Страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Какого вида задачи можно решить, составив систему двух нелинейных уравнений с двумя переменными?

2. Какие величины (искомые или неизвестные) следует обозначить буквами, чтобы решить задачу с помощью системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными?

3. Всегда ли решение системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными, с помощью которой решали задачу, является ответом на вопрос задачи?

1. Какого вида задачи можно решить, составив систему двух нелинейных уравнений с двумя переменными?

С помощью системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными можно решать задачи, в которых зависимость между двумя искомыми величинами является нелинейной. Это означает, что в математической модели задачи (в уравнениях) переменные могут быть в степени, отличной от первой, являться произведением друг друга, или находиться в знаменателе дроби.

Типичные примеры таких задач:

• Геометрические задачи: задачи на нахождение сторон, периметров или площадей фигур, где применяются формулы площади или теорема Пифагора. Например, найти катеты $a$ и $b$ прямоугольного треугольника, если известны его гипотенуза $c$ и площадь $S$. Математическая модель будет системой нелинейных уравнений: $ \begin{cases} a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{1}{2} a \cdot b = S \end{cases} $

• Задачи на движение: задачи, в которых скорости, время или расстояния связаны нелинейно. Например, два тела движутся навстречу друг другу. Если переменными являются их скорости ($v_1$, $v_2$) или время движения, уравнения могут содержать произведения этих переменных или переменные в знаменателе ($t = S/v$).

• Задачи на совместную работу: задачи, связанные с производительностью труда. Если $x$ и $y$ — производительности двух рабочих, то их совместная производительность равна $x+y$. Время выполнения определенного объема работы $A$ равно $A/p$, что приводит к уравнениям с переменными в знаменателе.

• Задачи на свойства чисел: найти два числа, если известны, например, сумма их квадратов и их произведение, или их сумма и сумма их обратных величин.

Ответ: Задачи, в которых взаимосвязь между двумя неизвестными величинами описывается нелинейными соотношениями, например, геометрические задачи (связанные с площадями, теоремой Пифагора), задачи на движение, на совместную работу и задачи на нахождение чисел по их свойствам.

2. Какие величины (искомые или неизвестные) следует обозначить буквами, чтобы решить задачу с помощью системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными?

При составлении математической модели для решения задачи буквами (переменными, например, $x$ и $y$) чаще всего обозначают искомые величины — те, которые требуется найти в ответе на вопрос задачи. Это самый естественный и прямой подход.

Однако иногда для упрощения вида уравнений в системе удобнее ввести переменные для других неизвестных величин, которые не являются искомыми напрямую. Такие переменные называют вспомогательными. Например, в задаче на движение искомыми могут быть скорости, а в качестве переменных для уравнений можно выбрать время движения. После нахождения значений вспомогательных переменных, необходимо выполнить дополнительные вычисления, чтобы найти те величины, о которых спрашивается в задаче.

Выбор переменных зависит от конкретной задачи и цели сделать уравнения как можно более простыми для решения.

Ответ: Буквами следует обозначать, как правило, искомые величины. В некоторых случаях для удобства составления уравнений можно вводить вспомогательные переменные для других неизвестных величин, через которые потом находятся искомые.

3. Всегда ли решение системы двух нелинейных уравнений с двумя переменными, с помощью которой решали задачу, является ответом на вопрос задачи?

Нет, не всегда. Решение системы уравнений — это набор пар чисел (например, $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ...$), которые удовлетворяют обоим уравнениям математически. Однако не все эти пары чисел могут быть осмысленным ответом на вопрос исходной задачи. Поэтому после нахождения всех математических решений системы обязательным шагом является их анализ и проверка на соответствие условиям задачи.

Решение системы может не быть ответом на задачу по нескольким причинам:

• Посторонние корни, не соответствующие физическому смыслу. Если переменная обозначает величину, которая по своей природе может быть только положительной (например, длина, скорость, время, масса, площадь), то все отрицательные или нулевые решения для этой переменной должны быть отброшены.

