Номер 22.27, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.27.1) Найдите значение суммы первых 105 членов арифметической прогрессии, если

$a_{53} = 30.$

2) Найдите значение суммы первых 207 членов арифметической прогрессии, если

$a_{103} = 15.$

1)

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — $n$-й член, а $n$ — количество членов.

В данном случае нам нужно найти сумму первых 105 членов, то есть $n = 105$.

Для арифметической прогрессии с нечетным числом членов $n$ существует свойство: сумма всех членов равна произведению количества членов на средний член. Номер среднего члена $k$ вычисляется по формуле $k = \frac{n+1}{2}$.

Для $n=105$ номер среднего члена равен $k = \frac{105+1}{2} = \frac{106}{2} = 53$. Это означает, что $a_{53}$ является средним членом для последовательности из первых 105 членов.

Следовательно, сумму можно вычислить по упрощенной формуле: $S_{105} = 105 \cdot a_{53}$.

По условию задачи $a_{53} = 30$. Подставим это значение: $S_{105} = 105 \cdot 30 = 3150$.

Ответ: 3150.

2)

Требуется найти сумму первых 207 членов арифметической прогрессии, то есть $n = 207$. По условию нам известен 103-й член прогрессии: $a_{103} = 15$.

Проверим, является ли $a_{103}$ средним членом для последовательности из 207 членов. Номер среднего члена для $n=207$ равен $k = \frac{207+1}{2} = \frac{208}{2} = 104$. Таким образом, средним членом является $a_{104}$, а не $a_{103}$. Прямое применение метода из первого пункта невозможно.

Рассмотрим общую формулу суммы через $n$-й член: $S_{207} = \frac{a_1 + a_{207}}{2} \cdot 207$.

Выразим $a_1$ и $a_{207}$ через известный нам $a_{103}$ и разность прогрессии $d$. Формула $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$. Известно, что $a_{103} = a_1 + (103-1)d = a_1 + 102d = 15$. Отсюда $a_1 = 15 - 102d$.

Теперь найдем $a_{207}$: $a_{207} = a_1 + (207-1)d = (15 - 102d) + 206d = 15 + 104d$.

Подставим выражения для $a_1$ и $a_{207}$ в формулу суммы: $S_{207} = \frac{(15 - 102d) + (15 + 104d)}{2} \cdot 207 = \frac{30 + 2d}{2} \cdot 207 = (15+d) \cdot 207$.

В итоге мы получили выражение $S_{207} = 3105 + 207d$. Как видно, значение суммы напрямую зависит от разности прогрессии $d$. Поскольку $d$ в условии не задана и не может быть найдена из предоставленных данных, то однозначно вычислить значение суммы невозможно.

Ответ: В рамках предоставленного условия найти точное значение суммы невозможно, так как оно зависит от неизвестной разности прогрессии $d$.