Страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

4.8. 1) Сочинение писали 108 экзаменующихся. Им было роздано 480 листов бумаги, причем каждая девушка получила на один лист больше каждого юноши, а все девушки получили столько же листов, сколько все юноши. Сколько было девушек и сколько юношей?

2) Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной 30 км он затрачивает времени на 0,5 ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста.

1)

Пусть $g$ – количество девушек, а $b$ – количество юношей.
Пусть $s_g$ – количество листов бумаги, которое получила каждая девушка, а $s_b$ – количество листов, которое получил каждый юноша.

По условию задачи, всего было 108 экзаменующихся, значит, мы можем составить первое уравнение:
$g + b = 108$

Всего было роздано 480 листов бумаги. Известно, что все девушки получили столько же листов, сколько все юноши. Это означает, что каждая группа получила половину всех листов:
Всего листов у девушек = $480 / 2 = 240$
Всего листов у юношей = $480 / 2 = 240$

Отсюда мы можем выразить количество листов на одного человека:
$g \cdot s_g = 240 \implies s_g = \frac{240}{g}$
$b \cdot s_b = 240 \implies s_b = \frac{240}{b}$

Также по условию, каждая девушка получила на один лист больше каждого юноши:
$s_g = s_b + 1$

Подставим выражения для $s_g$ и $s_b$ в это уравнение:
$\frac{240}{g} = \frac{240}{b} + 1$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 108 - g$. Подставим это в полученное уравнение:
$\frac{240}{g} = \frac{240}{108 - g} + 1$

Умножим обе части уравнения на $g(108 - g)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$240(108 - g) = 240g + g(108 - g)$
$25920 - 240g = 240g + 108g - g^2$
$25920 - 240g = 348g - g^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$g^2 - 348g - 240g + 25920 = 0$
$g^2 - 588g + 25920 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-588)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25920 = 345744 - 103680 = 242064$
$\sqrt{D} = \sqrt{242064} = 492$

Найдем корни уравнения:
$g_1 = \frac{588 + 492}{2} = \frac{1080}{2} = 540$
$g_2 = \frac{588 - 492}{2} = \frac{96}{2} = 48$

Корень $g_1 = 540$ не подходит, так как общее число экзаменующихся равно 108.
Следовательно, количество девушек $g = 48$.

Теперь найдем количество юношей:
$b = 108 - g = 108 - 48 = 60$

Проверим:
Листов на девушку: $s_g = 240 / 48 = 5$.
Листов на юношу: $s_b = 240 / 60 = 4$.
$5 = 4 + 1$, что соответствует условию.

Ответ: было 48 девушек и 60 юношей.

2)

Пусть $v_м$ – скорость мотоциклиста (в км/ч), а $v_в$ – скорость велосипедиста (в км/ч).

Первое условие: велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист. Переведем единицы измерения:
500 м = 0,5 км
1 минута = $1/60$ часа
Таким образом, разница в скорости составляет $0,5$ км за $1/60$ часа. Выразим это в км/ч:
$v_м - v_в = \frac{0,5 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 0,5 \cdot 60 = 30$ км/ч.
Отсюда $v_м = v_в + 30$.

Второе условие: на путь длиной 30 км велосипедист затрачивает на 0,5 ч больше, чем мотоциклист.
Время, которое тратит мотоциклист: $t_м = \frac{S}{v_м} = \frac{30}{v_м}$.
Время, которое тратит велосипедист: $t_в = \frac{S}{v_в} = \frac{30}{v_в}$.
Разница во времени: $t_в - t_м = 0,5$.
Получаем второе уравнение: $\frac{30}{v_в} - \frac{30}{v_м} = 0,5$.

Подставим выражение для $v_м$ из первого условия во второе уравнение:
$\frac{30}{v_в} - \frac{30}{v_в + 30} = 0,5$

Решим это уравнение. Умножим обе части на $2 \cdot v_в(v_в + 30)$:
$30 \cdot 2(v_в + 30) - 30 \cdot 2v_в = 1 \cdot v_в(v_в + 30)$
$60(v_в + 30) - 60v_в = v_в^2 + 30v_в$
$60v_в + 1800 - 60v_в = v_в^2 + 30v_в$
$1800 = v_в^2 + 30v_в$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$v_в^2 + 30v_в - 1800 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100$
$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:
$(v_в)_1 = \frac{-30 + 90}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$(v_в)_2 = \frac{-30 - 90}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста $v_в = 30$ км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:
$v_м = v_в + 30 = 30 + 30 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста – 60 км/ч, скорость велосипедиста – 30 км/ч.

4.9. 1) Длина пути от пункта А до пункта В по железной дороге равна 88 км, а по реке составляет 108 км. Поезд из пункта А выходит на 1 ч позже теплохода и прибывает в пункт В на 15 мин раньше. Найдите скорость поезда, если известно, что она на 40 км/ч больше скорости теплохода.

2) Мотоциклист остановился для заправки горючим на 12 минут. После этого, увеличив скорость движения на 15 км/ч, он наверстал потерянное время, проехав путь длиной 60 км. С какой скоростью мотоциклист двигался после остановки?

