Номер 23.7, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.7. Найдите значение выражения:

1) $\text{ctg}(-45^\circ) \cdot \cos(225^\circ) \cdot \sin(150^\circ)$;

2) $\text{tg}(-135^\circ) \cdot \cos(300^\circ) \cdot \sin(210^\circ)$;

3) $\text{ctg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \cos(150^\circ) \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)$;

4) $\text{ctg}(-225^\circ) \cdot \cos\left(\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \sin(330^\circ)$.

1) Чтобы найти значение выражения $ctg(-45^\circ) \cdot cos(225^\circ) \cdot sin(150^\circ)$, вычислим значение каждого множителя.
Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$:
$ctg(-45^\circ) = -ctg(45^\circ) = -1$.
Для $cos(225^\circ)$ применим формулу приведения, представив $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$:
$cos(225^\circ) = cos(180^\circ + 45^\circ) = -cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для $sin(150^\circ)$ применим формулу приведения, представив $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$:
$sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$(-1) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

2) Чтобы найти значение выражения $tg(-135^\circ) \cdot cos(300^\circ) \cdot sin(210^\circ)$, вычислим значение каждого множителя.
Используем свойство нечетности тангенса $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$:
$tg(-135^\circ) = -tg(135^\circ) = -tg(180^\circ - 45^\circ) = -(-tg(45^\circ)) = -(-1) = 1$.
Для $cos(300^\circ)$ применим формулу приведения, представив $300^\circ$ как $360^\circ - 60^\circ$:
$cos(300^\circ) = cos(360^\circ - 60^\circ) = cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Для $sin(210^\circ)$ применим формулу приведения, представив $210^\circ$ как $180^\circ + 30^\circ$:
$sin(210^\circ) = sin(180^\circ + 30^\circ) = -sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

3) Чтобы найти значение выражения $ctg(-\frac{3\pi}{4}) \cdot cos(150^\circ) \cdot sin(\frac{5\pi}{3})$, вычислим значение каждого множителя.
Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$ и формулу приведения:
$ctg(-\frac{3\pi}{4}) = -ctg(\frac{3\pi}{4}) = -ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -(-ctg(\frac{\pi}{4})) = -(-1) = 1$.
Для $cos(150^\circ)$ применим формулу приведения, представив $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$:
$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для $sin(\frac{5\pi}{3})$ применим формулу приведения, представив $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$:
$sin(\frac{5\pi}{3}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) Чтобы найти значение выражения $ctg(-225^\circ) \cdot cos(\frac{8\pi}{3}) \cdot sin(330^\circ)$, вычислим значение каждого множителя.
Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$ и формулу приведения:
$ctg(-225^\circ) = -ctg(225^\circ) = -ctg(180^\circ + 45^\circ) = -ctg(45^\circ) = -1$.
Для $cos(\frac{8\pi}{3})$ используем периодичность косинуса, а затем формулу приведения:
$cos(\frac{8\pi}{3}) = cos(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Для $sin(330^\circ)$ применим формулу приведения, представив $330^\circ$ как $360^\circ - 30^\circ$:
$sin(330^\circ) = sin(360^\circ - 30^\circ) = -sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$(-1) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.