Номер 23.6, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.6. Приведите тригонометрическую функцию к функции угла $\alpha$,
где $\alpha$ ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$):

1) sin $545^\circ$;

2) cos $945^\circ$;

3) tg $1545^\circ$;

4) ctg $545^\circ$;

5) sin $\frac{9\pi}{4}$;

6) cos $\frac{91\pi}{5}$;

7) tg $\frac{29\pi}{3}$;

8) ctg $\frac{39\pi}{7}$;

9) sin $(-\frac{49\pi}{4})$;

10) cos $(-\frac{419\pi}{5})$;

11) sin $(-2489^\circ)$;

12) tg $(-4789^\circ)$.

1) Для приведения функции $\sin 545°$ к функции угла $\alpha$ ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$ или $0° \le \alpha \le 45°$) воспользуемся периодичностью и формулами приведения.

Период синуса равен $360°$. Выделим целое число периодов в угле $545°$: $545° = 360° + 185°$.

Следовательно, $\sin 545° = \sin(360° + 185°) = \sin 185°$.

Угол $185°$ находится в третьей четверти. Применим формулу приведения: $185° = 180° + 5°$.

$\sin 185° = \sin(180° + 5°) = -\sin 5°$.

Угол $\alpha = 5°$ удовлетворяет условию $0° \le 5° \le 45°$.

Ответ: $-\sin 5°$.

2) Приведем функцию $\cos 945°$.

Период косинуса равен $360°$. $945° = 2 \cdot 360° + 225° = 720° + 225°$.

$\cos 945° = \cos(2 \cdot 360° + 225°) = \cos 225°$.

Угол $225°$ находится в третьей четверти. Применим формулу приведения: $225° = 180° + 45°$.

$\cos 225° = \cos(180° + 45°) = -\cos 45°$.

Угол $\alpha = 45°$ удовлетворяет условию $0° \le 45° \le 45°$.

Ответ: $-\cos 45°$.

3) Приведем функцию $\tan 1545°$.

Период тангенса равен $180°$. $1545° = 8 \cdot 180° + 105° = 1440° + 105°$.

$\tan 1545° = \tan(8 \cdot 180° + 105°) = \tan 105°$.

Угол $105°$ находится во второй четверти. Применим формулу приведения: $105° = 90° + 15°$.

$\tan 105° = \tan(90° + 15°) = -\cot 15°$.

Угол $\alpha = 15°$ удовлетворяет условию $0° \le 15° \le 45°$.

Ответ: $-\cot 15°$.

4) Приведем функцию $\cot 545°$.

Период котангенса равен $180°$. $545° = 3 \cdot 180° + 5° = 540° + 5°$.

$\cot 545° = \cot(3 \cdot 180° + 5°) = \cot 5°$.

Угол $\alpha = 5°$ удовлетворяет условию $0° \le 5° \le 45°$.

Ответ: $\cot 5°$.

5) Приведем функцию $\sin \frac{9\pi}{4}$.

Период синуса равен $2\pi$. $\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

$\sin(\frac{9\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{4})$.

6) Приведем функцию $\cos \frac{91\pi}{5}$.

Период косинуса равен $2\pi$. $\frac{91\pi}{5} = \frac{90\pi + \pi}{5} = 18\pi + \frac{\pi}{5} = 9 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{5}$.

$\cos(\frac{91\pi}{5}) = \cos(9 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{\pi}{5})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{5} \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\cos(\frac{\pi}{5})$.

7) Приведем функцию $\tan \frac{29\pi}{3}$.

Период тангенса равен $\pi$. $\frac{29\pi}{3} = \frac{27\pi + 2\pi}{3} = 9\pi + \frac{2\pi}{3}$.

$\tan(\frac{29\pi}{3}) = \tan(9\pi + \frac{2\pi}{3}) = \tan(\frac{2\pi}{3})$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ не удовлетворяет условию. Применим формулу приведения: $\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.

$\tan(\frac{2\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{6})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\cot(\frac{\pi}{6})$.

8) Приведем функцию $\cot \frac{39\pi}{7}$.

Период котангенса равен $\pi$. $\frac{39\pi}{7} = \frac{35\pi + 4\pi}{7} = 5\pi + \frac{4\pi}{7}$.

$\cot(\frac{39\pi}{7}) = \cot(5\pi + \frac{4\pi}{7}) = \cot(\frac{4\pi}{7})$.

Угол $\frac{4\pi}{7}$ не удовлетворяет условию. Применим формулу приведения: $\frac{4\pi}{7} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{14}$.

$\cot(\frac{4\pi}{7}) = \cot(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{14}) = -\tan(\frac{\pi}{14})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{14}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{14} \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\tan(\frac{\pi}{14})$.

9) Приведем функцию $\sin(-\frac{49\pi}{4})$.

Синус — нечетная функция: $\sin(-x) = -\sin(x)$, поэтому $\sin(-\frac{49\pi}{4}) = -\sin(\frac{49\pi}{4})$.

Период синуса $2\pi$. $\frac{49\pi}{4} = \frac{48\pi + \pi}{4} = 12\pi + \frac{\pi}{4} = 6 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

$-\sin(\frac{49\pi}{4}) = -\sin(6 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\sin(\frac{\pi}{4})$.

10) Приведем функцию $\cos(-\frac{419\pi}{5})$.

Косинус — четная функция: $\cos(-x) = \cos(x)$, поэтому $\cos(-\frac{419\pi}{5}) = \cos(\frac{419\pi}{5})$.

Период косинуса $2\pi$. $\frac{419\pi}{5} = \frac{420\pi - \pi}{5} = 84\pi - \frac{\pi}{5} = 42 \cdot 2\pi - \frac{\pi}{5}$.

$\cos(\frac{419\pi}{5}) = \cos(42 \cdot 2\pi - \frac{\pi}{5}) = \cos(-\frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{\pi}{5})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{5} \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\cos(\frac{\pi}{5})$.

11) Приведем функцию $\sin(-2489°)$.

Синус — нечетная функция: $\sin(-2489°) = -\sin(2489°)$.

Период синуса $360°$. $2489° = 7 \cdot 360° - 31° = 2520° - 31°$.

$-\sin(2489°) = -\sin(7 \cdot 360° - 31°) = -\sin(-31°) = -(-\sin(31°)) = \sin(31°)$.

Угол $\alpha = 31°$ удовлетворяет условию $0° \le 31° \le 45°$.

Ответ: $\sin(31°)$.

12) Приведем функцию $\tan(-4789°)$.

Тангенс — нечетная функция: $\tan(-4789°) = -\tan(4789°)$.

Период тангенса $180°$. $4789° = 27 \cdot 180° - 71° = 4860° - 71°$.

$-\tan(4789°) = -\tan(27 \cdot 180° - 71°) = -\tan(-71°) = -(-\tan(71°)) = \tan(71°)$.

Угол $71°$ не удовлетворяет условию. Применим формулу $\tan x = \cot(90° - x)$.

$\tan(71°) = \cot(90° - 71°) = \cot(19°)$.

Угол $\alpha = 19°$ удовлетворяет условию $0° \le 19° \le 45°$.

Ответ: $\cot(19°)$.