1) Пусть скорость теплохода равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость поезда равна $(x + 40)$ км/ч.
Время, которое теплоход затрачивает на путь в 108 км, составляет $t_{теплоход} = \frac{108}{x}$ ч.
Время, которое поезд затрачивает на путь в 88 км, составляет $t_{поезд} = \frac{88}{x+40}$ ч.
Поезд отправляется на 1 час позже теплохода и прибывает в пункт В на 15 минут раньше. Это означает, что общее время в пути у поезда меньше, чем у теплохода. Разница во времени составляет:
$1 \text{ час} + 15 \text{ минут} = 1 + \frac{15}{60} \text{ часа} = 1 + \frac{1}{4} \text{ часа} = 1,25 \text{ часа} = \frac{5}{4}$ часа.
Таким образом, время движения теплохода на $\frac{5}{4}$ часа больше времени движения поезда. Составим уравнение:
$t_{теплоход} - t_{поезд} = \frac{5}{4}$
$\frac{108}{x} - \frac{88}{x+40} = \frac{5}{4}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+40)$:
$\frac{108(x+40) - 88x}{x(x+40)} = \frac{5}{4}$
$\frac{108x + 4320 - 88x}{x^2 + 40x} = \frac{5}{4}$
$\frac{20x + 4320}{x^2 + 40x} = \frac{5}{4}$
Воспользуемся правилом пропорции:
$4(20x + 4320) = 5(x^2 + 40x)$
$80x + 17280 = 5x^2 + 200x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$5x^2 + 200x - 80x - 17280 = 0$
$5x^2 + 120x - 17280 = 0$
Разделим все уравнение на 5 для упрощения:
$x^2 + 24x - 3456 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3456) = 576 + 13824 = 14400$
$\sqrt{D} = \sqrt{14400} = 120$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-24 + 120}{2 \cdot 1} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-24 - 120}{2 \cdot 1} = \frac{-144}{2} = -72$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -72$ не является решением задачи. Следовательно, скорость теплохода равна 48 км/ч.
Теперь найдем скорость поезда:
$x + 40 = 48 + 40 = 88$ км/ч.
Ответ: 88 км/ч.

2) Пусть первоначальная скорость мотоциклиста была $v$ км/ч. После остановки его скорость стала $(v + 15)$ км/ч.
Мотоциклист остановился на 12 минут. Переведем это время в часы: $12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5}$ ч.
Чтобы наверстать потерянное время, мотоциклист проехал 60 км с увеличенной скоростью. Это означает, что время, которое он бы затратил на этот участок с первоначальной скоростью, на $\frac{1}{5}$ часа больше, чем время, затраченное с увеличенной скоростью.
Время движения 60 км с первоначальной скоростью: $t_1 = \frac{60}{v}$ ч.
Время движения 60 км с увеличенной скоростью: $t_2 = \frac{60}{v+15}$ ч.
Составим уравнение на основе разницы во времени:
$t_1 - t_2 = \frac{1}{5}$
$\frac{60}{v} - \frac{60}{v+15} = \frac{1}{5}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{60(v+15) - 60v}{v(v+15)} = \frac{1}{5}$
$\frac{60v + 900 - 60v}{v^2 + 15v} = \frac{1}{5}$
$\frac{900}{v^2 + 15v} = \frac{1}{5}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$v^2 + 15v = 900 \cdot 5$
$v^2 + 15v = 4500$
$v^2 + 15v - 4500 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$
$\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_2 = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$
Скорость не может быть отрицательной, поэтому первоначальная скорость мотоциклиста $v = 60$ км/ч.
Вопрос задачи — найти скорость, с которой мотоциклист двигался после остановки. Эта скорость равна $v + 15$:
$60 + 15 = 75$ км/ч.
Ответ: 75 км/ч.

4.10. 1) В 500 кг руды находится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, в оставшейся руде железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось еще в руде?

2) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?

1) Пусть $x$ кг — первоначальная масса железа в 500 кг руды. Тогда начальное процентное содержание железа в руде составляло $p_1 = \frac{x}{500} \cdot 100 = \frac{x}{5}\%$.

Из руды удалили 200 кг примесей, в которых содержалось 12,5% железа. Найдем массу железа, удаленную вместе с примесями: $m_{Fe, удал} = 200 \cdot \frac{12.5}{100} = 200 \cdot 0.125 = 25$ кг.

После удаления примесей общая масса руды стала $500 - 200 = 300$ кг. Масса железа в оставшейся руде стала $(x - 25)$ кг.

Новое процентное содержание железа в руде составляет $p_2 = \frac{x - 25}{300} \cdot 100 = \frac{x - 25}{3}\%$.

По условию, содержание железа повысилось на 20%. Это означает, что новое процентное содержание на 20 процентных пунктов больше первоначального: $p_2 = p_1 + 20$. Составим и решим уравнение: $\frac{x - 25}{3} = \frac{x}{5} + 20$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 15: $15 \cdot \frac{x - 25}{3} = 15 \cdot \frac{x}{5} + 15 \cdot 20$ $5(x - 25) = 3x + 300$ $5x - 125 = 3x + 300$ $5x - 3x = 300 + 125$ $2x = 425$ $x = 212.5$ кг.

Мы нашли первоначальную массу железа. Вопрос задачи — какое количество железа осталось в руде. Масса оставшегося железа равна: $x - 25 = 212.5 - 25 = 187.5$ кг.

Ответ: 187,5 кг.

2) Сначала найдем массу меди в исходном сплаве. Общая масса сплава 12 кг, и он содержит 45% меди. Масса меди: $m_{меди} = 12 \cdot \frac{45}{100} = 12 \cdot 0.45 = 5.4$ кг.

При добавлении чистого олова масса меди в сплаве не меняется, она остается равной 5,4 кг. Пусть $y$ кг — масса чистого олова, которую нужно добавить. Тогда новая общая масса сплава станет $(12 + y)$ кг.

По условию, в новом сплаве должно содержаться 40% меди. Составим уравнение, исходя из того, что масса меди (5,4 кг) составляет 40% от новой общей массы сплава: $\frac{5.4}{12 + y} = \frac{40}{100}$ $\frac{5.4}{12 + y} = 0.4$

Решим полученное уравнение относительно $y$: $5.4 = 0.4 \cdot (12 + y)$ $5.4 = 4.8 + 0.4y$ $0.4y = 5.4 - 4.8$ $0.4y = 0.6$ $y = \frac{0.6}{0.4} = \frac{6}{4} = 1.5$ кг.

