Страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

3.30. 1)
$

\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 2, \\ |x + y| = 1; \end{cases}$

2) $

\begin{cases} x^2 + y^2 = 37, \\ |x - y| = 7; \end{cases}$

3) $

\begin{cases} x^2 + y^2 = 41, \\ |x + y| = 9; \end{cases}$

4) $

\begin{cases} 3x^3 + 2xy = 9, \\ |2x + y| = 5. \end{cases}$

1)Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} 2x^2 - y^2 = 2 \\ |x+y| = 1 \end{cases} $
Второе уравнение $|x+y|=1$ распадается на два случая: $x+y=1$ или $x+y=-1$.
Случай 1: $x+y=1$.
Выразим $y$: $y=1-x$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2x^2 - (1-x)^2 = 2$
$2x^2 - (1 - 2x + x^2) = 2$
$2x^2 - 1 + 2x - x^2 = 2$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решая это квадратное уравнение (например, с помощью теоремы Виета или дискриминанта), находим корни: $x_1=1$ и $x_2=-3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1=1$, $y_1=1-1=0$. Получаем решение $(1, 0)$.
При $x_2=-3$, $y_2=1-(-3)=4$. Получаем решение $(-3, 4)$.
Случай 2: $x+y=-1$.
Выразим $y$: $y=-1-x$. Подставим в первое уравнение:
$2x^2 - (-1-x)^2 = 2$
$2x^2 - (1+x)^2 = 2$
$2x^2 - (1 + 2x + x^2) = 2$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Корни этого уравнения: $x_3=3$ и $x_4=-1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_3=3$, $y_3=-1-3=-4$. Получаем решение $(3, -4)$.
При $x_4=-1$, $y_4=-1-(-1)=0$. Получаем решение $(-1, 0)$.
Ответ: $(1, 0)$, $(-3, 4)$, $(3, -4)$, $(-1, 0)$.

2)Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 37 \\ |x-y| = 7 \end{cases} $
Второе уравнение $|x-y|=7$ распадается на два случая: $x-y=7$ или $x-y=-7$.
Случай 1: $x-y=7$.
Выразим $x$: $x=y+7$. Подставим в первое уравнение:
$(y+7)^2 + y^2 = 37$
$y^2 + 14y + 49 + y^2 = 37$
$2y^2 + 14y + 12 = 0$
$y^2 + 7y + 6 = 0$
Корни уравнения: $y_1=-1$, $y_2=-6$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1=-1$, $x_1=-1+7=6$. Решение: $(6, -1)$.
При $y_2=-6$, $x_2=-6+7=1$. Решение: $(1, -6)$.
Случай 2: $x-y=-7$.
Выразим $x$: $x=y-7$. Подставим в первое уравнение:
$(y-7)^2 + y^2 = 37$
$y^2 - 14y + 49 + y^2 = 37$
$2y^2 - 14y + 12 = 0$
$y^2 - 7y + 6 = 0$
Корни уравнения: $y_3=1$, $y_4=6$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_3=1$, $x_3=1-7=-6$. Решение: $(-6, 1)$.
При $y_4=6$, $x_4=6-7=-1$. Решение: $(-1, 6)$.
Ответ: $(6, -1)$, $(1, -6)$, $(-6, 1)$, $(-1, 6)$.

3)Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ |x+y| = 9 \end{cases} $
Второе уравнение $|x+y|=9$ распадается на два случая: $x+y=9$ или $x+y=-9$.
Случай 1: $x+y=9$.
Выразим $y$: $y=9-x$. Подставим в первое уравнение:
$x^2 + (9-x)^2 = 41$
$x^2 + 81 - 18x + x^2 = 41$
$2x^2 - 18x + 40 = 0$
$x^2 - 9x + 20 = 0$
Корни уравнения: $x_1=4$, $x_2=5$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1=4$, $y_1=9-4=5$. Решение: $(4, 5)$.
При $x_2=5$, $y_2=9-5=4$. Решение: $(5, 4)$.
Случай 2: $x+y=-9$.
Выразим $y$: $y=-9-x$. Подставим в первое уравнение:
$x^2 + (-9-x)^2 = 41$
$x^2 + (9+x)^2 = 41$
$x^2 + 81 + 18x + x^2 = 41$
$2x^2 + 18x + 40 = 0$
$x^2 + 9x + 20 = 0$
Корни уравнения: $x_3=-4$, $x_4=-5$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_3=-4$, $y_3=-9-(-4)=-5$. Решение: $(-4, -5)$.
При $x_4=-5$, $y_4=-9-(-5)=-4$. Решение: $(-5, -4)$.
Ответ: $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(-4, -5)$, $(-5, -4)$.

4)Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} 3x^3 + 2xy = 9 \\ |2x+y| = 5 \end{cases} $
Второе уравнение $|2x+y|=5$ распадается на два случая: $2x+y=5$ или $2x+y=-5$.
Случай 1: $2x+y=5$.
Выразим $y$: $y=5-2x$. Подставим в первое уравнение:
$3x^3 + 2x(5-2x) = 9$
$3x^3 + 10x - 4x^2 = 9$
$3x^3 - 4x^2 + 10x - 9 = 0$
Проверим целые делители свободного члена (-9), то есть $\pm1, \pm3, \pm9$. Подстановка $x=1$ дает: $3(1)^3 - 4(1)^2 + 10(1) - 9 = 3 - 4 + 10 - 9 = 0$.Значит, $x=1$ является корнем. Выполнив деление многочлена $(3x^3 - 4x^2 + 10x - 9)$ на $(x-1)$, получим:
$(x-1)(3x^2 - x + 9) = 0$
Для квадратного уравнения $3x^2 - x + 9 = 0$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 1 - 108 = -107$. Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Следовательно, в этом случае есть единственное решение $x_1=1$. Найдем $y_1 = 5 - 2(1) = 3$. Получаем пару $(1, 3)$.
Случай 2: $2x+y=-5$.
Выразим $y$: $y=-5-2x$. Подставим в первое уравнение:
$3x^3 + 2x(-5-2x) = 9$
$3x^3 - 10x - 4x^2 = 9$
$3x^3 - 4x^2 - 10x - 9 = 0$
По теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни этого уравнения: $\pm1, \pm3, \pm9, \pm1/3$. Проверка показывает, что ни один из них не является корнем. Данное кубическое уравнение имеет один действительный иррациональный корень, который не выражается через простые радикалы и не может быть найден стандартными школьными методами. Учитывая контекст остальных задач, можно предположить наличие опечатки в условии. Исходя из заданного текста, в этом случае действительных решений в простых числах нет.
Таким образом, система имеет одно решение, полученное в первом случае.
Ответ: $(1, 3)$.

3.31. 1)

$\begin{cases} x^3 - x = z^3 - z, \\ 2x^2 - 5xz + 2z^2 = 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^3 - 7x = z^3 - 7z, \\ x^2 - z^2 = 3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^3 - x = z^3 - z, \\ 2x^2 - 5xz + 3z^2 = 0; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^2 - 2zx = 5z^2 - 2, \\ 3x^2 + 2xz + z^2 = 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 - x = z^3 - z, \\ 2x^2 - 5xz + 2z^2 = 0; \end{cases} $

Сначала рассмотрим второе уравнение: $2x^2 - 5xz + 2z^2 = 0$.
Это однородное уравнение второй степени. Если $z = 0$, то $2x^2 = 0$, следовательно $x = 0$. Пара $(0, 0)$ является решением второго уравнения. Подставим в первое: $0^3 - 0 = 0^3 - 0$, что верно. Значит, $(0, 0)$ — одно из решений системы.

Если $z \neq 0$, разделим второе уравнение на $z^2$:
$2\left(\frac{x}{z}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{z}\right) + 2 = 0$.
Пусть $t = \frac{x}{z}$. Получаем квадратное уравнение $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5+3}{4} = 2$.
Таким образом, мы имеем два случая: $\frac{x}{z} = \frac{1}{2}$ (то есть $z = 2x$) или $\frac{x}{z} = 2$ (то есть $x = 2z$).

