Страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

4.4. 1) Фермер отправился на машине в город, длина пути до которого по шоссе равна 110 км. Через 20 мин из города на ферму выехал его сын, который ехал со скоростью на 5 км большей, чем отец. Встреча произошла в 50 км пути от города. С какой скоростью ехал фермер?

2) Из пунктов $A$ и $B$, длина пути между которыми равна 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км пути. Если бы из пункта $A$ турист вышел на 1 ч раньше, то они встретились бы на середине пути. Найдите скорость каждого туриста.

1) Пусть скорость фермера равна $v$ км/ч. Тогда скорость его сына, который ехал ему навстречу из города, равна $(v + 5)$ км/ч, так как он ехал на 5 км/ч быстрее.
Встреча произошла в 50 км от города. Это означает, что сын проехал 50 км. Поскольку общее расстояние между фермой и городом составляет 110 км, фермер до момента встречи проехал расстояние: $S_ф = 110 - 50 = 60$ км.
Сын выехал на 20 минут позже фермера. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ ч.
Время, которое затратил фермер на свой путь до встречи, равно $t_ф = \frac{S_ф}{v} = \frac{60}{v}$ ч.
Время, которое затратил сын на свой путь до встречи, равно $t_с = \frac{S_с}{v+5} = \frac{50}{v+5}$ ч.
Так как фермер был в пути на $\frac{1}{3}$ часа дольше, мы можем составить уравнение: $t_ф = t_с + \frac{1}{3}$
$\frac{60}{v} = \frac{50}{v+5} + \frac{1}{3}$
Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $3v(v+5)$. Умножим обе части уравнения на него, приняв, что $v \ne 0$ и $v \ne -5$: $60 \cdot 3(v+5) = 50 \cdot 3v + v(v+5)$
$180(v+5) = 150v + v^2 + 5v$
$180v + 900 = 155v + v^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $v^2 + 155v - 180v - 900 = 0$
$v^2 - 25v - 900 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 625 + 3600 = 4225$
$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$
Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 65}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 65}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, скорость фермера равна 45 км/ч.
Ответ: 45 км/ч.

2) Пусть скорость туриста, вышедшего из пункта А, равна $v_A$ км/ч, а скорость туриста, вышедшего из пункта В, — $v_B$ км/ч.
Рассмотрим первую ситуацию. Туристы вышли одновременно и через 4 часа им осталось пройти 4 км до встречи. Общее расстояние равно 40 км. Это значит, что за 4 часа они вместе преодолели $40 - 4 = 36$ км. Суммарное расстояние, пройденное обоими туристами, равно произведению их скорости сближения на время. Скорость сближения равна $v_A + v_B$. $(v_A + v_B) \cdot 4 = 36$
Разделив обе части на 4, получим первое уравнение: $v_A + v_B = 9$
Рассмотрим вторую ситуацию. Турист из пункта А вышел на 1 час раньше, и они встретились на середине пути. Середина пути находится на расстоянии 20 км от пункта А и 20 км от пункта В. Таким образом, турист из А прошел 20 км, и турист из В прошел 20 км. Время, которое затратил турист из А: $t_A = \frac{20}{v_A}$ ч.
Время, которое затратил турист из В: $t_B = \frac{20}{v_B}$ ч.
По условию, турист из А был в пути на 1 час дольше, поэтому: $t_A = t_B + 1$
$\frac{20}{v_A} = \frac{20}{v_B} + 1$
Мы получили систему из двух уравнений:
1) $v_A + v_B = 9$
2) $\frac{20}{v_A} = \frac{20}{v_B} + 1$
Из первого уравнения выразим $v_B$: $v_B = 9 - v_A$. Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{20}{v_A} = \frac{20}{9 - v_A} + 1$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $v_A(9 - v_A)$, при условии что $v_A \ne 0$ и $v_A \ne 9$: $20(9 - v_A) = 20v_A + v_A(9 - v_A)$
$180 - 20v_A = 20v_A + 9v_A - v_A^2$
$180 - 20v_A = 29v_A - v_A^2$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $v_A^2 - 20v_A - 29v_A + 180 = 0$
$v_A^2 - 49v_A + 180 = 0$
Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 2401 - 720 = 1681$
$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$
Найдем возможные значения для $v_A$: $v_{A1} = \frac{49 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$v_{A2} = \frac{49 - 41}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Проверим оба корня. Если $v_A = 45$ км/ч, то из первого уравнения $v_B = 9 - 45 = -36$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, этот корень не подходит. Если $v_A = 4$ км/ч, то $v_B = 9 - 4 = 5$ км/ч. Обе скорости положительны, это решение является верным.
Ответ: скорость туриста из пункта А — 4 км/ч, скорость туриста из пункта В — 5 км/ч.