• Несоответствие типу величины. Если в задаче требуется найти количество объектов (людей, машин, деталей), то ответ должен быть целым положительным числом. Любые дробные или иррациональные решения являются посторонними.

• Несоответствие дополнительным условиям. В задаче могут быть неявные или явные ограничения, не включенные в уравнения (например, "скорость одного объекта была больше скорости другого"). Решения, нарушающие эти ограничения, не подходят.

• Найдены значения вспомогательных переменных. Если переменные обозначали не искомые величины, то найденные числа — это не ответ, а промежуточный результат, который нужно использовать для вычисления окончательного ответа.

Ответ: Нет, не всегда. Полученные при решении системы уравнений пары чисел необходимо проверить на соответствие условиям и смыслу задачи. Некоторые решения могут быть посторонними, так как не имеют смысла в контексте задачи (например, отрицательная длина или дробное количество людей).

4.1. 1) Значение суммы длин радиусов двух кругов равно 14 см, а значение разности площадей этих кругов равно $28\pi\text{см}^2$. Найдите длины радиусов кругов.

2) Значение суммы квадратов двух положительных чисел равно 202, а значение разности квадратов этих чисел равно 40. Найдите эти числа.

3) (Задача Диофанта, III в.) Найдите два числа, отношение которых равно 3, а отношение значения суммы квадратов этих чисел к значению их суммы равно 5.

4) Найдите двузначное число, если оно в 4 раза больше значения суммы его цифр и на 16 больше значения произведения его цифр.

5) Найдите двузначное число, если оно в 4 раза больше значения суммы его цифр и в 2 раза больше значения произведения его цифр.

1) Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы двух кругов, причем $r_1 > r_2$. По условию, сумма их длин равна 14 см, а разность площадей равна $28\pi \text{ см}^2$. Составим систему уравнений:
$r_1 + r_2 = 14$
$S_1 - S_2 = 28\pi$
Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим это во второе уравнение:
$\pi r_1^2 - \pi r_2^2 = 28\pi$
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$r_1^2 - r_2^2 = 28$
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(r_1 - r_2)(r_1 + r_2) = 28$
Мы знаем, что $r_1 + r_2 = 14$. Подставим это значение в уравнение:
$(r_1 - r_2) \cdot 14 = 28$
$r_1 - r_2 = \frac{28}{14} = 2$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} r_1 + r_2 = 14 \\ r_1 - r_2 = 2 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения: $(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2) = 14 + 2$, что дает $2r_1 = 16$. Отсюда $r_1 = 8$.
Подставим значение $r_1$ в первое уравнение: $8 + r_2 = 14$. Отсюда $r_2 = 6$.
Таким образом, радиусы кругов равны 8 см и 6 см.
Ответ: длины радиусов равны 8 см и 6 см.

2) Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных числа. Согласно условию, имеем систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 202 \\ x^2 - y^2 = 40 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения:
$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 202 + 40$
$2x^2 = 242$
$x^2 = 121$
Поскольку $x$ — положительное число, $x = \sqrt{121} = 11$.
Теперь подставим значение $x^2$ в первое уравнение:
$121 + y^2 = 202$
$y^2 = 202 - 121 = 81$
Поскольку $y$ — положительное число, $y = \sqrt{81} = 9$.
Искомые числа — 11 и 9.
Ответ: 11 и 9.

3) Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. По условиям задачи составим систему уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{y} = 3 \\ \frac{x^2 + y^2}{x + y} = 5 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{(3y)^2 + y^2}{3y + y} = 5$
$\frac{9y^2 + y^2}{4y} = 5$
$\frac{10y^2}{4y} = 5$
Предполагая, что $y \neq 0$, сократим дробь:
$\frac{5}{2}y = 5$
$y = 5 \cdot \frac{2}{5} = 2$
Теперь найдем $x$:
$x = 3y = 3 \cdot 2 = 6$.
Искомые числа — 6 и 2.
Ответ: 6 и 2.