Теперь преобразуем первое уравнение: $x^3 - z^3 - x + z = 0$
$(x-z)(x^2 + xz + z^2) - (x-z) = 0$
$(x-z)(x^2 + xz + z^2 - 1) = 0$
Отсюда следует, что либо $x-z=0$ (то есть $x=z$), либо $x^2 + xz + z^2 - 1 = 0$.

Теперь рассмотрим комбинации полученных условий.
Случай 1: $x=z$. Подставив это в $x=2z$ или $z=2x$, получаем $z=2z$ или $z=2z$, что дает $z=0$, и следовательно $x=0$. Это уже найденное решение $(0,0)$.

Случай 2: $x=2z$ и $x^2+xz+z^2=1$.
Подставляем $x=2z$ во второе условие:
$(2z)^2 + (2z)z + z^2 = 1$
$4z^2 + 2z^2 + z^2 = 1$
$7z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow z = \pm\frac{1}{\sqrt{7}}$.
Если $z = \frac{1}{\sqrt{7}}$, то $x = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
Если $z = -\frac{1}{\sqrt{7}}$, то $x = -\frac{2}{\sqrt{7}}$.
Получаем решения: $(\frac{2}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{7}})$ и $(-\frac{2}{\sqrt{7}}, -\frac{1}{\sqrt{7}})$.

Случай 3: $z=2x$ и $x^2+xz+z^2=1$.
Подставляем $z=2x$ во второе условие:
$x^2 + x(2x) + (2x)^2 = 1$
$x^2 + 2x^2 + 4x^2 = 1$
$7x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{7}}$.
Если $x = \frac{1}{\sqrt{7}}$, то $z = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
Если $x = -\frac{1}{\sqrt{7}}$, то $z = -\frac{2}{\sqrt{7}}$.
Получаем решения: $(\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{2}{\sqrt{7}})$ и $(-\frac{1}{\sqrt{7}}, -\frac{2}{\sqrt{7}})$.

Ответ: $(0,0)$, $(\frac{2\sqrt{7}}{7}, \frac{\sqrt{7}}{7})$, $(-\frac{2\sqrt{7}}{7}, -\frac{\sqrt{7}}{7})$, $(\frac{\sqrt{7}}{7}, \frac{2\sqrt{7}}{7})$, $(-\frac{\sqrt{7}}{7}, -\frac{2\sqrt{7}}{7})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 - 7x = z^3 - 7z, \\ x^2 - z^2 = 3; \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение: $x^3 - z^3 - 7x + 7z = 0$
$(x-z)(x^2 + xz + z^2) - 7(x-z) = 0$
$(x-z)(x^2 + xz + z^2 - 7) = 0$
Отсюда либо $x-z=0$ (то есть $x=z$), либо $x^2+xz+z^2-7=0$.

Случай 1: $x=z$.
Подставим это во второе уравнение системы: $x^2 - x^2 = 3$, что приводит к $0=3$. Это неверно, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x^2+xz+z^2=7$.
Теперь мы имеем новую систему: $ \begin{cases} x^2 + xz + z^2 = 7, \\ x^2 - z^2 = 3; \end{cases} $ Из второго уравнения выразим $x^2 = z^2+3$. Подставим в первое: $(z^2+3) + xz + z^2 = 7$
$2z^2 + xz - 4 = 0 \Rightarrow xz = 4-2z^2$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2z^2 = (4-2z^2)^2$.
Подставим $x^2=z^2+3$:
$(z^2+3)z^2 = 16-16z^2+4z^4$
$z^4+3z^2 = 16-16z^2+4z^4$
$3z^4 - 19z^2 + 16 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно $z$. Пусть $u=z^2$: $3u^2 - 19u + 16 = 0$.
Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 361 - 192 = 169 = 13^2$.
$u_1 = \frac{19+13}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$ и $u_2 = \frac{19-13}{6} = 1$.
Значит, $z^2 = \frac{16}{3}$ или $z^2 = 1$.

Если $z^2=1$, то $z=\pm 1$. Тогда $x^2=z^2+3=4$, откуда $x=\pm 2$. Из уравнения $xz=4-2z^2=4-2(1)=2$ следует, что $x$ и $z$ должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, решениями являются $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Если $z^2=\frac{16}{3}$, то $z=\pm\frac{4}{\sqrt{3}}$. Тогда $x^2=z^2+3=\frac{16}{3}+3=\frac{25}{3}$, откуда $x=\pm\frac{5}{\sqrt{3}}$. Из уравнения $xz=4-2z^2=4-2(\frac{16}{3})=4-\frac{32}{3}=-\frac{20}{3}$ следует, что $x$ и $z$ должны иметь разные знаки. Следовательно, решениями являются $(\frac{5}{\sqrt{3}}, -\frac{4}{\sqrt{3}})$ и $(-\frac{5}{\sqrt{3}}, \frac{4}{\sqrt{3}})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\frac{5\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3})$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 - x = z^3 - z, \\ 2x^2 - 5xz + 3z^2 = 0; \end{cases} $

Первое уравнение, как и в задаче 1, преобразуется к виду $(x-z)(x^2+xz+z^2-1)=0$. Это означает, что либо $x=z$, либо $x^2+xz+z^2=1$.

Второе уравнение $2x^2 - 5xz + 3z^2 = 0$ является однородным. Если $z \neq 0$, разделим на $z^2$: $2(\frac{x}{z})^2 - 5(\frac{x}{z}) + 3 = 0$. Пусть $t=\frac{x}{z}$: $2t^2-5t+3=0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни: $t_1 = \frac{5-1}{4}=1$ и $t_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$. Следовательно, $\frac{x}{z}=1$ (то есть $x=z$) или $\frac{x}{z}=\frac{3}{2}$ (то есть $2x=3z$).

Случай 1: $x=z$.
Это условие удовлетворяет и первому, и второму уравнению. Подставим $x=z$ в систему:
$z^3-z = z^3-z$ (верно для любого $z$)
$2z^2-5z(z)+3z^2 = 2z^2-5z^2+3z^2 = 0$ (верно для любого $z$)
Таким образом, любая пара $(k, k)$, где $k \in \mathbb{R}$, является решением системы.

Случай 2: $2x=3z$ и $x^2+xz+z^2=1$.
Из $2x=3z$ имеем $x=\frac{3}{2}z$. Подставим в другое уравнение: $(\frac{3}{2}z)^2 + (\frac{3}{2}z)z + z^2 = 1$
$\frac{9}{4}z^2 + \frac{3}{2}z^2 + z^2 = 1$
$9z^2 + 6z^2 + 4z^2 = 4$
$19z^2 = 4 \Rightarrow z^2 = \frac{4}{19} \Rightarrow z = \pm\frac{2}{\sqrt{19}}$.
Если $z=\frac{2}{\sqrt{19}}$, то $x=\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{19}}$.
Если $z=-\frac{2}{\sqrt{19}}$, то $x=-\frac{3}{\sqrt{19}}$.
Получаем решения: $(\frac{3}{\sqrt{19}}, \frac{2}{\sqrt{19}})$ и $(-\frac{3}{\sqrt{19}}, -\frac{2}{\sqrt{19}})$.

Ответ: $(k, k)$ для любого $k \in \mathbb{R}$; $(\frac{3\sqrt{19}}{19}, \frac{2\sqrt{19}}{19})$; $(-\frac{3\sqrt{19}}{19}, -\frac{2\sqrt{19}}{19})$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2zx = 5z^2 - 2, \\ 3x^2 + 2xz + z^2 = 2. \end{cases} $

Это система двух неоднородных квадратных уравнений. Чтобы избавиться от свободных членов, сложим оба уравнения: $(x^2 - 2zx - 5z^2) + (3x^2 + 2xz + z^2) = -2 + 2$
$4x^2 - 4z^2 = 0$
$x^2 = z^2$
Отсюда следует, что либо $x=z$, либо $x=-z$.

Случай 1: $x=z$.
Подставим это во второе уравнение исходной системы: $3(z)^2 + 2(z)z + z^2 = 2$
$3z^2 + 2z^2 + z^2 = 2$
$6z^2 = 2 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow z = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Поскольку $x=z$, получаем два решения: $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ и $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$.

