Номер 22.21, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.21. Упростите выражение:

1) $(1 + \text{tg}\beta) \cdot \cos^3 \beta + (1 + \text{ctg}\beta) \cdot \sin^3 \beta + 1;$

2) $2 - \left(\frac{\text{ctg}\beta + \sin\beta}{\sin\beta \cdot \text{tg}\beta + 1}\right)^2 + \text{ctg}^2 \beta.$

1)

Для упрощения выражения раскроем скобки и воспользуемся определениями тангенса $ \text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $ и котангенса $ \text{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $.

$ (1 + \text{tg}\beta) \cdot \cos^3\beta + (1 + \text{ctg}\beta) \cdot \sin^3\beta + 1 = $
$ = 1 \cdot \cos^3\beta + \text{tg}\beta \cdot \cos^3\beta + 1 \cdot \sin^3\beta + \text{ctg}\beta \cdot \sin^3\beta + 1 = $
$ = \cos^3\beta + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \cos^3\beta + \sin^3\beta + \frac{\cos\beta}{\sin\beta} \cdot \sin^3\beta + 1 $

Сократим дроби:

$ = \cos^3\beta + \sin\beta \cdot \cos^2\beta + \sin^3\beta + \cos\beta \cdot \sin^2\beta + 1 $

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ (\cos^3\beta + \cos\beta \cdot \sin^2\beta) + (\sin^3\beta + \sin\beta \cdot \cos^2\beta) + 1 = $
$ = \cos\beta(\cos^2\beta + \sin^2\beta) + \sin\beta(\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 1 $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $:

$ = \cos\beta \cdot 1 + \sin\beta \cdot 1 + 1 = \cos\beta + \sin\beta + 1 $

Ответ: $ \cos\beta + \sin\beta + 1 $

2)

Сначала упростим выражение в скобках $ \frac{\text{ctg}\beta + \sin\beta}{\sin\beta \cdot \text{tg}\beta + 1} $. Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Преобразуем числитель:

$ \text{ctg}\beta + \sin\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \sin\beta = \frac{\cos\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta} $

Преобразуем знаменатель:

$ \sin\beta \cdot \text{tg}\beta + 1 = \sin\beta \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + 1 = \frac{\sin^2\beta}{\cos\beta} + 1 = \frac{\sin^2\beta + \cos\beta}{\cos\beta} $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\frac{\cos\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta}}{\frac{\sin^2\beta + \cos\beta}{\cos\beta}} = \frac{\cos\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin^2\beta + \cos\beta} $

Сократим одинаковые множители $ (\cos\beta + \sin^2\beta) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \text{ctg}\beta $

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:

$ 2 - \left(\frac{\text{ctg}\beta + \sin\beta}{\sin\beta \cdot \text{tg}\beta + 1}\right)^2 + \text{ctg}^2\beta = 2 - (\text{ctg}\beta)^2 + \text{ctg}^2\beta = 2 - \text{ctg}^2\beta + \text{ctg}^2\beta = 2 $

Ответ: $ 2 $