Номер 23.3, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 23. Формулы приведения. Глава IV. Тригонометрия. Часть 2 - номер 23.3, страница 51.

Условие рус.

23.3. Преобразуйте выражение:

1) $ \sin(-225^{\circ}) $;

2) $ \sin\frac{7\pi}{6} $;

3) $ \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) $;

4) $ \operatorname{tg}(-240^{\circ}) $;

5) $ \cos\frac{25\pi}{3} $;

6) $ \operatorname{ctg}\left(-\frac{9\pi}{4}\right) $;

7) $ \sin\left(-\frac{17\pi}{6}\right) $;

8) $ \operatorname{tg}\left(-\frac{19\pi}{6}\right) $.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Для преобразования выражения $sin(-225^\circ)$ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin(-225^\circ) = -sin(225^\circ)$

Далее, применим формулу приведения. Представим $225^\circ$ в виде $180^\circ + 45^\circ$.

$-sin(225^\circ) = -sin(180^\circ + 45^\circ)$

Поскольку $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:

$-(-sin(45^\circ)) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В качестве альтернативы, можно использовать периодичность синуса:

$sin(-225^\circ) = sin(-225^\circ + 360^\circ) = sin(135^\circ) = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Для преобразования выражения $sin\frac{7\pi}{6}$ представим аргумент в виде суммы $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ и применим формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin\frac{7\pi}{6} = sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для преобразования выражения $cos(-\frac{4\pi}{3})$ воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

$cos(-\frac{4\pi}{3}) = cos(\frac{4\pi}{3})$

Представим аргумент в виде суммы $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ и применим формулу приведения $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$.

$cos(\frac{4\pi}{3}) = cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

4) Для преобразования выражения $tg(-240^\circ)$ воспользуемся свойством нечетности функции тангенс: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.

$tg(-240^\circ) = -tg(240^\circ)$

Далее, воспользуемся периодичностью тангенса (период равен $180^\circ$ или $\pi$). Представим $240^\circ$ как $180^\circ + 60^\circ$.

$-tg(240^\circ) = -tg(180^\circ + 60^\circ) = -tg(60^\circ) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

5) Для преобразования выражения $cos\frac{25\pi}{3}$ воспользуемся периодичностью косинуса (период равен $2\pi$). Выделим целое число периодов в аргументе.

$\frac{25\pi}{3} = \frac{24\pi + \pi}{3} = \frac{24\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3} = 4 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$cos(\frac{25\pi}{3}) = cos(4 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

6) Для преобразования выражения $ctg(-\frac{9\pi}{4})$ воспользуемся свойством нечетности функции котангенс: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.

$ctg(-\frac{9\pi}{4}) = -ctg(\frac{9\pi}{4})$

Далее, воспользуемся периодичностью котангенса (период равен $\pi$). Выделим целое число периодов в аргументе.

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

$-ctg(\frac{9\pi}{4}) = -ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4}) = -1$

Ответ: $-1$

7) Для преобразования выражения $sin(-\frac{17\pi}{6})$ используем свойство нечетности синуса и его периодичность.

$sin(-\frac{17\pi}{6}) = -sin(\frac{17\pi}{6})$

Выделим целый период $2\pi$ из аргумента: $\frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi + 5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$.

$-sin(\frac{17\pi}{6}) = -sin(2\pi + \frac{5\pi}{6}) = -sin(\frac{5\pi}{6})$

Применим формулу приведения, представив $\frac{5\pi}{6}$ как $\pi - \frac{\pi}{6}$.

$-sin(\frac{5\pi}{6}) = -sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

8) Для преобразования выражения $tg(-\frac{19\pi}{6})$ используем свойство нечетности тангенса и его периодичность.

$tg(-\frac{19\pi}{6}) = -tg(\frac{19\pi}{6})$

Период тангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов в аргументе: $\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}$.

$-tg(\frac{19\pi}{6}) = -tg(3\pi + \frac{\pi}{6}) = -tg(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$