Номер 22.32, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.32. Найдите значение выражения:

1) $ \sin90^\circ + 2\cos150^\circ - \sin150^\circ + \cot120^\circ; $

2) $ 2\sin120^\circ + \cos90^\circ - \cos120^\circ + \tan150^\circ. $

1) $\sin90^\circ + 2\cos150^\circ - \sin150^\circ + \text{ctg}120^\circ$

Для решения этого выражения найдем значения каждой тригонометрической функции. Будем использовать формулы приведения, которые позволяют свести тригонометрические функции любого угла к функциям острого угла.

$\sin90^\circ = 1$ (стандартное значение)

$\cos150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (косинус во второй четверти отрицателен)

$\sin150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin30^\circ = \frac{1}{2}$ (синус во второй четверти положителен)

$\text{ctg}120^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = -\text{ctg}60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ (котангенс во второй четверти отрицателен)

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\sin90^\circ + 2\cos150^\circ - \sin150^\circ + \text{ctg}120^\circ = 1 + 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{1}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Упростим выражение, выполнив арифметические действия:

$1 - \sqrt{3} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = (1 - \frac{1}{2}) + (-\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{2} - (\frac{3\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

2) $2\sin120^\circ + \cos90^\circ - \cos120^\circ + \text{tg}150^\circ$

Найдем значения тригонометрических функций, используя формулы приведения.

$\sin120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (синус во второй четверти положителен)

$\cos90^\circ = 0$ (стандартное значение)

$\cos120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos60^\circ = -\frac{1}{2}$ (косинус во второй четверти отрицателен)

$\text{tg}150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ (тангенс во второй четверти отрицателен)

Подставим значения в выражение:

$2\sin120^\circ + \cos90^\circ - \cos120^\circ + \text{tg}150^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 - (-\frac{1}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{3})$

Упростим полученное выражение:

$\sqrt{3} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = (\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{1}{2} = (\frac{3\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$.