Следовательно, нужно добавить 1,5 кг чистого олова.

Ответ: 1,5 кг.

4.11. 1) Бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, вторую трубу — на 7 минут. Если открыть обе трубы на 6 мин, то бассейн наполнится на $ \frac{2}{3} $ своего объема. Сколько времени потребуется для наполнения бассейна только через вторую трубу?

2) Если открыть два крана, то бассейн наполняется за 6 часов. Если открыть только один первый кран, то понадобится на 5 ч больше, если открыть только второй кран. Сколько времени надо для наполнения бассейна через каждый кран?

1)Пусть $v_1$ — производительность (скорость наполнения) первой трубы, а $v_2$ — производительность второй трубы. Объем всего бассейна примем за 1.
Из первого условия "бассейн наполнится, если первую трубу открыть на 12 мин, вторую трубу — на 7 минут" следует уравнение:
$12v_1 + 7v_2 = 1$
Из второго условия "если открыть обе трубы на 6 мин, то бассейн наполнится на $\frac{2}{3}$ своего объема" следует второе уравнение:
$6(v_1 + v_2) = \frac{2}{3}$
Получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases}12v_1 + 7v_2 = 1 \\6v_1 + 6v_2 = \frac{2}{3}\end{cases}$
Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 6:
$v_1 + v_2 = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
Из этого уравнения выразим $v_1$:
$v_1 = \frac{1}{9} - v_2$
Теперь подставим это выражение для $v_1$ в первое уравнение системы:
$12(\frac{1}{9} - v_2) + 7v_2 = 1$
$\frac{12}{9} - 12v_2 + 7v_2 = 1$
$\frac{4}{3} - 5v_2 = 1$
$\frac{4}{3} - 1 = 5v_2$
$\frac{1}{3} = 5v_2$
$v_2 = \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15}$
Таким образом, производительность второй трубы составляет $\frac{1}{15}$ часть бассейна в минуту. Чтобы найти время, за которое вторая труба наполнит весь бассейн, нужно разделить объем (1) на ее производительность:
$T_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1/15} = 15$ минут.
Ответ: 15 минут.

2)Пусть $t_1$ — время (в часах), за которое первый кран может наполнить бассейн, а $t_2$ — время, за которое это может сделать второй кран. Тогда их производительности (часть бассейна в час) равны $\frac{1}{t_1}$ и $\frac{1}{t_2}$ соответственно.
Из условия, что оба крана вместе наполняют бассейн за 6 часов, следует, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$. Составим первое уравнение:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$
По второму условию, "если открыть только один первый кран, то понадобится на 5 ч больше, если открыть только второй кран". Это означает, что $t_1$ на 5 часов больше, чем $t_2$. Составим второе уравнение:
$t_1 = t_2 + 5$
Подставим выражение для $t_1$ из второго уравнения в первое:
$\frac{1}{t_2 + 5} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_2(t_2+5)$:
$\frac{t_2 + (t_2 + 5)}{t_2(t_2 + 5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{2t_2 + 5}{t_2^2 + 5t_2} = \frac{1}{6}$
Используя правило пропорции, получаем:
$6(2t_2 + 5) = 1(t_2^2 + 5t_2)$
$12t_2 + 30 = t_2^2 + 5t_2$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$t_2^2 + 5t_2 - 12t_2 - 30 = 0$
$t_2^2 - 7t_2 - 30 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$
Найдем корни уравнения:
$t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 13}{2}$
$t_{2,1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$t_{2,2} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -3$ не является решением задачи. Значит, время наполнения бассейна через второй кран равно 10 часов.
Теперь найдем время для первого крана:
$t_1 = t_2 + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.
Ответ: первому крану требуется 15 часов, второму — 10 часов.

23.2. Найдите значение выражения:

1) $\sin 225^\circ$;

2) $\sin 330^\circ$;

3) $\cos 210^\circ$;

4) $\tan 225^\circ$;

5) $\cos 120^\circ$;

6) $\cot 150^\circ$.

1) Для нахождения значения $\sin(225°)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $225°$ находится в третьей координатной четверти, где синус имеет отрицательный знак. Представим $225°$ в виде суммы $180° + 45°$. Применяя формулу приведения $\sin(180° + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем: $\sin(225°) = \sin(180° + 45°) = -\sin(45°)$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, искомое значение равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Для нахождения значения $\sin(330°)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $330°$ находится в четвертой координатной четверти, где синус имеет отрицательный знак. Представим $330°$ в виде разности $360° - 30°$. Применяя формулу приведения $\sin(360° - \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем: $\sin(330°) = \sin(360° - 30°) = -\sin(30°)$. Табличное значение $\sin(30°) = \frac{1}{2}$. Таким образом, искомое значение равно $-\frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для нахождения значения $\cos(210°)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $210°$ находится в третьей координатной четверти, где косинус имеет отрицательный знак. Представим $210°$ в виде суммы $180° + 30°$. Применяя формулу приведения $\cos(180° + \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем: $\cos(210°) = \cos(180° + 30°) = -\cos(30°)$. Табличное значение $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомое значение равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Для нахождения значения $\text{tg}(225°)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $225°$ находится в третьей координатной четверти, где тангенс имеет положительный знак. Представим $225°$ в виде суммы $180° + 45°$. Применяя формулу приведения $\text{tg}(180° + \alpha) = \text{tg}(\alpha)$, получаем: $\text{tg}(225°) = \text{tg}(180° + 45°) = \text{tg}(45°)$. Табличное значение $\text{tg}(45°) = 1$. Таким образом, искомое значение равно $1$. Ответ: $1$

