sin\alpha) + \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получим:
$ \frac{\sin\alpha + 1}{\cos\alpha(1 + \sin\alpha)} $
Сократим дробь на $ (1 + \sin\alpha) $:
$ \frac{1}{\cos\alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\cos\alpha} $.

2)Упростим выражение $ \frac{\cos(2\pi - \alpha)}{\sin(-\alpha)} + \frac{\sin(2\pi - \alpha)}{1 + \cos(-\alpha)} $.Применим формулы приведения и свойства четности/нечетности:
$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha $ (угол в IV четверти, косинус положительный).
$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $ (синус — нечетная функция).
$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha $ (угол в IV четверти, синус отрицательный).
$ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $ (косинус — четная функция).
Подставим упрощенные выражения:
$ \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} + \frac{-\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} $
Приведем к общему знаменателю $ \sin\alpha(1 + \cos\alpha) $:
$ - \left( \frac{\cos\alpha(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} \right) = - \left( \frac{\cos\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} \right) $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ - \left( \frac{\cos\alpha + 1}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} \right) $
Сократим дробь на $ (1 + \cos\alpha) $:
$ -\frac{1}{\sin\alpha} $
Ответ: $ -\frac{1}{\sin\alpha} $.

3)Упростим выражение $ \text{tg}^2(270^\circ + \alpha) \cdot \sin^2(180^\circ + \alpha) + \text{tg}315^\circ $.Упростим каждый член выражения:
$ \text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}\alpha $ (угол в IV четверти, тангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию). Тогда $ \text{tg}^2(270^\circ + \alpha) = (-\text{ctg}\alpha)^2 = \text{ctg}^2\alpha $.
$ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha $ (угол в III четверти, синус отрицательный). Тогда $ \sin^2(180^\circ + \alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha $.
$ \text{tg}315^\circ = \text{tg}(360^\circ - 45^\circ) = -\text{tg}45^\circ = -1 $.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \text{ctg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha - 1 $
Так как $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, то $ \text{ctg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} $.
$ \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha - 1 $
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ следует, что $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $.
Ответ: $ -\sin^2\alpha $.

4)Упростим выражение $ \text{ctg}^2(360^\circ - \alpha) \cdot \cos^2(270^\circ + \alpha) + \sin270^\circ $.Упростим каждый член выражения:
$ \text{ctg}(360^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha $ (угол в IV четверти, котангенс отрицательный). Тогда $ \text{ctg}^2(360^\circ - \alpha) = (-\text{ctg}\alpha)^2 = \text{ctg}^2\alpha $.
$ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin\alpha $ (угол в IV четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию). Тогда $ \cos^2(270^\circ + \alpha) = \sin^2\alpha $.
$ \sin270^\circ = -1 $.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \text{ctg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha - 1 $
Заменим $ \text{ctg}^2\alpha $ на $ \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} $:
$ \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha - 1 $
Из основного тригонометрического тождества $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $.
Ответ: $ -\sin^2\alpha $.