Случай 2: $x=-z$.
Подставим это во второе уравнение исходной системы: $3(-z)^2 + 2(-z)z + z^2 = 2$
$3z^2 - 2z^2 + z^2 = 2$
$2z^2 = 2 \Rightarrow z^2 = 1 \Rightarrow z = \pm 1$.
Если $z=1$, то $x=-1$.
Если $z=-1$, то $x=1$.
Получаем еще два решения: $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.

Проверим все решения, подставив их в первое уравнение $x^2 - 2zx = 5z^2 - 2$.
Для $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$: $\frac{1}{3} - 2(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$ и $5(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{5-6}{3} = -\frac{1}{3}$. Верно.
Для $(-1, 1)$: $(-1)^2 - 2(1)(-1) = 1+2=3$ и $5(1)^2 - 2 = 3$. Верно.
Остальные решения также верны из-за симметрии.

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$.

3.32. Решите способом введения новой переменной систему уравнений:

1) $\begin{cases} (u + v)^2 - 5(u + v) + 4 = 0, \\ (u - v)^2 - (u - v) - 2 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (u + v)^2 - 4(u + v) - 45 = 0, \\ (u - v)^2 - 2(u - v) - 3 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} u + uv + v = 5, \\ u^2 + uv + v^2 = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} u - uv + v = 1, \\ u^2 + 2u + 2v + v^2 = 11. \end{cases}$

1) Исходная система:

$ \begin{cases} (u+v)^2 - 5(u+v) + 4 = 0 \\ (u-v)^2 - (u-v) - 2 = 0 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = u+v$ и $b = u-v$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} a^2 - 5a + 4 = 0 \\ b^2 - b - 2 = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение отдельно. Первое уравнение $a^2 - 5a + 4 = 0$ является квадратным. По теореме Виета, его корни $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$.

Второе уравнение $b^2 - b - 2 = 0$ также является квадратным. По теореме Виета, его корни $b_1 = 2$ и $b_2 = -1$.

Теперь рассмотрим все возможные комбинации значений $a$ и $b$ и выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 1, b = 2$.
$ \begin{cases} u+v = 1 \\ u-v = 2 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 3$, откуда $u = 1.5$. Подставив $u$ в первое уравнение, получим $1.5 + v = 1$, откуда $v = -0.5$. Решение: $(1.5; -0.5)$.

Случай 2: $a = 1, b = -1$.
$ \begin{cases} u+v = 1 \\ u-v = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 0$, откуда $u = 0$. Подставив $u$ в первое уравнение, получим $0 + v = 1$, откуда $v = 1$. Решение: $(0; 1)$.

Случай 3: $a = 4, b = 2$.
$ \begin{cases} u+v = 4 \\ u-v = 2 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 6$, откуда $u = 3$. Подставив $u$ в первое уравнение, получим $3 + v = 4$, откуда $v = 1$. Решение: $(3; 1)$.

Случай 4: $a = 4, b = -1$.
$ \begin{cases} u+v = 4 \\ u-v = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 3$, откуда $u = 1.5$. Подставив $u$ в первое уравнение, получим $1.5 + v = 4$, откуда $v = 2.5$. Решение: $(1.5; 2.5)$.

Ответ: $(1.5; -0.5)$, $(0; 1)$, $(3; 1)$, $(1.5; 2.5)$.

2) Исходная система:

$ \begin{cases} (u+v)^2 - 4(u+v) - 45 = 0 \\ (u-v)^2 - 2(u-v) - 3 = 0 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = u+v$ и $b = u-v$. Система примет вид:

$ \begin{cases} a^2 - 4a - 45 = 0 \\ b^2 - 2b - 3 = 0 \end{cases} $

Решим первое квадратное уравнение $a^2 - 4a - 45 = 0$. По теореме Виета, его корни $a_1 = 9$ и $a_2 = -5$.

Решим второе квадратное уравнение $b^2 - 2b - 3 = 0$. По теореме Виета, его корни $b_1 = 3$ и $b_2 = -1$.

Рассмотрим все возможные комбинации $a$ и $b$ и выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 9, b = 3$.
$ \begin{cases} u+v = 9 \\ u-v = 3 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 12$, откуда $u = 6$. Подставив $u$, получим $6 + v = 9$, откуда $v = 3$. Решение: $(6; 3)$.

Случай 2: $a = 9, b = -1$.
$ \begin{cases} u+v = 9 \\ u-v = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 8$, откуда $u = 4$. Подставив $u$, получим $4 + v = 9$, откуда $v = 5$. Решение: $(4; 5)$.

Случай 3: $a = -5, b = 3$.
$ \begin{cases} u+v = -5 \\ u-v = 3 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = -2$, откуда $u = -1$. Подставив $u$, получим $-1 + v = -5$, откуда $v = -4$. Решение: $(-1; -4)$.

Случай 4: $a = -5, b = -1$.
$ \begin{cases} u+v = -5 \\ u-v = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = -6$, откуда $u = -3$. Подставив $u$, получим $-3 + v = -5$, откуда $v = -2$. Решение: $(-3; -2)$.

Ответ: $(6; 3)$, $(4; 5)$, $(-1; -4)$, $(-3; -2)$.

3) Исходная система:

$ \begin{cases} u + uv + v = 5 \\ u^2 + uv + v^2 = 7 \end{cases} $

Введем новые переменные, используя симметричные многочлены. Пусть $a = u+v$ и $b = uv$.

Перепишем первое уравнение через новые переменные: $(u+v) + uv = 5$, что дает $a + b = 5$.

Преобразуем второе уравнение. Мы знаем, что $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = a^2 - 2b$. Тогда второе уравнение $u^2+v^2+uv=7$ примет вид $(a^2-2b)+b=7$, то есть $a^2 - b = 7$.

Получили систему уравнений для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 - b = 7 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b = 5 - a$ и подставим во второе: $a^2 - (5 - a) = 7$, что приводит к квадратному уравнению $a^2 + a - 12 = 0$.

Корни этого уравнения: $a_1 = 3$ и $a_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $b$:
Если $a_1 = 3$, то $b_1 = 5 - 3 = 2$.
Если $a_2 = -4$, то $b_2 = 5 - (-4) = 9$.

Теперь вернемся к исходным переменным $u$ и $v$.

Случай 1: $a = 3, b = 2$.
$ \begin{cases} u+v = 3 \\ uv = 2 \end{cases} $
По теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1, t_2 = 2$. Таким образом, получаем две пары решений: $(1; 2)$ и $(2; 1)$.

Случай 2: $a = -4, b = 9$.
$ \begin{cases} u+v = -4 \\ uv = 9 \end{cases} $
Составим квадратное уравнение $t^2 - (-4)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 9 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

4) Исходная система:

$ \begin{cases} u - uv + v = 1 \\ u^2 + 2u + 2v + v^2 = 11 \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, введем переменные $a = u+v$ и $b = uv$.

Первое уравнение: $(u+v) - uv = 1$, что дает $a - b = 1$.

Второе уравнение: $u^2+v^2 + 2(u+v) = 11$. Заменяя $u^2+v^2$ на $a^2-2b$, получаем $(a^2-2b) + 2a = 11$.

Получили систему для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a - b = 1 \\ a^2 + 2a - 2b = 11 \end{cases} $

Из первого уравнения $b = a - 1$. Подставим во второе: $a^2 + 2a - 2(a - 1) = 11$.
$a^2 + 2a - 2a + 2 = 11$
$a^2 = 9$, откуда $a_1 = 3, a_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $b$:
Если $a_1 = 3$, то $b_1 = 3 - 1 = 2$.
Если $a_2 = -3$, то $b_2 = -3 - 1 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 3, b = 2$.
$ \begin{cases} u+v = 3 \\ uv = 2 \end{cases} $
$u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 2$. Решения: $(1; 2)$ и $(2; 1)$.

Случай 2: $a = -3, b = -4$.
$ \begin{cases} u+v = -3 \\ uv = -4 \end{cases} $
$u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - (-3)t - 4 = 0$, то есть $t^2 + 3t - 4 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = -4$. Решения: $(1; -4)$ и $(-4; 1)$.

Ответ: $(1; 2), (2; 1), (1; -4), (-4; 1)$.