5) Для нахождения значения $\cos(120°)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $120°$ находится во второй координатной четверти, где косинус имеет отрицательный знак. Представим $120°$ в виде разности $180° - 60°$. Применяя формулу приведения $\cos(180° - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем: $\cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°)$. Табличное значение $\cos(60°) = \frac{1}{2}$. Таким образом, искомое значение равно $-\frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) Для нахождения значения $\text{ctg}(150°)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $150°$ находится во второй координатной четверти, где котангенс имеет отрицательный знак. Представим $150°$ в виде разности $180° - 30°$. Применяя формулу приведения $\text{ctg}(180° - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, получаем: $\text{ctg}(150°) = \text{ctg}(180° - 30°) = -\text{ctg}(30°)$. Табличное значение $\text{ctg}(30°) = \sqrt{3}$. Таким образом, искомое значение равно $-\sqrt{3}$. Ответ: $-\sqrt{3}$

23.3. Преобразуйте выражение:

1) $ \sin(-225^{\circ}) $;

2) $ \sin\frac{7\pi}{6} $;

3) $ \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) $;

4) $ \operatorname{tg}(-240^{\circ}) $;

5) $ \cos\frac{25\pi}{3} $;

6) $ \operatorname{ctg}\left(-\frac{9\pi}{4}\right) $;

7) $ \sin\left(-\frac{17\pi}{6}\right) $;

8) $ \operatorname{tg}\left(-\frac{19\pi}{6}\right) $.

1) Для преобразования выражения $sin(-225^\circ)$ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin(-225^\circ) = -sin(225^\circ)$

Далее, применим формулу приведения. Представим $225^\circ$ в виде $180^\circ + 45^\circ$.

$-sin(225^\circ) = -sin(180^\circ + 45^\circ)$

Поскольку $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$, получаем:

$-(-sin(45^\circ)) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В качестве альтернативы, можно использовать периодичность синуса:

$sin(-225^\circ) = sin(-225^\circ + 360^\circ) = sin(135^\circ) = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) Для преобразования выражения $sin\frac{7\pi}{6}$ представим аргумент в виде суммы $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ и применим формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.

$sin\frac{7\pi}{6} = sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для преобразования выражения $cos(-\frac{4\pi}{3})$ воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

$cos(-\frac{4\pi}{3}) = cos(\frac{4\pi}{3})$

Представим аргумент в виде суммы $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ и применим формулу приведения $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$.

$cos(\frac{4\pi}{3}) = cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

4) Для преобразования выражения $tg(-240^\circ)$ воспользуемся свойством нечетности функции тангенс: $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.

$tg(-240^\circ) = -tg(240^\circ)$

Далее, воспользуемся периодичностью тангенса (период равен $180^\circ$ или $\pi$). Представим $240^\circ$ как $180^\circ + 60^\circ$.

$-tg(240^\circ) = -tg(180^\circ + 60^\circ) = -tg(60^\circ) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$

5) Для преобразования выражения $cos\frac{25\pi}{3}$ воспользуемся периодичностью косинуса (период равен $2\pi$). Выделим целое число периодов в аргументе.

$\frac{25\pi}{3} = \frac{24\pi + \pi}{3} = \frac{24\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3} = 4 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$cos(\frac{25\pi}{3}) = cos(4 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

6) Для преобразования выражения $ctg(-\frac{9\pi}{4})$ воспользуемся свойством нечетности функции котангенс: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.

$ctg(-\frac{9\pi}{4}) = -ctg(\frac{9\pi}{4})$

Далее, воспользуемся периодичностью котангенса (период равен $\pi$). Выделим целое число периодов в аргументе.

$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$

$-ctg(\frac{9\pi}{4}) = -ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = -ctg(\frac{\pi}{4}) = -1$

Ответ: $-1$

7) Для преобразования выражения $sin(-\frac{17\pi}{6})$ используем свойство нечетности синуса и его периодичность.

$sin(-\frac{17\pi}{6}) = -sin(\frac{17\pi}{6})$

Выделим целый период $2\pi$ из аргумента: $\frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi + 5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$.

$-sin(\frac{17\pi}{6}) = -sin(2\pi + \frac{5\pi}{6}) = -sin(\frac{5\pi}{6})$

Применим формулу приведения, представив $\frac{5\pi}{6}$ как $\pi - \frac{\pi}{6}$.

$-sin(\frac{5\pi}{6}) = -sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

8) Для преобразования выражения $tg(-\frac{19\pi}{6})$ используем свойство нечетности тангенса и его периодичность.

$tg(-\frac{19\pi}{6}) = -tg(\frac{19\pi}{6})$

Период тангенса равен $\pi$. Выделим целое число периодов в аргументе: $\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}$.

$-tg(\frac{19\pi}{6}) = -tg(3\pi + \frac{\pi}{6}) = -tg(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Упростите выражения (23.4—23.5):

23.4. 1) $1 - \sin^2(270^\circ + \alpha)$;

2) $1 - \cos^2(270^\circ - \alpha)$;

3) $1 - \sin^2(360^\circ - \alpha)$;

4) $1 - \cos^2(360^\circ + \alpha)$;

5) $1 + \operatorname{ctg}^2(270^\circ - \alpha)$;

6) $1 + \operatorname{tg}^2(360^\circ - \alpha).$

1) Для упрощения выражения $1 - \sin^2(270^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством. Сначала упростим $\sin(270^\circ + \alpha)$. Так как в аргументе присутствует $270^\circ$, синус меняется на косинус. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен, поэтому $\sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставим это в исходное выражение: $1 - \sin^2(270^\circ + \alpha) = 1 - (-\cos(\alpha))^2 = 1 - \cos^2(\alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$. Таким образом, выражение упрощается до $\sin^2(\alpha)$.
Ответ: $\sin^2(\alpha)$.

