Номер 23.12, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.12. Докажите тождество:

1) $tgx + tg(180^\circ - x) + ctg(360^\circ - x) = ctg(180^\circ - x);$

2) $ctgx + tg(90^\circ + x) + tg(360^\circ + x) = ctg(270^\circ - x);$

3) $sin(\frac{3\pi}{2} + \beta) \cdot ctg(\frac{\pi}{2} - \beta) + sin(180^\circ - \beta) + ctg(\frac{3\pi}{2} - \beta) = tg\beta.$

1) Для доказательства тождества $tg x + tg(180^\circ - x) + ctg(360^\circ - x) = ctg(180^\circ - x)$ преобразуем его левую и правую части с помощью формул приведения.

Упростим левую часть (LHS):
Используем формулы приведения:
$tg(180^\circ - x) = -tg x$ (так как угол $180^\circ - x$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, а основная функция не меняется).
$ctg(360^\circ - x) = -ctg x$ (так как угол $360^\circ - x$ находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен, а основная функция не меняется).
Подставим эти выражения в левую часть:
$LHS = tg x + (-tg x) + (-ctg x) = tg x - tg x - ctg x = -ctg x$.

Теперь упростим правую часть (RHS):
$ctg(180^\circ - x) = -ctg x$ (так как угол $180^\circ - x$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен, а основная функция не меняется).
$RHS = -ctg x$.

Сравнивая левую и правую части, получаем $-ctg x = -ctg x$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ctg x + tg(90^\circ + x) + tg(360^\circ + x) = ctg(270^\circ - x)$ преобразуем его левую и правую части.

Упростим левую часть (LHS):
Используем формулы приведения:
$tg(90^\circ + x) = -ctg x$ (угол во второй четверти, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$tg(360^\circ + x) = tg x$ (в силу периодичности тангенса).
Подставим в левую часть:
$LHS = ctg x + (-ctg x) + tg x = ctg x - ctg x + tg x = tg x$.

Упростим правую часть (RHS):
$ctg(270^\circ - x) = tg x$ (угол в третьей четверти, котангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
$RHS = tg x$.

Сравнивая левую и правую части, получаем $tg x = tg x$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $sin(\frac{3\pi}{2} + \beta) \cdot ctg(\frac{\pi}{2} - \beta) + sin(180^\circ - \beta) + ctg(\frac{3\pi}{2} - \beta) = tg \beta$ преобразуем его левую часть.

Применим формулы приведения к каждому члену выражения в левой части:
$sin(\frac{3\pi}{2} + \beta) = -cos \beta$ (угол в IV четверти, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$ctg(\frac{\pi}{2} - \beta) = tg \beta$ (угол в I четверти, котангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
$sin(180^\circ - \beta) = sin(\pi - \beta) = sin \beta$ (угол во II четверти, синус положителен, функция не меняется).
$ctg(\frac{3\pi}{2} - \beta) = tg \beta$ (угол в III четверти, котангенс положителен, функция меняется на кофункцию).

Подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:
$LHS = (-cos \beta) \cdot (tg \beta) + sin \beta + tg \beta$.
Используем основное тригонометрическое соотношение $tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta}$:
$LHS = (-cos \beta) \cdot (\frac{sin \beta}{cos \beta}) + sin \beta + tg \beta$.
Сократим $cos \beta$ в первом слагаемом:
$LHS = -sin \beta + sin \beta + tg \beta = tg \beta$.

Правая часть (RHS) равна $tg \beta$.
Сравнивая левую и правую части, получаем $tg \beta = tg \beta$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.