4.5. 1) Двое рабочих, работая вместе, выполняют задание за 3 ч 45 мин. Первый рабочий, работая один, может выполнить задание на 4 ч быстрее, чем второй рабочий. Сколько времени потребуется каждому рабочему для выполнения этого задания?

2) Один тракторист может вспахать поле на 24 ч быстрее, чем другой тракторист. Если это поле они будут пахать вместе, то работу выполнят за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому трактористу для вспашки поля?

1) Примем весь объем работы за 1. Пусть первый рабочий, работая один, выполняет задание за $x$ часов. По условию, он делает это на 4 часа быстрее, чем второй, значит, второй рабочий выполняет задание за $(x+4)$ часов.
Производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$ (часть работы в час), а производительность второго — $\frac{1}{x+4}$ (часть работы в час).
Работая вместе, они выполняют задание за 3 ч 45 мин. Переведем это время в часы: $3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = 3.75 \text{ ч} = \frac{15}{4}$ ч.
Их совместная производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.
Также совместная производительность равна $1$ (вся работа), деленная на время совместной работы: $1 / \frac{15}{4} = \frac{4}{15}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{15}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{4}{15}$
$\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{4}{15}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$15(2x+4) = 4(x^2+4x)$
$30x + 60 = 4x^2 + 16x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0$
$4x^2 - 14x - 60 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$2x^2 - 7x - 30 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Поскольку время не может быть отрицательным, корень $x_2$ не подходит.
Таким образом, время выполнения задания первым рабочим составляет $x = 6$ часов.
Время выполнения задания вторым рабочим составляет $x + 4 = 6 + 4 = 10$ часов.
Ответ: первому рабочему потребуется 6 часов, а второму — 10 часов.

2) Примем все поле за 1. Пусть первый (более быстрый) тракторист вспахивает поле за $x$ часов. По условию, он делает это на 24 часа быстрее, чем второй, значит, второй тракторист вспахивает поле за $(x+24)$ часов.
Производительность первого тракториста составляет $\frac{1}{x}$ (часть поля в час), а второго — $\frac{1}{x+24}$ (часть поля в час).
Работая вместе, они вспахивают поле за 35 часов.
Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}$.
С другой стороны, совместная производительность равна $1/35$ (часть поля в час).
Составим и решим уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{x+24+x}{x(x+24)} = \frac{1}{35}$
$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{1}{35}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$35(2x+24) = 1(x^2+24x)$
$70x + 840 = x^2 + 24x$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$x^2 + 24x - 70x - 840 = 0$
$x^2 - 46x - 840 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 2116 + 3360 = 5476$.
$\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 + 74}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 - 74}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14$
Время не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2$ не является решением задачи.
Следовательно, время работы первого тракториста составляет $x = 60$ часов.
Время работы второго тракториста составляет $x + 24 = 60 + 24 = 84$ часа.
Ответ: первому трактористу потребуется 60 часов, а второму — 84 часа.

4.6. 1) Из пунктов А и В, длина пути между которыми по шоссе равна 180 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста и встретились через 3 ч. Один из них прибыл в пункт А через 2 ч после встречи, второй — в пункт В через 4,5 ч. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

2) Длина пути по шоссе между двумя городами равна 480 км. Легковой автомобиль проходит этот путь на 2 ч быстрее, чем автобус. Если легковой автомобиль уменьшит скорость на 5 км/ч, то этот путь он пройдет на 1,6 ч быстрее, чем автобус. Найдите скорость автобуса и автомобиля.

1)

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта А, и $v_2$ (км/ч) — скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта В. Расстояние между пунктами A и B равно $S = 180$ км.

Мотоциклисты двигались навстречу друг другу и встретились через 3 часа. За это время они вместе проехали все расстояние. Скорость их сближения равна $v_1 + v_2$.

Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 180$

$v_1 + v_2 = \frac{180}{3}$

$v_1 + v_2 = 60$

До момента встречи первый мотоциклист (из А) проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 3 = 3v_1$ км. Второй мотоциклист (из B) проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot 3 = 3v_2$ км.