2) Упростим выражение $1 - \cos^2(270^\circ - \alpha)$, используя формулы приведения и основное тригонометрическое тождество. Найдем значение $\cos(270^\circ - \alpha)$. При использовании $270^\circ$ косинус меняется на синус. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен, следовательно $\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$. Подставим полученное значение в выражение: $1 - \cos^2(270^\circ - \alpha) = 1 - (-\sin(\alpha))^2 = 1 - \sin^2(\alpha)$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем, что $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$. В результате упрощения получаем $\cos^2(\alpha)$.
Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

3) Для упрощения выражения $1 - \sin^2(360^\circ - \alpha)$ применим формулы приведения и основное тригонометрическое тождество. Сначала рассмотрим $\sin(360^\circ - \alpha)$. Так как в аргументе $360^\circ$, функция синус не меняется. Угол $360^\circ - \alpha$ принадлежит IV четверти, где синус имеет отрицательное значение, поэтому $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$. Подставим это в исходное выражение: $1 - \sin^2(360^\circ - \alpha) = 1 - (-\sin(\alpha))^2 = 1 - \sin^2(\alpha)$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ следует, что $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$. Таким образом, выражение равно $\cos^2(\alpha)$.
Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

4) Упростим данное выражение $1 - \cos^2(360^\circ + \alpha)$. Воспользуемся периодичностью косинуса, период которого равен $360^\circ$. Таким образом, $\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$. Подставим это в выражение: $1 - \cos^2(360^\circ + \alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$. Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, находим, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$. Следовательно, итоговое выражение есть $\sin^2(\alpha)$.
Ответ: $\sin^2(\alpha)$.

5) Для упрощения выражения $1 + \text{ctg}^2(270^\circ - \alpha)$ применим формулы приведения и одно из следствий основного тригонометрического тождества. Упростим $\text{ctg}(270^\circ - \alpha)$. Так как в аргументе $270^\circ$, котангенс меняется на тангенс. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен, поэтому $\text{ctg}(270^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$. Подставим в исходное выражение: $1 + \text{ctg}^2(270^\circ - \alpha) = 1 + (\text{tg}(\alpha))^2 = 1 + \text{tg}^2(\alpha)$. Используя тождество $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, получаем конечный результат.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

6) Упростим выражение $1 + \text{tg}^2(360^\circ - \alpha)$, используя формулы приведения и тригонометрическое тождество. Сначала преобразуем $\text{tg}(360^\circ - \alpha)$. Так как в аргументе $360^\circ$, функция тангенс не меняется. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен, поэтому $\text{tg}(360^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$. Подставим это в исходное выражение: $1 + \text{tg}^2(360^\circ - \alpha) = 1 + (-\text{tg}(\alpha))^2 = 1 + \text{tg}^2(\alpha)$. Согласно тригонометрическому тождеству $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2(\alpha)}$.

23.5. 1) $ \sin(90^\circ - \alpha) + \cos(180^\circ + \alpha) + \text{ctg}(270^\circ - \alpha) + \text{tg}(360^\circ - \alpha); $

2) $ \cos(90^\circ + \alpha) - \sin(180^\circ + \alpha) + \text{ctg}(270^\circ + \alpha) + \text{tg}(360^\circ + \alpha); $

3) $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) - \sin(\pi + \alpha) + \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) + \text{tg}(2\pi + \alpha); $

4) $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) - \cos(\pi + \alpha) + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \text{ctg}(2\pi + \alpha). $

1) $sin(90^\circ - \alpha) + cos(180^\circ + \alpha) + ctg(270^\circ - \alpha) + tg(360^\circ - \alpha)$
Для упрощения выражения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести тригонометрическую функцию любого угла к функции острого угла. Правила следующие:
1. Если в формуле содержатся углы $180^\circ$ ($\pi$) или $360^\circ$ ($2\pi$), то название функции не меняется.
2. Если в формуле содержатся углы $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$) или $270^\circ$ ($\frac{3\pi}{2}$), то название функции меняется на кофункцию ($sin \leftrightarrow cos$, $tg \leftrightarrow ctg$).
3. Знак перед приведенной функцией определяется знаком исходной функции в той четверти, в которой находится угол (считая $\alpha$ острым углом).

Применим эти правила к каждому слагаемому:
• $sin(90^\circ - \alpha)$: Угол $90^\circ$ меняет функцию на кофункцию (косинус). Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти, где синус положителен. Получаем: $sin(90^\circ - \alpha) = cos(\alpha)$.
• $cos(180^\circ + \alpha)$: Угол $180^\circ$ не меняет функцию. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Получаем: $cos(180^\circ + \alpha) = -cos(\alpha)$.
• $ctg(270^\circ - \alpha)$: Угол $270^\circ$ меняет функцию на кофункцию (тангенс). Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Получаем: $ctg(270^\circ - \alpha) = tg(\alpha)$.
• $tg(360^\circ - \alpha)$: Угол $360^\circ$ не меняет функцию. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Получаем: $tg(360^\circ - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:
$cos(\alpha) + (-cos(\alpha)) + tg(\alpha) + (-tg(\alpha)) = cos(\alpha) - cos(\alpha) + tg(\alpha) - tg(\alpha) = 0$.
Ответ: $0$.

2) $cos(90^\circ + \alpha) - sin(180^\circ + \alpha) + ctg(270^\circ + \alpha) + tg(360^\circ + \alpha)$
Упростим каждое слагаемое по формулам приведения:
• $cos(90^\circ + \alpha)$: Угол $90^\circ$ меняет функцию на синус. Угол $90^\circ + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Получаем: $cos(90^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.
• $sin(180^\circ + \alpha)$: Угол $180^\circ$ не меняет функцию. Угол $180^\circ + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Получаем: $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$.
• $ctg(270^\circ + \alpha)$: Угол $270^\circ$ меняет функцию на тангенс. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Получаем: $ctg(270^\circ + \alpha) = -tg(\alpha)$.
• $tg(360^\circ + \alpha)$: Угол $360^\circ$ является полным оборотом, поэтому его можно отбросить ($tg$ периодичен с периодом $180^\circ$). $tg(360^\circ + \alpha) = tg(\alpha)$.

