Номер 23.16, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.16. Найдите числовое значение выражения:

1) $ \left(\sin 315^{\circ} - \cos 315^{\circ}\right)^2; $

2) $ \left(\sin 225^{\circ} - \cos 225^{\circ}\right)^2; $

3) $ \left(\sin 135^{\circ} + \cos 135^{\circ}\right)^2; $

4) $ \left(\sin 315^{\circ} + \cos 315^{\circ}\right)^2. $

1) $(\sin315^\circ - \cos315^\circ)^2$

Для решения можно использовать два способа.

Способ 1: Прямое вычисление.

Сначала найдем значения $\sin315^\circ$ и $\cos315^\circ$. Угол $315^\circ$ находится в IV четверти. Используем формулы приведения:

$\sin315^\circ = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos315^\circ = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$(\sin315^\circ - \cos315^\circ)^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin315^\circ - \cos315^\circ)^2 = \sin^2 315^\circ - 2\sin315^\circ\cos315^\circ + \cos^2 315^\circ$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$(\sin^2 315^\circ + \cos^2 315^\circ) - 2\sin315^\circ\cos315^\circ = 1 - \sin(2 \cdot 315^\circ) = 1 - \sin(630^\circ)$

Вычислим значение $\sin(630^\circ)$. Так как период функции синус равен $360^\circ$, то:

$\sin(630^\circ) = \sin(360^\circ + 270^\circ) = \sin(270^\circ) = -1$

Подставим полученное значение:

$1 - \sin(630^\circ) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2

2) $(\sin225^\circ - \cos225^\circ)^2$

Способ 1: Прямое вычисление.

Угол $225^\circ$ находится в III четверти. Используем формулы приведения:

$\sin225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения в выражение:

$(\sin225^\circ - \cos225^\circ)^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}))^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0^2 = 0$

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств.

$(\sin225^\circ - \cos225^\circ)^2 = \sin^2 225^\circ - 2\sin225^\circ\cos225^\circ + \cos^2 225^\circ$

$= (\sin^2 225^\circ + \cos^2 225^\circ) - 2\sin225^\circ\cos225^\circ = 1 - \sin(2 \cdot 225^\circ) = 1 - \sin(450^\circ)$

Вычислим значение $\sin(450^\circ)$:

$\sin(450^\circ) = \sin(360^\circ + 90^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

Подставим полученное значение:

$1 - \sin(450^\circ) = 1 - 1 = 0$

Ответ: 0

3) $(\sin135^\circ + \cos135^\circ)^2$

Способ 1: Прямое вычисление.

Угол $135^\circ$ находится во II четверти. Используем формулы приведения:

$\sin135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения в выражение:

$(\sin135^\circ + \cos135^\circ)^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}))^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0^2 = 0$

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin135^\circ + \cos135^\circ)^2 = \sin^2 135^\circ + 2\sin135^\circ\cos135^\circ + \cos^2 135^\circ$

$= (\sin^2 135^\circ + \cos^2 135^\circ) + 2\sin135^\circ\cos135^\circ = 1 + \sin(2 \cdot 135^\circ) = 1 + \sin(270^\circ)$

Мы знаем, что $\sin(270^\circ) = -1$.

Подставим полученное значение:

$1 + \sin(270^\circ) = 1 + (-1) = 0$

Ответ: 0

4) $(\sin315^\circ + \cos315^\circ)^2$

Способ 1: Прямое вычисление.

Из пункта 1 мы знаем, что $\sin315^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos315^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения в выражение:

$(\sin315^\circ + \cos315^\circ)^2 = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 0^2 = 0$

Способ 2: Использование тригонометрических тождеств.

$(\sin315^\circ + \cos315^\circ)^2 = \sin^2 315^\circ + 2\sin315^\circ\cos315^\circ + \cos^2 315^\circ$

$= (\sin^2 315^\circ + \cos^2 315^\circ) + 2\sin315^\circ\cos315^\circ = 1 + \sin(2 \cdot 315^\circ) = 1 + \sin(630^\circ)$

Из пункта 1 мы знаем, что $\sin(630^\circ) = -1$.

Подставим полученное значение:

$1 + \sin(630^\circ) = 1 + (-1) = 0$

Ответ: 0