После встречи мотоциклист, выехавший из В, прибыл в пункт А через 2 часа. Это значит, что он проехал оставшееся расстояние $S_1$ со скоростью $v_2$ за 2 часа.

$S_1 = v_2 \cdot 2 \implies 3v_1 = 2v_2$

Второй мотоциклист, выехавший из А, прибыл в пункт В через 4,5 часа после встречи. Это значит, что он проехал оставшееся расстояние $S_2$ со скоростью $v_1$ за 4,5 часа.

$S_2 = v_1 \cdot 4,5 \implies 3v_2 = 4,5v_1$ (Это уравнение является следствием предыдущего: $v_2 = \frac{4,5}{3}v_1 = 1,5v_1$, что то же самое, что и $3v_1 = 2v_2$).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 60 \\ 3v_1 = 2v_2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_2$:

$v_2 = \frac{3}{2}v_1 = 1,5v_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$v_1 + 1,5v_1 = 60$

$2,5v_1 = 60$

$v_1 = \frac{60}{2,5} = \frac{600}{25} = 24$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго мотоциклиста:

$v_2 = 1,5 \cdot v_1 = 1,5 \cdot 24 = 36$ км/ч.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 24 км/ч, скорость другого — 36 км/ч.

2)

Пусть $v_а$ (км/ч) — скорость легкового автомобиля, а $v_б$ (км/ч) — скорость автобуса. Расстояние между городами $S = 480$ км.

Время, за которое автомобиль проходит этот путь, равно $t_а = \frac{480}{v_а}$. Время, за которое автобус проходит этот путь, равно $t_б = \frac{480}{v_б}$.

По условию, легковой автомобиль проходит этот путь на 2 часа быстрее, чем автобус:

$t_а = t_б - 2$

$\frac{480}{v_а} = \frac{480}{v_б} - 2$ (1)

Если легковой автомобиль уменьшит скорость на 5 км/ч, его новая скорость станет $v_а - 5$. Время в пути станет $t'_а = \frac{480}{v_а - 5}$.

В этом случае он пройдет путь на 1,6 часа быстрее, чем автобус:

$t'_а = t_б - 1,6$

$\frac{480}{v_а - 5} = \frac{480}{v_б} - 1,6$ (2)

Получили систему из двух уравнений. Выразим $\frac{480}{v_б}$ из первого уравнения:

$\frac{480}{v_б} = \frac{480}{v_а} + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{480}{v_а - 5} = \left(\frac{480}{v_а} + 2\right) - 1,6$

$\frac{480}{v_а - 5} = \frac{480}{v_а} + 0,4$

Перенесем слагаемое с $v_а$ в левую часть:

$\frac{480}{v_а - 5} - \frac{480}{v_а} = 0,4$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{480v_а - 480(v_а - 5)}{v_а(v_а - 5)} = 0,4$

$\frac{480v_а - 480v_а + 2400}{v_а^2 - 5v_а} = 0,4$

$\frac{2400}{v_а^2 - 5v_а} = 0,4$

Используя свойство пропорции, получаем:

$0,4(v_а^2 - 5v_а) = 2400$

$v_а^2 - 5v_а = \frac{2400}{0,4} = \frac{24000}{4} = 6000$

$v_а^2 - 5v_а - 6000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6000) = 25 + 24000 = 24025$

$\sqrt{D} = \sqrt{24025} = 155$

$v_а = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 155}{2}$

Первый корень: $v_{а1} = \frac{5 + 155}{2} = \frac{160}{2} = 80$ (км/ч).

Второй корень: $v_{а2} = \frac{5 - 155}{2} = -75$. Этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Итак, скорость автомобиля $v_а = 80$ км/ч.

Найдем скорость автобуса $v_б$ из уравнения (1):

$\frac{480}{80} = \frac{480}{v_б} - 2$

$6 = \frac{480}{v_б} - 2$

$8 = \frac{480}{v_б}$

$v_б = \frac{480}{8} = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса 60 км/ч, скорость автомобиля 80 км/ч.

4.7. 1) Из пунктов A и B, длина пути между которыми по шоссе равна 80 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один из них прибыл в пункт A через 20 мин после встречи, второй — в пункт B через 45 мин после встречи. Найдите скорость каждого автомобиля.

2) Из двух железнодорожных станций, длина пути между которыми равна 270 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 3 ч. На станцию назначения один поезд прибывает на 1 ч 21 мин раньше, чем другой. Найдите скорости поездов.