Подставим полученные выражения:
$-sin(\alpha) - (-sin(\alpha)) + (-tg(\alpha)) + tg(\alpha) = -sin(\alpha) + sin(\alpha) - tg(\alpha) + tg(\alpha) = 0$.
Ответ: $0$.

3) $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) - sin(\pi + \alpha) + ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) + tg(2\pi + \alpha)$
Упростим выражение, используя формулы приведения для радианной меры.
• $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$: Угол $\frac{3\pi}{2}$ меняет функцию на синус. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Получаем: $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.
• $sin(\pi + \alpha)$: Угол $\pi$ не меняет функцию. Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Получаем: $sin(\pi + \alpha) = -sin(\alpha)$.
• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: Угол $\frac{\pi}{2}$ меняет функцию на тангенс. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Получаем: $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$.
• $tg(2\pi + \alpha)$: Угол $2\pi$ - полный оборот, тангенс периодичен с периодом $\pi$. Получаем: $tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

Подставим и вычислим:
$sin(\alpha) - (-sin(\alpha)) + (-tg(\alpha)) + tg(\alpha) = sin(\alpha) + sin(\alpha) - tg(\alpha) + tg(\alpha) = 2sin(\alpha)$.
Ответ: $2sin(\alpha)$.

4) $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) - cos(\pi + \alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + ctg(2\pi + \alpha)$
Применим формулы приведения.
• $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: Угол $\frac{3\pi}{2}$ меняет функцию на косинус. Угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Получаем: $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -cos(\alpha)$.
• $cos(\pi + \alpha)$: Угол $\pi$ не меняет функцию. Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Получаем: $cos(\pi + \alpha) = -cos(\alpha)$.
• $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$: Угол $\frac{3\pi}{2}$ меняет функцию на котангенс. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Получаем: $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.
• $ctg(2\pi + \alpha)$: Угол $2\pi$ - полный оборот, котангенс периодичен с периодом $\pi$. Получаем: $ctg(2\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$.

Подставим упрощенные выражения:
$-cos(\alpha) - (-cos(\alpha)) + (-ctg(\alpha)) + ctg(\alpha) = -cos(\alpha) + cos(\alpha) - ctg(\alpha) + ctg(\alpha) = 0$.
Ответ: $0$.

23.6. Приведите тригонометрическую функцию к функции угла $\alpha$,
где $\alpha$ ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$):

1) sin $545^\circ$;

2) cos $945^\circ$;

3) tg $1545^\circ$;

4) ctg $545^\circ$;

5) sin $\frac{9\pi}{4}$;

6) cos $\frac{91\pi}{5}$;

7) tg $\frac{29\pi}{3}$;

8) ctg $\frac{39\pi}{7}$;

9) sin $(-\frac{49\pi}{4})$;

10) cos $(-\frac{419\pi}{5})$;

11) sin $(-2489^\circ)$;

12) tg $(-4789^\circ)$.

1) Для приведения функции $\sin 545°$ к функции угла $\alpha$ ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$ или $0° \le \alpha \le 45°$) воспользуемся периодичностью и формулами приведения.

Период синуса равен $360°$. Выделим целое число периодов в угле $545°$: $545° = 360° + 185°$.

Следовательно, $\sin 545° = \sin(360° + 185°) = \sin 185°$.

Угол $185°$ находится в третьей четверти. Применим формулу приведения: $185° = 180° + 5°$.

$\sin 185° = \sin(180° + 5°) = -\sin 5°$.

Угол $\alpha = 5°$ удовлетворяет условию $0° \le 5° \le 45°$.

Ответ: $-\sin 5°$.

2) Приведем функцию $\cos 945°$.

Период косинуса равен $360°$. $945° = 2 \cdot 360° + 225° = 720° + 225°$.

$\cos 945° = \cos(2 \cdot 360° + 225°) = \cos 225°$.

Угол $225°$ находится в третьей четверти. Применим формулу приведения: $225° = 180° + 45°$.

$\cos 225° = \cos(180° + 45°) = -\cos 45°$.

Угол $\alpha = 45°$ удовлетворяет условию $0° \le 45° \le 45°$.

Ответ: $-\cos 45°$.

3) Приведем функцию $\tan 1545°$.

Период тангенса равен $180°$. $1545° = 8 \cdot 180° + 105° = 1440° + 105°$.

$\tan 1545° = \tan(8 \cdot 180° + 105°) = \tan 105°$.

Угол $105°$ находится во второй четверти. Применим формулу приведения: $105° = 90° + 15°$.

$\tan 105° = \tan(90° + 15°) = -\cot 15°$.

Угол $\alpha = 15°$ удовлетворяет условию $0° \le 15° \le 45°$.

Ответ: $-\cot 15°$.

4) Приведем функцию $\cot 545°$.

Период котангенса равен $180°$. $545° = 3 \cdot 180° + 5° = 540° + 5°$.

$\cot 545° = \cot(3 \cdot 180° + 5°) = \cot 5°$.

Угол $\alpha = 5°$ удовлетворяет условию $0° \le 5° \le 45°$.

Ответ: $\cot 5°$.

5) Приведем функцию $\sin \frac{9\pi}{4}$.

Период синуса равен $2\pi$. $\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

$\sin(\frac{9\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{4})$.

6) Приведем функцию $\cos \frac{91\pi}{5}$.

Период косинуса равен $2\pi$. $\frac{91\pi}{5} = \frac{90\pi + \pi}{5} = 18\pi + \frac{\pi}{5} = 9 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{5}$.