4) Пусть искомое двузначное число имеет $t$ десятков и $u$ единиц. Тогда значение числа можно записать как $10t + u$. Сумма его цифр равна $t+u$, а произведение — $tu$.
По условиям задачи, составляем систему уравнений:
$ \begin{cases} 10t + u = 4(t + u) \\ 10t + u = tu + 16 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение:
$10t + u = 4t + 4u$
$6t = 3u$
$u = 2t$
Подставим выражение $u=2t$ во второе уравнение системы:
$10t + 2t = t(2t) + 16$
$12t = 2t^2 + 16$
$2t^2 - 12t + 16 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 6$, $t_1 \cdot t_2 = 8$. Корни $t_1=2$ и $t_2=4$.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $t=2$, то $u = 2t = 2 \cdot 2 = 4$. Искомое число — 24.
Проверка для 24: $24 = 4(2+4) = 24$ (верно); $24 = 2 \cdot 4 + 16 = 8 + 16 = 24$ (верно).
2. Если $t=4$, то $u = 2t = 2 \cdot 4 = 8$. Искомое число — 48.
Проверка для 48: $48 = 4(4+8) = 4 \cdot 12 = 48$ (верно); $48 = 4 \cdot 8 + 16 = 32 + 16 = 48$ (верно).
Оба числа удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: 24 или 48.

5) Пусть искомое двузначное число равно $10t + u$, где $t$ — цифра десятков, а $u$ — цифра единиц.
Из условий задачи получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} 10t + u = 4(t + u) \\ 10t + u = 2(tu) \end{cases} $
Из первого уравнения, как и в предыдущей задаче, получаем:
$10t + u = 4t + 4u \implies 6t = 3u \implies u = 2t$.
Подставим $u = 2t$ во второе уравнение:
$10t + 2t = 2 \cdot t \cdot (2t)$
$12t = 4t^2$
Перенесем все в одну сторону:
$4t^2 - 12t = 0$
$4t(t - 3) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $t=0$ или $t=3$.
Поскольку $t$ является первой цифрой двузначного числа, $t \neq 0$. Следовательно, $t=3$.
Найдем $u$: $u = 2t = 2 \cdot 3 = 6$.
Искомое число — 36.
Ответ: 36.

4.2. 1) Найдите два натуральных числа, если их среднее арифметическое равно 35, а их среднее геометрическое равно 28.

2) Найдите два натуральных числа, если их среднее арифметическое равно 61, а их среднее геометрическое равно 60.

1)

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

По определению, среднее арифметическое двух чисел равно их полусумме, а среднее геометрическое — корню из их произведения. Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{a+b}{2} = 35 \\ \sqrt{ab} = 28 \end{cases}$

Преобразуем систему, чтобы найти сумму и произведение чисел $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b = 2 \cdot 35 = 70 \\ ab = 28^2 = 784 \end{cases}$

Числа $a$ и $b$ можно рассматривать как корни квадратного уравнения, используя обратную теорему Виета. Если $t_1$ и $t_2$ — корни уравнения $t^2 + pt + q = 0$, то $t_1+t_2 = -p$ и $t_1t_2 = q$. В нашем случае уравнение будет иметь вид $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

Подставим найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - 70t + 784 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 784 = 4900 - 3136 = 1764$

Так как $\sqrt{1764} = 42$, найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{70 + 42}{2} = \frac{112}{2} = 56$

$t_2 = \frac{70 - 42}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Следовательно, искомые натуральные числа — это 14 и 56.

Ответ: 14 и 56.