1)

Пусть $v_1$ (в км/ч) — скорость автомобиля, выехавшего из пункта А, а $v_2$ (в км/ч) — скорость автомобиля, выехавшего из пункта В. Пусть автомобили встретились в пункте С через $t$ часов после выезда.

Расстояние от А до В равно $S = 80$ км. До места встречи С первый автомобиль проехал расстояние $S_{AC} = v_1 t$, а второй — $S_{BC} = v_2 t$. Вместе они проехали все расстояние: $S_{AC} + S_{BC} = S$, то есть $v_1 t + v_2 t = 80$.

После встречи первому автомобилю (который ехал из А в В) осталось проехать расстояние $S_{BC}$, и он сделал это за 45 минут. Второй автомобиль (который ехал из В в А) проехал оставшееся расстояние $S_{AC}$ за 20 минут.

Переведем время в часы:

$t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$

$t_2 = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Теперь мы можем выразить расстояния $S_{AC}$ и $S_{BC}$ через скорости и время, затраченное после встречи:

$S_{BC} = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{3}{4}$

$S_{AC} = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{1}{3}$

Теперь приравняем выражения для расстояний, полученные до и после встречи:

$v_2 t = v_1 \cdot \frac{3}{4}$

$v_1 t = v_2 \cdot \frac{1}{3}$

Выразим $t$ из обоих уравнений:

$t = \frac{3v_1}{4v_2}$ и $t = \frac{v_2}{3v_1}$

Приравняем правые части:

$\frac{3v_1}{4v_2} = \frac{v_2}{3v_1}$

$9v_1^2 = 4v_2^2$

Так как скорости положительны, извлекаем квадратный корень: $3v_1 = 2v_2$, откуда $v_2 = \frac{3}{2}v_1 = 1.5v_1$.

Теперь используем условие, что полное расстояние равно 80 км:

$S = S_{AC} + S_{BC} = v_2 \cdot \frac{1}{3} + v_1 \cdot \frac{3}{4} = 80$

Подставим выражение для $v_2$ в это уравнение:

$(\frac{3}{2}v_1) \cdot \frac{1}{3} + v_1 \cdot \frac{3}{4} = 80$

$\frac{1}{2}v_1 + \frac{3}{4}v_1 = 80$

$\frac{2}{4}v_1 + \frac{3}{4}v_1 = 80$

$\frac{5}{4}v_1 = 80$

$v_1 = 80 \cdot \frac{4}{5} = 16 \cdot 4 = 64$ (км/ч)

Теперь найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = 1.5 \cdot v_1 = 1.5 \cdot 64 = 96$ (км/ч)

Таким образом, скорость одного автомобиля 64 км/ч, а другого — 96 км/ч.

Ответ: Скорость одного автомобиля 64 км/ч, скорость второго автомобиля 96 км/ч.

2)

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поездов соответственно (в км/ч). Общее расстояние между станциями $S = 270$ км.

Поезда движутся навстречу друг другу и встречаются через 3 часа. Их скорость сближения равна $v_1 + v_2$. За 3 часа они вместе проходят все расстояние:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 270$

Отсюда получаем первое уравнение:

$v_1 + v_2 = 90$

Пусть первый поезд отправился со станции А, а второй — со станции В. Место их встречи — точка С. Расстояния, которые они проехали до встречи:

$S_{AC} = v_1 \cdot 3 = 3v_1$

$S_{BC} = v_2 \cdot 3 = 3v_2$

После встречи первому поезду осталось проехать расстояние $S_{BC}$, а второму — $S_{AC}$. Время, которое они на это затратили:

Время первого поезда до станции В: $t_1 = \frac{S_{BC}}{v_1} = \frac{3v_2}{v_1}$

Время второго поезда до станции А: $t_2 = \frac{S_{AC}}{v_2} = \frac{3v_1}{v_2}$

Один поезд прибывает на 1 ч 21 мин раньше другого. Переведем это время в часы:

$1 \text{ ч } 21 \text{ мин} = 1 + \frac{21}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{7}{20} \text{ ч} = \frac{27}{20} \text{ ч}$

Разница во времени прибытия составляет $|t_1 - t_2| = \frac{27}{20}$. Допустим, $v_1 > v_2$, тогда $t_2 > t_1$.