$\cos(\frac{91\pi}{5}) = \cos(9 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{\pi}{5})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{5} \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\cos(\frac{\pi}{5})$.

7) Приведем функцию $\tan \frac{29\pi}{3}$.

Период тангенса равен $\pi$. $\frac{29\pi}{3} = \frac{27\pi + 2\pi}{3} = 9\pi + \frac{2\pi}{3}$.

$\tan(\frac{29\pi}{3}) = \tan(9\pi + \frac{2\pi}{3}) = \tan(\frac{2\pi}{3})$.

Угол $\frac{2\pi}{3}$ не удовлетворяет условию. Применим формулу приведения: $\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.

$\tan(\frac{2\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{6})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\cot(\frac{\pi}{6})$.

8) Приведем функцию $\cot \frac{39\pi}{7}$.

Период котангенса равен $\pi$. $\frac{39\pi}{7} = \frac{35\pi + 4\pi}{7} = 5\pi + \frac{4\pi}{7}$.

$\cot(\frac{39\pi}{7}) = \cot(5\pi + \frac{4\pi}{7}) = \cot(\frac{4\pi}{7})$.

Угол $\frac{4\pi}{7}$ не удовлетворяет условию. Применим формулу приведения: $\frac{4\pi}{7} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{14}$.

$\cot(\frac{4\pi}{7}) = \cot(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{14}) = -\tan(\frac{\pi}{14})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{14}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{14} \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\tan(\frac{\pi}{14})$.

9) Приведем функцию $\sin(-\frac{49\pi}{4})$.

Синус — нечетная функция: $\sin(-x) = -\sin(x)$, поэтому $\sin(-\frac{49\pi}{4}) = -\sin(\frac{49\pi}{4})$.

Период синуса $2\pi$. $\frac{49\pi}{4} = \frac{48\pi + \pi}{4} = 12\pi + \frac{\pi}{4} = 6 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

$-\sin(\frac{49\pi}{4}) = -\sin(6 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$ удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\sin(\frac{\pi}{4})$.

10) Приведем функцию $\cos(-\frac{419\pi}{5})$.

Косинус — четная функция: $\cos(-x) = \cos(x)$, поэтому $\cos(-\frac{419\pi}{5}) = \cos(\frac{419\pi}{5})$.

Период косинуса $2\pi$. $\frac{419\pi}{5} = \frac{420\pi - \pi}{5} = 84\pi - \frac{\pi}{5} = 42 \cdot 2\pi - \frac{\pi}{5}$.

$\cos(\frac{419\pi}{5}) = \cos(42 \cdot 2\pi - \frac{\pi}{5}) = \cos(-\frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{\pi}{5})$.

Угол $\alpha = \frac{\pi}{5}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{5} \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\cos(\frac{\pi}{5})$.

11) Приведем функцию $\sin(-2489°)$.

Синус — нечетная функция: $\sin(-2489°) = -\sin(2489°)$.

Период синуса $360°$. $2489° = 7 \cdot 360° - 31° = 2520° - 31°$.

$-\sin(2489°) = -\sin(7 \cdot 360° - 31°) = -\sin(-31°) = -(-\sin(31°)) = \sin(31°)$.

Угол $\alpha = 31°$ удовлетворяет условию $0° \le 31° \le 45°$.

Ответ: $\sin(31°)$.

12) Приведем функцию $\tan(-4789°)$.

Тангенс — нечетная функция: $\tan(-4789°) = -\tan(4789°)$.

Период тангенса $180°$. $4789° = 27 \cdot 180° - 71° = 4860° - 71°$.

$-\tan(4789°) = -\tan(27 \cdot 180° - 71°) = -\tan(-71°) = -(-\tan(71°)) = \tan(71°)$.

Угол $71°$ не удовлетворяет условию. Применим формулу $\tan x = \cot(90° - x)$.

$\tan(71°) = \cot(90° - 71°) = \cot(19°)$.

Угол $\alpha = 19°$ удовлетворяет условию $0° \le 19° \le 45°$.

Ответ: $\cot(19°)$.

23.7. Найдите значение выражения:

1) $\text{ctg}(-45^\circ) \cdot \cos(225^\circ) \cdot \sin(150^\circ)$;

2) $\text{tg}(-135^\circ) \cdot \cos(300^\circ) \cdot \sin(210^\circ)$;

3) $\text{ctg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right) \cdot \cos(150^\circ) \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)$;

4) $\text{ctg}(-225^\circ) \cdot \cos\left(\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \sin(330^\circ)$.

1) Чтобы найти значение выражения $ctg(-45^\circ) \cdot cos(225^\circ) \cdot sin(150^\circ)$, вычислим значение каждого множителя.
Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$:
$ctg(-45^\circ) = -ctg(45^\circ) = -1$.
Для $cos(225^\circ)$ применим формулу приведения, представив $225^\circ$ как $180^\circ + 45^\circ$:
$cos(225^\circ) = cos(180^\circ + 45^\circ) = -cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для $sin(150^\circ)$ применим формулу приведения, представив $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$:
$sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$(-1) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

2) Чтобы найти значение выражения $tg(-135^\circ) \cdot cos(300^\circ) \cdot sin(210^\circ)$, вычислим значение каждого множителя.
Используем свойство нечетности тангенса $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$:
$tg(-135^\circ) = -tg(135^\circ) = -tg(180^\circ - 45^\circ) = -(-tg(45^\circ)) = -(-1) = 1$.
Для $cos(300^\circ)$ применим формулу приведения, представив $300^\circ$ как $360^\circ - 60^\circ$:
$cos(300^\circ) = cos(360^\circ - 60^\circ) = cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Для $sin(210^\circ)$ применим формулу приведения, представив $210^\circ$ как $180^\circ + 30^\circ$:
$sin(210^\circ) = sin(180^\circ + 30^\circ) = -sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