Решите системы уравнений (3.33—3.37):

3.33. 1) $\begin{cases} (z-1) \cdot (y-1) = 1, \\ zy \cdot (z+y) = 16; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (z-2) \cdot (y-2) = 4, \\ zy + z^2 + y^2 = 3. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}(z-1)(y-1) = 1 \\zy(z+y) = 16\end{cases}$

Раскроем скобки в первом уравнении:

$zy - z - y + 1 = 1$

Вынесем общий множитель и упростим:

$zy - (z+y) = 0$

Отсюда получаем важное соотношение: $zy = z+y$.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы, заменив $(z+y)$ на $zy$:

$zy \cdot zy = 16$

$(zy)^2 = 16$

Из этого уравнения следует, что $zy$ может принимать два значения:

$zy = 4$ или $zy = -4$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $zy = 4$.

Поскольку $z+y = zy$, то и $z+y = 4$. Таким образом, мы имеем систему:

$\begin{cases}z+y = 4 \\zy = 4\end{cases}$

По обратной теореме Виета, $z$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (z+y)t + zy = 0$. Подставив наши значения, получим:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это полный квадрат: $(t-2)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень (кратности 2): $t=2$. Значит, $z=2$ и $y=2$.

Случай 2: $zy = -4$.

Аналогично, $z+y = -4$. Получаем систему:

$\begin{cases}z+y = -4 \\zy = -4\end{cases}$

Составим квадратное уравнение: $t^2 - (-4)t + (-4) = 0$.

$t^2 + 4t - 4 = 0$

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$.

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.

Это дает нам две пары решений, так как система симметрична относительно $z$ и $y$:

$z = -2 + 2\sqrt{2}, y = -2 - 2\sqrt{2}$ и $z = -2 - 2\sqrt{2}, y = -2 + 2\sqrt{2}$.

Объединяя все найденные решения, получаем ответ.

Ответ: $(2, 2)$, $(-2 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2})$, $(-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}(z-2)(y-2) = 4 \\zy + z^2 + y^2 = 3\end{cases}$

Раскроем скобки в первом уравнении:

$zy - 2z - 2y + 4 = 4$

$zy - 2(z+y) = 0$

Отсюда $zy = 2(z+y)$.

Теперь преобразуем второе уравнение, используя формулу квадрата суммы: $z^2 + y^2 = (z+y)^2 - 2zy$.

$zy + ((z+y)^2 - 2zy) = 3$

$(z+y)^2 - zy = 3$

Сделаем замену переменных. Пусть $S = z+y$ и $P = zy$. Система примет вид:

$\begin{cases}P = 2S \\S^2 - P = 3\end{cases}$

Подставим выражение для $P$ из первого уравнения во второе:

$S^2 - 2S = 3$

$S^2 - 2S - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $S$. По теореме Виета, корни $S_1=3$ и $S_2=-1$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $S = 3$.

Тогда $z+y = 3$. Из $P=2S$ следует $P = zy = 2 \cdot 3 = 6$.

Ищем $z$ и $y$ из системы $z+y=3, zy=6$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $S = -1$.

Тогда $z+y = -1$. Из $P=2S$ следует $P = zy = 2 \cdot (-1) = -2$.

Ищем $z$ и $y$ из системы $z+y=-1, zy=-2$. Они являются корнями уравнения $t^2 - (-1)t - 2 = 0$, то есть $t^2 + t - 2 = 0$.

Это уравнение можно разложить на множители: $(t+2)(t-1) = 0$.

Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Это дает две пары решений для $(z,y)$: $(1, -2)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $(1, -2)$, $(-2, 1)$.

3.34. 1)

$\begin{cases} \frac{x + y}{x - y} + xy = 5, \\ \frac{6(x - y)}{x + y} + xy = 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{1}{xy} + \frac{1}{x + y} = 0.5, \\ xy^2 + x^2y = -2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{2}{z} + \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{z}{2} + \frac{3}{y} = 1.5; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} zy - \frac{y}{z} = 0.5, \\ zy - \frac{z}{y} = 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + xy = 5 \\ \frac{6(x-y)}{x+y} + xy = 4 \end{cases}$

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{x+y}{x-y}$ и $b = xy$. Тогда $\frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{a}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = 5 \\ \frac{6}{a} + b = 4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 5 - a$. Подставим во второе уравнение:

$\frac{6}{a} + 5 - a = 4$

$\frac{6}{a} - a + 1 = 0$

Умножим обе части на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что выполняется, так как $x+y \neq 0$ в исходной системе):

$6 - a^2 + a = 0$

$a^2 - a - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $a_1 \cdot a_2 = -6$, $a_1 + a_2 = 1$. Корни: $a_1 = 3$ и $a_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = 3$.

Тогда $b = 5 - a = 5 - 3 = 2$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения: $x+y = 3(x-y) \implies x+y = 3x - 3y \implies 4y = 2x \implies x = 2y$.

Подставим во второе уравнение: $(2y)y = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y_1 = 1$, $y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Случай 2: $a = -2$.

Тогда $b = 5 - a = 5 - (-2) = 7$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = -2 \\ xy = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения: $x+y = -2(x-y) \implies x+y = -2x + 2y \implies 3x = y$.

Подставим во второе уравнение: $x(3x) = 7 \implies 3x^2 = 7 \implies x^2 = \frac{7}{3}$. Отсюда $x_3 = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$, $x_4 = -\sqrt{\frac{7}{3}} = -\frac{\sqrt{21}}{3}$.

Если $x_3 = \frac{\sqrt{21}}{3}$, то $y_3 = 3 \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = \sqrt{21}$.

Если $x_4 = -\frac{\sqrt{21}}{3}$, то $y_4 = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{3}) = -\sqrt{21}$.

Получили еще две пары решений: $(\frac{\sqrt{21}}{3}, \sqrt{21})$ и $(-\frac{\sqrt{21}}{3}, -\sqrt{21})$.

Ответ: $(2, 1); (-2, -1); (\frac{\sqrt{21}}{3}, \sqrt{21}); (-\frac{\sqrt{21}}{3}, -\sqrt{21})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{xy} + \frac{1}{x+y} = 0,5 \\ xy^2 + x^2y = -2 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, вынеся общий множитель $xy$: $xy(y+x) = -2$.

Введем новые переменные. Пусть $a = xy$ и $b = x+y$. Система примет вид:

$\begin{cases} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 0,5 \\ ab = -2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = -\frac{2}{b}$ (при $b \neq 0$). Подставим в первое уравнение:

$\frac{1}{-2/b} + \frac{1}{b} = 0,5$

$-\frac{b}{2} + \frac{1}{b} = 0,5$

Умножим обе части на $2b$ (при $b \neq 0$, что выполняется, так как $x+y \neq 0$ в исходной системе):

$-b^2 + 2 = b$

$b^2 + b - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $b_1 = 1$ и $b_2 = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b = 1$.

Тогда $a = -\frac{2}{1} = -2$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} x+y = 1 \\ xy = -2 \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. Следовательно, решениями являются пары $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2: $b = -2$.

Тогда $a = -\frac{2}{-2} = 1$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} x+y = -2 \\ xy = 1 \end{cases}$

Составим квадратное уравнение: $t^2 - (-2)t + 1 = 0 \implies t^2 + 2t + 1 = 0 \implies (t+1)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень $t = -1$. Следовательно, $x = y = -1$.

Получили еще одно решение: $(-1, -1)$.

Ответ: $(2, -1); (-1, 2); (-1, -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{2}{z} + \frac{y}{3} = 3 \\ \frac{z}{2} + \frac{3}{y} = 1,5 \end{cases}$

Введем новые переменные. Пусть $a = \frac{y}{3}$ и $b = \frac{z}{2}$. Тогда $\frac{2}{z} = \frac{1}{b}$ и $\frac{3}{y} = \frac{1}{a}$. Система примет вид:

$\begin{cases} \frac{1}{b} + a = 3 \\ b + \frac{1}{a} = 1,5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $\frac{1}{b} = 3-a$, откуда $b = \frac{1}{3-a}$. Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{3-a} + \frac{1}{a} = 1,5$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{a + (3-a)}{a(3-a)} = 1,5 \implies \frac{3}{3a-a^2} = 1,5$.