$t_2 - t_1 = \frac{3v_1}{v_2} - \frac{3v_2}{v_1} = \frac{27}{20}$

$3 \left( \frac{v_1}{v_2} - \frac{v_2}{v_1} \right) = \frac{27}{20}$

$\frac{v_1}{v_2} - \frac{v_2}{v_1} = \frac{9}{20}$

Сделаем замену: пусть $x = \frac{v_1}{v_2}$. Тогда уравнение примет вид:

$x - \frac{1}{x} = \frac{9}{20}$

Умножим обе части на $20x$ (так как $x > 0$):

$20x^2 - 20 = 9x$

$20x^2 - 9x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-20) = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$.

$x = \frac{9 \pm \sqrt{1681}}{2 \cdot 20} = \frac{9 \pm 41}{40}$

Поскольку отношение скоростей $x$ должно быть положительным, выбираем корень со знаком плюс:

$x = \frac{9+41}{40} = \frac{50}{40} = \frac{5}{4}$

Итак, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{4}$, откуда $v_1 = \frac{5}{4}v_2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ v_1 = \frac{5}{4}v_2 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{5}{4}v_2 + v_2 = 90$

$\frac{9}{4}v_2 = 90$

$v_2 = 90 \cdot \frac{4}{9} = 10 \cdot 4 = 40$ (км/ч)

Найдем скорость первого поезда:

$v_1 = 90 - v_2 = 90 - 40 = 50$ (км/ч)

Ответ: Скорость одного поезда 50 км/ч, скорость другого поезда 40 км/ч.

1. Какие формулы носят название формул приведения?

2. Надо ли запоминать отдельно каждую формулу приведения?

3. В каком случае при использовании формул приведения тригонометрическая функция меняется на противоположную функцию?

1. Какие формулы носят название формул приведения?

Формулами приведения называют тригонометрические тождества, которые позволяют выразить значение тригонометрической функции от произвольного угла через значение тригонометрической функции от острого угла (угла из первой четверти, от $0$ до $\frac{\pi}{2}$). Эти формулы предназначены для упрощения тригонометрических выражений и вычисления значений функций для углов, которые не принадлежат первой четверти.

Общий вид аргумента в таких формулах — $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$ или $(n \cdot 90^\circ \pm \alpha)$, где $n$ — целое число, а $\alpha$ — острый угол. Название «приведение» отражает суть этих формул: они «приводят» сложный угол к простому.

Примеры формул приведения:

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$

$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$

$\tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot(\alpha)$

Ответ: Формулы приведения — это формулы, которые позволяют свести вычисление тригонометрической функции от угла вида $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$ к вычислению функции от острого угла $\alpha$.

2. Надо ли запоминать отдельно каждую формулу приведения?

Нет, запоминать все формулы приведения (а их более 30) не только не нужно, но и неэффективно. Вместо этого существует простое и универсальное мнемоническое правило, которое позволяет вывести любую из этих формул за несколько секунд. Это правило состоит из двух шагов:

1. Определение знака. Знак у итоговой функции такой же, как и у исходной функции в той координатной четверти, где находится угол $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$. При этом угол $\alpha$ условно считается острым. Например, для $\sin(\pi + \alpha)$ угол $(\pi + \alpha)$ находится в III четверти, где синус отрицателен, поэтому в результате будет стоять знак «минус».

2. Определение названия функции. Здесь используется так называемое "правило лошади". Мысленно проведите по тригонометрическому кругу от опорного угла ($\frac{\pi n}{2}$):

- Если опорный угол лежит на горизонтальной оси ($\pi$, $2\pi$, ... или $180^\circ, 360^\circ, ...$), то мы как бы качаем головой вдоль этой оси, говоря "нет". Это означает, что название функции не меняется (синус остается синусом, косинус — косинусом и т.д.).

- Если опорный угол лежит на вертикальной оси ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, ... или $90^\circ, 270^\circ, ...$), то мы как бы киваем головой вдоль этой оси, говоря "да". Это означает, что название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Таким образом, вместо заучивания десятков формул достаточно понять и запомнить одно общее правило.

Ответ: Нет, запоминать каждую формулу приведения не надо. Достаточно освоить общее мнемоническое правило для их вывода.

3. В каком случае при использовании формул приведения тригонометрическая функция меняется на противоположную функцию?

Тригонометрическая функция меняется на «противоположную» (более корректный термин — кофункция) в том случае, когда приведение выполняется от углов, расположенных на вертикальной оси тригонометрического круга. Такими углами являются $\frac{\pi}{2}~(90^\circ)$, $\frac{3\pi}{2}~(270^\circ)$ и все углы, получаемые из них добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k$ или $360^\circ k$).