2)

Аналогично первому пункту, пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

Составим систему уравнений на основе условия, что их среднее арифметическое равно 61, а среднее геометрическое равно 60:

$\begin{cases} \frac{a+b}{2} = 61 \\ \sqrt{ab} = 60 \end{cases}$

Из системы находим сумму и произведение чисел:

$\begin{cases} a+b = 2 \cdot 61 = 122 \\ ab = 60^2 = 3600 \end{cases}$

Числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

Подставим известные значения:

$t^2 - 122t + 3600 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-122)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 14884 - 14400 = 484$

Так как $\sqrt{484} = 22$, найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{122 + 22}{2} = \frac{144}{2} = 72$

$t_2 = \frac{122 - 22}{2} = \frac{100}{2} = 50$

Таким образом, искомые натуральные числа — это 50 и 72.

Ответ: 50 и 72.

4.3. 1) Длина пути между двумя пристанями по реке равна 60 км. Теплоход проходит этот путь по течению реки и против течения реки за 5,5 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения реки, если скорость течения реки на 20 км/ч меньше скорости теплохода в стоячей воде.

2) Катер шел 3 ч по течению реки и 2 ч против течения реки и прошел путь длиной 88 км. Найдите скорость течения реки и скорость катера в стоячей воде, если по течению он прошел на 32 км пути больше, чем против течения.

1)

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в стоячей воде, а $y$ км/ч — скорость течения реки.

Тогда скорость теплохода по течению реки равна $(x + y)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - y)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, составляет $t_1 = \frac{60}{x+y}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{60}{x-y}$ ч.

Общее время в пути равно 5,5 ч, следовательно, можно составить первое уравнение:

$\frac{60}{x+y} + \frac{60}{x-y} = 5.5$

По условию задачи, скорость течения реки на 20 км/ч меньше скорости теплохода в стоячей воде. Это дает нам второе уравнение:

$y = x - 20$

Подставим второе уравнение в выражения для скоростей:

Скорость по течению: $x + y = x + (x - 20) = 2x - 20$

Скорость против течения: $x - y = x - (x - 20) = x - x + 20 = 20$

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:

$\frac{60}{2x-20} + \frac{60}{20} = 5.5$

Решим полученное уравнение:

$\frac{60}{2x-20} + 3 = 5.5$

$\frac{60}{2x-20} = 5.5 - 3$

$\frac{60}{2x-20} = 2.5$

$60 = 2.5 \cdot (2x - 20)$

$60 = 5x - 50$

$5x = 110$

$x = \frac{110}{5}$

$x = 22$

Скорость теплохода в стоячей воде равна 22 км/ч.

Теперь найдем скорость течения реки:

$y = x - 20 = 22 - 20 = 2$

Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: скорость теплохода в стоячей воде — 22 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — скорость катера в стоячей воде, а $y$ км/ч — скорость течения реки.

Скорость катера по течению: $(x + y)$ км/ч.

Скорость катера против течения: $(x - y)$ км/ч.

За 3 часа по течению катер прошел путь $S_1 = 3(x+y)$ км.

За 2 часа против течения катер прошел путь $S_2 = 2(x-y)$ км.

Общий путь равен 88 км, что дает нам первое уравнение:

$S_1 + S_2 = 88$

$3(x+y) + 2(x-y) = 88$

По течению он прошел на 32 км больше, чем против течения. Это дает нам второе уравнение:

$S_1 - S_2 = 32$

$3(x+y) - 2(x-y) = 32$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 3(x+y) + 2(x-y) = 88 \\ 3(x+y) - 2(x-y) = 32 \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} 3x + 3y + 2x - 2y = 88 \\ 3x + 3y - 2x + 2y = 32 \end{cases}$

Приведем подобные слагаемые:

$\begin{cases} 5x + y = 88 \\ x + 5y = 32 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 88 - 5x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 5(88 - 5x) = 32$

$x + 440 - 25x = 32$

$-24x = 32 - 440$

$-24x = -408$

$x = \frac{-408}{-24}$

$x = 17$

Скорость катера в стоячей воде равна 17 км/ч.

Теперь найдем скорость течения реки, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 88 - 5x = 88 - 5 \cdot 17 = 88 - 85 = 3$

Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: скорость катера в стоячей воде — 17 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.