3) Чтобы найти значение выражения $ctg(-\frac{3\pi}{4}) \cdot cos(150^\circ) \cdot sin(\frac{5\pi}{3})$, вычислим значение каждого множителя.
Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$ и формулу приведения:
$ctg(-\frac{3\pi}{4}) = -ctg(\frac{3\pi}{4}) = -ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -(-ctg(\frac{\pi}{4})) = -(-1) = 1$.
Для $cos(150^\circ)$ применим формулу приведения, представив $150^\circ$ как $180^\circ - 30^\circ$:
$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для $sin(\frac{5\pi}{3})$ применим формулу приведения, представив $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$:
$sin(\frac{5\pi}{3}) = sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) Чтобы найти значение выражения $ctg(-225^\circ) \cdot cos(\frac{8\pi}{3}) \cdot sin(330^\circ)$, вычислим значение каждого множителя.
Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$ и формулу приведения:
$ctg(-225^\circ) = -ctg(225^\circ) = -ctg(180^\circ + 45^\circ) = -ctg(45^\circ) = -1$.
Для $cos(\frac{8\pi}{3})$ используем периодичность косинуса, а затем формулу приведения:
$cos(\frac{8\pi}{3}) = cos(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = cos(\frac{2\pi}{3}) = cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Для $sin(330^\circ)$ применим формулу приведения, представив $330^\circ$ как $360^\circ - 30^\circ$:
$sin(330^\circ) = sin(360^\circ - 30^\circ) = -sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.
Теперь перемножим полученные значения:
$(-1) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

23.8. Докажите тождество:

1) $\cos^2 (180^\circ - x) + \cos^2 (270^\circ + x) = 1;$

2) $\cos^2 (720^\circ - x) + \sin^2 (540^\circ + x) = 1;$

3) $\operatorname{tg}(2\pi - x) \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -1;$

4) $\operatorname{ctg}(6\pi - x) \operatorname{ctg}\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = -1.$

1) Для доказательства тождества $cos^2(180^\circ - x) + cos^2(270^\circ + x) = 1$ преобразуем левую часть с помощью формул приведения.
Применим формулу приведения для первого слагаемого: $cos(180^\circ - x) = -cos(x)$. Поскольку выражение возводится в квадрат, получаем $cos^2(180^\circ - x) = (-cos(x))^2 = cos^2(x)$.
Применим формулу приведения для второго слагаемого: $cos(270^\circ + x) = sin(x)$. Возводя в квадрат, получаем $cos^2(270^\circ + x) = (sin(x))^2 = sin^2(x)$.
Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$cos^2(x) + sin^2(x)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$.
Таким образом, левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $cos^2(720^\circ - x) + sin^2(540^\circ + x) = 1$ преобразуем левую часть, используя свойство периодичности тригонометрических функций и формулы приведения.
Рассмотрим первое слагаемое. Период функции косинус равен $360^\circ$. Так как $720^\circ = 2 \cdot 360^\circ$, мы можем отбросить полные обороты: $cos(720^\circ - x) = cos(-x)$. Косинус — чётная функция, поэтому $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos^2(720^\circ - x) = cos^2(x)$.
Рассмотрим второе слагаемое. Период функции синус равен $360^\circ$. Представим $540^\circ$ как $360^\circ + 180^\circ$. Тогда $sin(540^\circ + x) = sin(360^\circ + 180^\circ + x) = sin(180^\circ + x)$. По формуле приведения $sin(180^\circ + x) = -sin(x)$. Возводя в квадрат, получаем $sin^2(540^\circ + x) = (-sin(x))^2 = sin^2(x)$.
Подставим преобразованные выражения в левую часть:
$cos^2(x) + sin^2(x)$.
По основному тригонометрическому тождеству это выражение равно $1$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $tg(2\pi - x) \cdot tg\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -1$ преобразуем множители в левой части.
Первый множитель: $tg(2\pi - x)$. Используя периодичность тангенса (период $\pi$), получаем $tg(2\pi - x) = tg(-x)$. Тангенс — нечётная функция, поэтому $tg(-x) = -tg(x)$.
Второй множитель: $tg\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)$. Используем формулу приведения. Поскольку в аргументе стоит $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс). Угол $\frac{3\pi}{2} - x$ находится в третьей четверти (если считать $x$ малым положительным углом), где тангенс положителен. Таким образом, $tg\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = ctg(x)$.
Перемножим полученные результаты:
$(-tg(x)) \cdot (ctg(x)) = -(tg(x) \cdot ctg(x))$.
Так как $tg(x) \cdot ctg(x) = 1$ (для всех $x$, где обе функции определены), получаем:
$-(1) = -1$.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $ctg(6\pi - x) \cdot ctg\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = -1$ преобразуем левую часть.
Первый множитель: $ctg(6\pi - x)$. Используя периодичность котангенса (период $\pi$), имеем $ctg(6\pi - x) = ctg(-x)$. Котангенс — нечётная функция, поэтому $ctg(-x) = -ctg(x)$.
Второй множитель: $ctg\left(\frac{9\pi}{2} - x\right)$. Упростим аргумент, выделив целое число полных оборотов: $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$. Тогда $ctg\left(\frac{9\pi}{2} - x\right) = ctg\left(4\pi + \frac{\pi}{2} - x\right) = ctg\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. По формуле приведения, функция меняется на кофункцию (котангенс на тангенс), а знак сохраняется, так как угол $\frac{\pi}{2} - x$ в первой четверти. Таким образом, $ctg\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = tg(x)$.
Перемножим преобразованные выражения:
$(-ctg(x)) \cdot (tg(x)) = -(ctg(x) \cdot tg(x))$.
Поскольку $ctg(x) \cdot tg(x) = 1$, левая часть равна:
$-(1) = -1$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.