$3 = 1,5(3a-a^2) \implies 3 = 4,5a - 1,5a^2$.

Умножим на 2: $6 = 9a - 3a^2 \implies 3a^2 - 9a + 6 = 0$.

Разделим на 3: $a^2 - 3a + 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a=1$.

Тогда $b = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{y}{3} = 1 \implies y = 3$.

$\frac{z}{2} = \frac{1}{2} \implies z = 1$.

Получили решение $(y, z) = (3, 1)$.

Случай 2: $a=2$.

Тогда $b = \frac{1}{3-2} = 1$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\frac{y}{3} = 2 \implies y = 6$.

$\frac{z}{2} = 1 \implies z = 2$.

Получили решение $(y, z) = (6, 2)$.

Ответ: $(y, z) \in \{(3, 1); (6, 2)\}$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} zy - \frac{y}{z} = 0,5 \\ zy - \frac{z}{y} = 2 \end{cases}$

Введем новые переменные. Пусть $a = zy$ и $b = \frac{y}{z}$. Тогда $\frac{z}{y} = \frac{1}{b}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a - b = 0,5 \\ a - \frac{1}{b} = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения $a = b + 0,5$. Подставим во второе уравнение:

$(b + 0,5) - \frac{1}{b} = 2$

$b - 1,5 - \frac{1}{b} = 0$

Умножим на $b$ (при $b \neq 0$, что означает $y \neq 0$): $b^2 - 1,5b - 1 = 0$.

Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $2b^2 - 3b - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$b = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

Корни: $b_1 = \frac{3+5}{4} = 2$ и $b_2 = \frac{3-5}{4} = -0,5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b=2$.

Тогда $a = 2 + 0,5 = 2,5$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} zy = 2,5 \\ \frac{y}{z} = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = 2z$. Подставим в первое:

$z(2z) = 2,5 \implies 2z^2 = \frac{5}{2} \implies z^2 = \frac{5}{4}$.

Отсюда $z_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $z_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Если $z_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, то $y_1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

Если $z_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$, то $y_2 = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{2}) = -\sqrt{5}$.

Получили две пары решений: $(y, z) = (\sqrt{5}, \frac{\sqrt{5}}{2})$ и $(y, z) = (-\sqrt{5}, -\frac{\sqrt{5}}{2})$.

Случай 2: $b=-0,5$.

Тогда $a = -0,5 + 0,5 = 0$. Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases} zy = 0 \\ \frac{y}{z} = -0,5 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $z=0$ или $y=0$. Однако, из второго уравнения следует, что $z \neq 0$ и $y \neq 0$, так как они находятся в знаменателях. Таким образом, в этом случае решений нет.

Ответ: $(y, z) \in \{(\sqrt{5}, \frac{\sqrt{5}}{2}); (-\sqrt{5}, -\frac{\sqrt{5}}{2})\}$.

3.35. 1)

$\begin{cases} \frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{xy + y^2} = \frac{13}{6}, \\ \frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{xy + y^2} = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14}, \\ \frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{3}{2x - y} + \frac{2}{x + y} = \frac{4}{x}, \\ x^2 + 2y^2 = 72; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{y^2}{x^2 - xy} + \frac{x^2}{y^2 - xy} = 1, \\ x^3 - y^3 = 2. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{xy + y^2} = \frac{13}{6} \\\frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{xy + y^2} = 1\end{cases}$$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 + xy = x(x+y)$ и $xy + y^2 = y(x+y)$. Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x+y \neq 0$.

Система примет вид:

$$\begin{cases}\frac{5}{x(x+y)} + \frac{4}{y(x+y)} = \frac{13}{6} \\\frac{8}{x(x+y)} - \frac{1}{y(x+y)} = 1\end{cases}$$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x(x+y)}$ и $v = \frac{1}{y(x+y)}$. Система преобразуется в линейную систему относительно $u$ и $v$:

$$\begin{cases}5u + 4v = \frac{13}{6} \\8u - v = 1\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 8u - 1$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$5u + 4(8u - 1) = \frac{13}{6}$

$5u + 32u - 4 = \frac{13}{6}$

$37u = 4 + \frac{13}{6} = \frac{24+13}{6} = \frac{37}{6}$

$u = \frac{1}{6}$

Теперь найдем $v$:

$v = 8u - 1 = 8(\frac{1}{6}) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

Вернемся к исходным переменным:

$u = \frac{1}{x(x+y)} = \frac{1}{6} \implies x(x+y) = 6$

$v = \frac{1}{y(x+y)} = \frac{1}{3} \implies y(x+y) = 3$

Получили новую систему:

$$\begin{cases}x(x+y) = 6 \\y(x+y) = 3\end{cases}$$

Поскольку $y(x+y) = 3 \neq 0$, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$\frac{x(x+y)}{y(x+y)} = \frac{6}{3} \implies \frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$

Подставим $x=2y$ во второе уравнение системы:

$y(2y+y) = 3$

$y(3y) = 3$

$3y^2 = 3 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$

Если $y=1$, то $x = 2(1) = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $y=-1$, то $x = 2(-1) = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14} \\\frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}\end{cases}$$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x^2 + 3xy}$ и $v = \frac{1}{y^2 - xy}$.

Система примет вид:

$$\begin{cases}2u + 3v = \frac{25}{14} \\3u - 2v = -\frac{4}{7}\end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы исключить $v$:

$$\begin{cases}4u + 6v = \frac{50}{14} = \frac{25}{7} \\9u - 6v = -\frac{12}{7}\end{cases}$$

Сложим уравнения:

$13u = \frac{25}{7} - \frac{12}{7} = \frac{13}{7} \implies u = \frac{1}{7}$

Подставим $u = \frac{1}{7}$ в уравнение $3u - 2v = -\frac{4}{7}$:

$3(\frac{1}{7}) - 2v = -\frac{4}{7}$

$\frac{3}{7} - 2v = -\frac{4}{7}$

$-2v = -\frac{4}{7} - \frac{3}{7} = -1 \implies v = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$u = \frac{1}{x^2 + 3xy} = \frac{1}{7} \implies x^2 + 3xy = 7$

$v = \frac{1}{y^2 - xy} = \frac{1}{2} \implies y^2 - xy = 2$

Получили систему:

$$\begin{cases}x^2 + 3xy = 7 \\y^2 - xy = 2\end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 7, чтобы избавиться от свободных членов:

$2(x^2 + 3xy) = 14$

$7(y^2 - xy) = 14$

Приравняем левые части: $2(x^2 + 3xy) = 7(y^2 - xy)$

$2x^2 + 6xy = 7y^2 - 7xy$

$2x^2 + 13xy - 7y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (случай $y=0$ не является решением, т.к. из второго уравнения $y^2-xy=2$ следовало бы $0=2$).

$2(\frac{x}{y})^2 + 13(\frac{x}{y}) - 7 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Решим квадратное уравнение $2t^2 + 13t - 7 = 0$:

$D = 13^2 - 4(2)(-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$

$t = \frac{-13 \pm 15}{4}$

$t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{-28}{4} = -7$.

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$. Подставим в $y^2 - xy = 2$:

$(2x)^2 - x(2x) = 2 \implies 4x^2 - 2x^2 = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Если $x=1$, то $y=2$. Решение $(1, 2)$.

Если $x=-1$, то $y=-2$. Решение $(-1, -2)$.

2) $\frac{x}{y} = -7 \implies x = -7y$. Подставим в $y^2 - xy = 2$:

$y^2 - (-7y)y = 2 \implies y^2 + 7y^2 = 2 \implies 8y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{1}{4} \implies y = \pm \frac{1}{2}$.

Если $y=\frac{1}{2}$, то $x = -7(\frac{1}{2}) = -\frac{7}{2}$. Решение $(-\frac{7}{2}, \frac{1}{2})$.

Если $y=-\frac{1}{2}$, то $x = -7(-\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$. Решение $(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$.

Ответ: $(1, 2), (-1, -2), (-\frac{7}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$.