В общем виде, если аргумент функции представлен как $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$, то функция меняется на кофункцию, когда множитель $n$ является нечетным числом (n = 1, 3, 5, ...).

При этом происходят следующие замены:

- $\sin$ меняется на $\cos$

- $\cos$ меняется на $\sin$

- $\tan$ меняется на $\cot$

- $\cot$ меняется на $\tan$

Например, в формуле $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$ функция косинус меняется на синус, так как опорный угол $\frac{\pi}{2}$ соответствует нечетному $n=1$. В то же время, в формуле $\tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha)$ функция не меняется, так как опорный угол $\pi = \frac{2\pi}{2}$ соответствует четному $n=2$.

Ответ: Тригонометрическая функция меняется на кофункцию, если в аргументе вида $(\frac{\pi n}{2} \pm \alpha)$ число $n$ является нечетным, то есть приведение выполняется от углов $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$ и т.д.

23.1. Приведите к тригонометрической функции угла $\alpha$ выражение:

1) $sin(90^\circ - \alpha)$;

2) $cos(90^\circ - \alpha)$;

3) $sin(180^\circ - \alpha)$;

4) $cos(180^\circ - \alpha)$;

5) $sin(270^\circ + \alpha)$;

6) $cos(270^\circ - \alpha)$;

7) $sin(360^\circ - \alpha)$;

8) $cos(360^\circ + \alpha)$;

9) $ctg(180^\circ - \alpha)$;

10) $tg(90^\circ + \alpha)$;

11) $ctg(270^\circ - \alpha)$;

12) $tg(360^\circ - \alpha)$.

1) Для упрощения выражения $\sin(90^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Определяем, меняется ли функция. Так как в формуле участвует угол $90^\circ$, который лежит на вертикальной оси, то функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.
2. Определяем знак. Будем считать угол $\alpha$ острым. Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти, где значение синуса положительно. Значит, перед полученной функцией будет стоять знак «+».
Таким образом, $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$

2) Для упрощения выражения $\cos(90^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\cos$ на $\sin$), так как в формуле участвует угол $90^\circ$.
2. Угол $90^\circ - \alpha$ находится в I четверти, где косинус положителен. Значит, знак «+».
Таким образом, $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$

3) Для упрощения выражения $\sin(180^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $180^\circ$, который лежит на горизонтальной оси.
2. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен. Значит, знак «+».
Таким образом, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$

4) Для упрощения выражения $\cos(180^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $180^\circ$.
2. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$

5) Для упрощения выражения $\sin(270^\circ + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\sin$ на $\cos$), так как в формуле участвует угол $270^\circ$ (вертикальная ось).
2. Угол $270^\circ + \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\sin(270^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Ответ: $-\cos(\alpha)$

6) Для упрощения выражения $\cos(270^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\cos$ на $\sin$), так как в формуле участвует угол $270^\circ$.
2. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\cos(270^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$

7) Для упрощения выражения $\sin(360^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $360^\circ$ (горизонтальная ось).
2. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$

8) Для упрощения выражения $\cos(360^\circ + \alpha)$ используется свойство периодичности косинуса.
Период функции косинус равен $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), поэтому $\cos(360^\circ + \alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$

9) Для упрощения выражения $\text{ctg}(180^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $180^\circ$.
2. Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

10) Для упрощения выражения $\text{tg}(90^\circ + \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\text{tg}$ на $\text{ctg}$), так как в формуле участвует угол $90^\circ$.
2. Угол $90^\circ + \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$.
Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

11) Для упрощения выражения $\text{ctg}(270^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция меняется на кофункцию (с $\text{ctg}$ на $\text{tg}$), так как в формуле участвует угол $270^\circ$.
2. Угол $270^\circ - \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Значит, знак «+».
Таким образом, $\text{ctg}(270^\circ - \alpha) = \text{tg}(\alpha)$.
Ответ: $\text{tg}(\alpha)$

12) Для упрощения выражения $\text{tg}(360^\circ - \alpha)$ применяются формулы приведения.
1. Функция не меняется, так как в формуле участвует угол $360^\circ$.
2. Угол $360^\circ - \alpha$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Значит, знак «-».
Таким образом, $\text{tg}(360^\circ - \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$.
Ответ: $-\text{tg}(\alpha)$