3)

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{3}{2x - y} + \frac{2}{x + y} = \frac{4}{x} \\x^2 + 2y^2 = 72\end{cases}$$

ОДЗ: $x \neq 0, 2x - y \neq 0, x + y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя все дроби к общему знаменателю:

$\frac{3}{2x-y} + \frac{2}{x+y} - \frac{4}{x} = 0$

$\frac{3x(x+y) + 2x(2x-y) - 4(2x-y)(x+y)}{x(2x-y)(x+y)} = 0$

Числитель должен быть равен нулю:

$3x^2 + 3xy + 4x^2 - 2xy - 4(2x^2 + 2xy - xy - y^2) = 0$

$7x^2 + xy - 4(2x^2 + xy - y^2) = 0$

$7x^2 + xy - 8x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$

$-x^2 - 3xy + 4y^2 = 0$

$x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим на $y^2$ (случай $y=0$ приводит к $x=0$, что противоречит ОДЗ).

$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) - 4 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Уравнение $t^2 + 3t - 4 = 0$ по теореме Виета имеет корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$. Подставим во второе уравнение системы $x^2 + 2y^2 = 72$:

$y^2 + 2y^2 = 72 \implies 3y^2 = 72 \implies y^2 = 24 \implies y = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.

Если $y=2\sqrt{6}$, то $x=2\sqrt{6}$. Решение $(2\sqrt{6}, 2\sqrt{6})$.

Если $y=-2\sqrt{6}$, то $x=-2\sqrt{6}$. Решение $(-2\sqrt{6}, -2\sqrt{6})$.

2) $\frac{x}{y} = -4 \implies x = -4y$. Подставим в $x^2 + 2y^2 = 72$:

$(-4y)^2 + 2y^2 = 72 \implies 16y^2 + 2y^2 = 72 \implies 18y^2 = 72 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.

Если $y=2$, то $x = -4(2) = -8$. Решение $(-8, 2)$.

Если $y=-2$, то $x = -4(-2) = 8$. Решение $(8, -2)$.

Все четыре пары чисел удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2\sqrt{6}, 2\sqrt{6}), (-2\sqrt{6}, -2\sqrt{6}), (-8, 2), (8, -2)$.

4)

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{y^2}{x^2 - xy} + \frac{x^2}{y^2 - xy} = 1 \\x^3 - y^3 = 2\end{cases}$$

ОДЗ: $x^2 - xy = x(x-y) \neq 0$ и $y^2 - xy = y(y-x) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y$.

Преобразуем первое уравнение:

$\frac{y^2}{x(x - y)} + \frac{x^2}{-y(x - y)} = 1$

$\frac{y^2}{x(x - y)} - \frac{x^2}{y(x - y)} = 1$

Приведем к общему знаменателю $xy(x-y)$:

$\frac{y^3 - x^3}{xy(x - y)} = 1$

$\frac{-(x^3 - y^3)}{xy(x-y)} = 1$

Из второго уравнения системы известно, что $x^3 - y^3 = 2$. Подставим это значение:

$\frac{-2}{xy(x-y)} = 1$

$xy(x-y) = -2$

$x^2y - xy^2 = -2$

Теперь мы имеем новую, более простую систему:

$$\begin{cases}x^3 - y^3 = 2 \\x^2y - xy^2 = -2\end{cases}$$

Сложим два уравнения этой системы:

$(x^3 - y^3) + (x^2y - xy^2) = 2 + (-2)$

$x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(x+y) - y^2(x+y) = 0$

$(x^2 - y^2)(x+y) = 0$

$(x-y)(x+y)(x+y) = 0$

$(x-y)(x+y)^2 = 0$

Отсюда следует, что либо $x-y=0$, либо $x+y=0$.

1) Если $x-y=0$, то $x=y$. Это противоречит ОДЗ ($x \neq y$). Также, если подставить $x=y$ во второе исходное уравнение, получим $x^3 - x^3 = 0$, что противоречит условию $x^3 - y^3 = 2$.

2) Если $x+y=0$, то $x = -y$. Подставим это в уравнение $x^3 - y^3 = 2$:

$(-y)^3 - y^3 = 2$

$-y^3 - y^3 = 2$

$-2y^3 = 2$

$y^3 = -1$

$y = -1$

Тогда $x = -y = -(-1) = 1$.

Получили решение $(1, -1)$. Проверим его, подставив в ОДЗ и исходные уравнения. $x=1, y=-1$. $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y$. Условия ОДЗ выполнены.

Проверка в исходных уравнениях:

$\frac{(-1)^2}{1^2 - 1(-1)} + \frac{1^2}{(-1)^2 - 1(-1)} = \frac{1}{1+1} + \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Верно.

$1^3 - (-1)^3 = 1 - (-1) = 2$. Верно.

Ответ: $(1, -1)$.

22.16. Известно, что $ \text{tg}\alpha = 3 $. Найдите:

1) $ \frac{4\cos\alpha - 2\sin\alpha}{3\sin\alpha + \cos\alpha} $;

2) $ \frac{5\cos\alpha + 3\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha} $;

3) $ \frac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{3\sin^3\alpha + \cos^3\alpha} $;

4) $ \frac{\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha} $.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{4\cos\alpha - 2\sin\alpha}{3\sin\alpha + \cos\alpha}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это действие допустимо, так как из условия $\tg\alpha=3$ следует, что $\cos\alpha \neq 0$.
$\frac{4\cos\alpha - 2\sin\alpha}{3\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{4\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{4 - 2\tg\alpha}{3\tg\alpha + 1}$.
Подставим данное значение $\tg\alpha = 3$:
$\frac{4 - 2 \cdot 3}{3 \cdot 3 + 1} = \frac{4 - 6}{9 + 1} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$.

2) Для выражения $\frac{5\cos\alpha + 3\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}$ также разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$:
$\frac{5\cos\alpha + 3\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{2\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{5 + 3\tg\alpha}{3\tg\alpha - 2}$.
Подставим $\tg\alpha = 3$:
$\frac{5 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 - 2} = \frac{5 + 9}{9 - 2} = \frac{14}{7} = 2$.
Ответ: $2$.

3) В выражении $\frac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{3\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}$ разделим числитель и знаменатель на $\cos^3\alpha$:
$\frac{\frac{4\cos\alpha - 3\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{3\sin^3\alpha + \cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{4\frac{\cos\alpha}{\cos^3\alpha} - 3\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{3\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + \frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{4\frac{1}{\cos^2\alpha} - 3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{1}{\cos^2\alpha}}{3\tg^3\alpha + 1} = \frac{4\sec^2\alpha - 3\tg\alpha\sec^2\alpha}{3\tg^3\alpha + 1}$.
Используем тригонометрическое тождество $\sec^2\alpha = 1 + \tg^2\alpha$:
$\frac{(4 - 3\tg\alpha)(1+\tg^2\alpha)}{3\tg^3\alpha + 1}$.
Подставим $\tg\alpha = 3$:
$\frac{(4 - 3 \cdot 3)(1 + 3^2)}{3 \cdot 3^3 + 1} = \frac{(4 - 9)(1 + 9)}{3 \cdot 27 + 1} = \frac{-5 \cdot 10}{81 + 1} = \frac{-50}{82} = -\frac{25}{41}$.
Ответ: $-\frac{25}{41}$.

4) Для выражения $\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}$ разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\alpha$:
$\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 2(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2}{3(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2 + 2} = \frac{\tg\alpha - 2\tg^2\alpha}{3\tg^2\alpha + 2}$.
Подставим $\tg\alpha = 3$:
$\frac{3 - 2 \cdot 3^2}{3 \cdot 3^2 + 2} = \frac{3 - 2 \cdot 9}{3 \cdot 9 + 2} = \frac{3 - 18}{27 + 2} = \frac{-15}{29}$.
Ответ: $-\frac{15}{29}$.

22.17. Известно, что $ \text{ctg} \alpha = 3 $. Найдите:

1) $ \frac{4\cos\alpha - \sin\alpha}{2\sin\alpha + \cos\alpha}; $

2) $ \frac{4\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}; $

3) $ \frac{5\cos\alpha - 9\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 5\cos^3\alpha}; $

4) $ \frac{\sin\alpha\cos\alpha - 3\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha}. $

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{4\cos\alpha - \sin\alpha}{2\sin\alpha + \cos\alpha}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin\alpha$. Это возможно, так как если $\sin\alpha = 0$, то $\text{ctg }\alpha$ не был бы определен, что противоречит условию $\text{ctg }\alpha = 3$.

$\frac{4\cos\alpha - \sin\alpha}{2\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{4\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{4\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}}{2\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{4\text{ctg }\alpha - 1}{2 + \text{ctg }\alpha}$

Подставим известное значение $\text{ctg }\alpha = 3$:

$\frac{4 \cdot 3 - 1}{2 + 3} = \frac{12 - 1}{5} = \frac{11}{5}$

Ответ: $\frac{11}{5}$

2) Аналогично первому пункту, разделим числитель и знаменатель выражения $\frac{4\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}$ на $\sin\alpha$:

$\frac{4\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha} = \frac{\frac{4\cos\alpha + 6\sin\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{4\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + 6\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}}{3\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} - 2\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{4\text{ctg }\alpha + 6}{3 - 2\text{ctg }\alpha}$

Подставим значение $\text{ctg }\alpha = 3$:

$\frac{4 \cdot 3 + 6}{3 - 2 \cdot 3} = \frac{12 + 6}{3 - 6} = \frac{18}{-3} = -6$

Ответ: $-6$

3) Выражение $\frac{5\cos\alpha - 9\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 5\cos^3\alpha}$ не является однородным. Чтобы его решить, преобразуем дробь. Разделим числитель и знаменатель на $\cos^3\alpha$. Это возможно, так как если $\cos\alpha = 0$, то $\text{ctg }\alpha = 0$, что противоречит условию.

$\frac{5\cos\alpha - 9\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 5\cos^3\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha - 9\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha + 5\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{5\frac{\cos\alpha}{\cos^3\alpha} - 9\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + 5\frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{5\frac{1}{\cos^2\alpha} - 9\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{1}{\cos^2\alpha}}{\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^3 + 5} = \frac{5\sec^2\alpha - 9\tan\alpha\sec^2\alpha}{\tan^3\alpha + 5}$

Известно, что $\text{ctg }\alpha = 3$, тогда $\tan\alpha = \frac{1}{\text{ctg }\alpha} = \frac{1}{3}$.

Используем основное тригонометрическое тождество в виде $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$.

$\sec^2\alpha = 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$

Подставим значения $\tan\alpha$ и $\sec^2\alpha$ в преобразованное выражение:

$\frac{5 \cdot \frac{10}{9} - 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{9}}{\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 5} = \frac{\frac{50}{9} - \frac{30}{9}}{\frac{1}{27} + 5} = \frac{\frac{20}{9}}{\frac{1+135}{27}} = \frac{\frac{20}{9}}{\frac{136}{27}} = \frac{20}{9} \cdot \frac{27}{136} = \frac{20 \cdot 3}{136} = \frac{60}{136} = \frac{15}{34}$

Ответ: $\frac{15}{34}$

4) В выражении $\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 3\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha}$ числитель и знаменатель являются однородными многочленами второй степени. Разделим числитель и знаменатель на $\sin^2\alpha$:

$\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 3\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 3\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - 3}{3 + 5\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\text{ctg }\alpha - 3}{3 + 5(\text{ctg }\alpha)^2}$

Подставим значение $\text{ctg }\alpha = 3$:

$\frac{3 - 3}{3 + 5 \cdot 3^2} = \frac{0}{3 + 5 \cdot 9} = \frac{0}{3 + 45} = \frac{0}{48} = 0$

Ответ: $0$

*22.18. Замените уравнением, не содержащим параметр $\alpha$, систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x = 4\cos\alpha, \\ y = 4\sin\alpha; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x = 4\cos\alpha, \\ y = 6\sin\alpha; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x = \sin\alpha + \cos\alpha, \\ y = \sin\alpha \cos\alpha; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \text{tg}^4\alpha + \text{ctg}^4\alpha = x, \\ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = y. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}x = 4\cos\alpha, \\y = 4\sin\alpha.\end{cases}$
Чтобы исключить параметр $\alpha$, выразим из уравнений $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{x}{4}$
$\sin\alpha = \frac{y}{4}$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Подставим в него полученные выражения:
$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{y}{4})^2 = 1$
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{16} = 1$
Умножив обе части уравнения на 16, получаем итоговое уравнение:
$x^2 + y^2 = 16$
Это уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом 4.
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}x = 4\cos\alpha, \\y = 6\sin\alpha.\end{cases}$
Аналогично предыдущему пункту, выразим $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{x}{4}$
$\sin\alpha = \frac{y}{6}$
Подставим эти выражения в основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$(\frac{y}{6})^2 + (\frac{x}{4})^2 = 1$
$\frac{y^2}{36} + \frac{x^2}{16} = 1$
Это каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями $a=4$ и $b=6$.
Ответ: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{36} = 1$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}x = \sin\alpha + \cos\alpha, \\y = \sin\alpha \cos\alpha.\end{cases}$
Возведем первое уравнение в квадрат:
$x^2 = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha$
Используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, упростим выражение:
$x^2 = ( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$
Из второго уравнения системы известно, что $y = \sin\alpha\cos\alpha$. Подставим это во полученное уравнение:
$x^2 = 1 + 2y$
Это уравнение параболы.
Ответ: $x^2 = 1 + 2y$.

4) Дана система уравнений:$\begin{cases}\text{tg}^4\alpha + \text{ctg}^4\alpha = x, \\\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = y.\end{cases}$
Возведем второе уравнение в квадрат:
$y^2 = (\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha)^2 = (\text{tg}^2\alpha)^2 + 2 \cdot \text{tg}^2\alpha \cdot \text{ctg}^2\alpha + (\text{ctg}^2\alpha)^2$
$y^2 = \text{tg}^4\alpha + 2(\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha)^2 + \text{ctg}^4\alpha$
Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, уравнение принимает вид:
$y^2 = \text{tg}^4\alpha + 2(1)^2 + \text{ctg}^4\alpha = (\text{tg}^4\alpha + \text{ctg}^4\alpha) + 2$
Из первого уравнения системы известно, что $x = \text{tg}^4\alpha + \text{ctg}^4\alpha$. Подставим $x$ в полученное выражение:
$y^2 = x + 2$
Отсюда можно выразить $x$: $x = y^2 - 2$.
Ответ: $x = y^2 - 2$.

22.19. Найдите значения $\alpha$, при которых достигается наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha - 3$;

2) $3\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + 1$;

3) $4\sin^2\alpha + 3\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha$;

4) $5\cos^2\alpha - \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha$.

1) $sin^2α + 3cos^2α - 3$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2α + cos^2α = 1$. Выразим $cos^2α$ через $sin^2α$:

$sin^2α + 3(1 - sin^2α) - 3 = sin^2α + 3 - 3sin^2α - 3 = -2sin^2α$.

Теперь найдем область значений выражения $-2sin^2α$. Мы знаем, что значения $sinα$ лежат в промежутке $[-1, 1]$, следовательно, значения $sin^2α$ лежат в промежутке $[0, 1]$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда множитель $sin^2α$ принимает свое наименьшее значение, то есть $sin^2α = 0$.

Наибольшее значение: $-2 \cdot 0 = 0$.

Это происходит при $sinα = 0$, то есть при $α = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение выражения достигается, когда множитель $sin^2α$ принимает свое наибольшее значение, то есть $sin^2α = 1$.

Наименьшее значение: $-2 \cdot 1 = -2$.

Это происходит при $sinα = \pm 1$, то есть при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение 0 достигается при $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение -2 достигается при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3cos^2α - sin^2α + 1$

Упростим выражение, используя тождество $sin^2α = 1 - cos^2α$:

$3cos^2α - (1 - cos^2α) + 1 = 3cos^2α - 1 + cos^2α + 1 = 4cos^2α$.

Теперь найдем область значений выражения $4cos^2α$. Значения $cosα$ лежат в промежутке $[-1, 1]$, поэтому значения $cos^2α$ лежат в промежутке $[0, 1]$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда $cos^2α$ принимает свое наибольшее значение, то есть $cos^2α = 1$.

Наибольшее значение: $4 \cdot 1 = 4$.

Это происходит при $cosα = \pm 1$, то есть при $α = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение выражения достигается, когда $cos^2α$ принимает свое наименьшее значение, то есть $cos^2α = 0$.

Наименьшее значение: $4 \cdot 0 = 0$.

Это происходит при $cosα = 0$, то есть при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение 4 достигается при $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение 0 достигается при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $4sin^2α + 3ctgα \cdot tgα$

Упростим выражение. Произведение $ctgα \cdot tgα = 1$. Это равенство справедливо только в области определения тангенса и котангенса, то есть при $sinα \neq 0$ и $cosα \neq 0$. Это соответствует условию $α \neq \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$.

При этих ограничениях выражение равно $4sin^2α + 3$. На указанной области определения $0 < sin^2α < 1$, поэтому $3 < 4sin^2α + 3 < 7$. В этом случае выражение не достигает своих наибольшего и наименьшего значений, а лишь стремится к ним.

Однако, в рамках школьной задачи обычно предполагается, что нужно найти точную верхнюю и нижнюю грань множества значений и значения $α$, при которых они достигаются, если снять ограничения на область определения.

Рассмотрим функцию $f(α) = 4sin^2α + 3$.

Наибольшее значение достигается, когда $sin^2α$ максимально, то есть $sin^2α=1$. Наибольшее значение: $4 \cdot 1 + 3 = 7$. Это соответствует $sinα = \pm 1$, то есть $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение достигается, когда $sin^2α$ минимально, то есть $sin^2α=0$. Наименьшее значение: $4 \cdot 0 + 3 = 3$. Это соответствует $sinα = 0$, то есть $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение 7 достигается при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение 3 достигается при $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $5cos^2α - ctgα \cdot tgα$

Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение. Произведение $ctgα \cdot tgα = 1$ при условии, что $α \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. При этом условии выражение равно $5cos^2α - 1$.

На области определения $0 < cos^2α < 1$, поэтому $-1 < 5cos^2α - 1 < 4$. Строго говоря, на своей области определения выражение не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Будем искать точные верхнюю и нижнюю грани и значения $α$, при которых они могли бы достигаться, как это обычно предполагается в подобных задачах. Рассмотрим функцию $f(α) = 5cos^2α - 1$.

Наибольшее значение достигается, когда $cos^2α$ максимально, то есть $cos^2α=1$. Наибольшее значение: $5 \cdot 1 - 1 = 4$. Это соответствует $cosα = \pm 1$, то есть $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Наименьшее значение достигается, когда $cos^2α$ минимально, то есть $cos^2α=0$. Наименьшее значение: $5 \cdot 0 - 1 = -1$. Это соответствует $cosα = 0$, то есть $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение 4 достигается при $α = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение -1 достигается при $α = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

22.20. Докажите, что при всех допустимых значениях α является постоянной величиной значение выражения:

1)

$\frac{(tg\alpha + ctg\alpha)^2 - (tg\alpha - ctg\alpha)^2}{\frac{1}{\cos^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha} - ctg^2 \alpha - tg^2 \alpha};$

2)

$\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha.$

1) Требуется доказать, что значение выражения $\frac{(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2}{\frac{1}{\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha} - \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha}$ является постоянной величиной.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс и котангенс определены, когда $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$. Знаменатель дроби $\frac{1}{\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha}$ также требует, чтобы $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ или раскрыв скобки по формуле квадрата суммы и разности. Применим формулу $(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy$.
Пусть $x = \text{tg}\alpha$ и $y = \text{ctg}\alpha$.
Числитель: $(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2 = 4 \cdot \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$.
Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, числитель равен $4 \cdot 1 = 4$.
Теперь упростим знаменатель. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Знаменатель: $\frac{1}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} - \text{ctg}^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.
Приведем к общему знаменателю $\cos^2\alpha \sin^2\alpha$:
$\frac{1 - \cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \cdot \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} = \frac{1 - (\cos^4\alpha + \sin^4\alpha)}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Возведем его в квадрат:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2$
$\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha = 1$
Отсюда $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Подставим это в числитель знаменателя:
$1 - (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Тогда весь знаменатель равен: $\frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha\sin^2\alpha} = 2$.
В итоге получаем значение всего выражения: $\frac{4}{2} = 2$.
Значение выражения равно 2, что является постоянной величиной при всех допустимых значениях $\alpha$.
Ответ: 2.

2) Требуется доказать, что значение выражения $\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha$ является постоянной величиной.
Это выражение определено для любых значений $\alpha$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
Возведем обе части этого тождества в куб: $(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^3 = 1^3$.
Используем формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.
Пусть $a = \cos^2\alpha$ и $b = \sin^2\alpha$.
$(\cos^2\alpha)^3 + (\sin^2\alpha)^3 + 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1$.
Упростим выражение, зная, что $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$:
$\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha(1) = 1$.
$\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha\sin^2\alpha = 1$.
Таким образом, исходное выражение тождественно равно 1, что является постоянной величиной для всех значений $\alpha$.
Ответ: 1.

22.21. Упростите выражение:

1) $(1 + \text{tg}\beta) \cdot \cos^3 \beta + (1 + \text{ctg}\beta) \cdot \sin^3 \beta + 1;$

2) $2 - \left(\frac{\text{ctg}\beta + \sin\beta}{\sin\beta \cdot \text{tg}\beta + 1}\right)^2 + \text{ctg}^2 \beta.$

1)

Для упрощения выражения раскроем скобки и воспользуемся определениями тангенса $ \text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $ и котангенса $ \text{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $.

$ (1 + \text{tg}\beta) \cdot \cos^3\beta + (1 + \text{ctg}\beta) \cdot \sin^3\beta + 1 = $
$ = 1 \cdot \cos^3\beta + \text{tg}\beta \cdot \cos^3\beta + 1 \cdot \sin^3\beta + \text{ctg}\beta \cdot \sin^3\beta + 1 = $
$ = \cos^3\beta + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \cos^3\beta + \sin^3\beta + \frac{\cos\beta}{\sin\beta} \cdot \sin^3\beta + 1 $

Сократим дроби:

$ = \cos^3\beta + \sin\beta \cdot \cos^2\beta + \sin^3\beta + \cos\beta \cdot \sin^2\beta + 1 $

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ (\cos^3\beta + \cos\beta \cdot \sin^2\beta) + (\sin^3\beta + \sin\beta \cdot \cos^2\beta) + 1 = $
$ = \cos\beta(\cos^2\beta + \sin^2\beta) + \sin\beta(\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 1 $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $:

$ = \cos\beta \cdot 1 + \sin\beta \cdot 1 + 1 = \cos\beta + \sin\beta + 1 $

Ответ: $ \cos\beta + \sin\beta + 1 $

2)

Сначала упростим выражение в скобках $ \frac{\text{ctg}\beta + \sin\beta}{\sin\beta \cdot \text{tg}\beta + 1} $. Преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Преобразуем числитель:

$ \text{ctg}\beta + \sin\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \sin\beta = \frac{\cos\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta} $

Преобразуем знаменатель:

$ \sin\beta \cdot \text{tg}\beta + 1 = \sin\beta \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + 1 = \frac{\sin^2\beta}{\cos\beta} + 1 = \frac{\sin^2\beta + \cos\beta}{\cos\beta} $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\frac{\cos\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta}}{\frac{\sin^2\beta + \cos\beta}{\cos\beta}} = \frac{\cos\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta} \cdot \frac{\cos\beta}{\sin^2\beta + \cos\beta} $

Сократим одинаковые множители $ (\cos\beta + \sin^2\beta) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \text{ctg}\beta $

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:

$ 2 - \left(\frac{\text{ctg}\beta + \sin\beta}{\sin\beta \cdot \text{tg}\beta + 1}\right)^2 + \text{ctg}^2\beta = 2 - (\text{ctg}\beta)^2 + \text{ctg}^2\beta = 2 - \text{ctg}^2\beta + \text{ctg}^2\beta = 2 $

Ответ: $ 2 $