Номер 22.17, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.17. Известно, что $ \text{ctg} \alpha = 3 $. Найдите:

1) $ \frac{4\cos\alpha - \sin\alpha}{2\sin\alpha + \cos\alpha}; $

2) $ \frac{4\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}; $

3) $ \frac{5\cos\alpha - 9\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 5\cos^3\alpha}; $

4) $ \frac{\sin\alpha\cos\alpha - 3\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha}. $

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{4\cos\alpha - \sin\alpha}{2\sin\alpha + \cos\alpha}$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin\alpha$. Это возможно, так как если $\sin\alpha = 0$, то $\text{ctg }\alpha$ не был бы определен, что противоречит условию $\text{ctg }\alpha = 3$.

$\frac{4\cos\alpha - \sin\alpha}{2\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{4\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{4\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}}{2\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{4\text{ctg }\alpha - 1}{2 + \text{ctg }\alpha}$

Подставим известное значение $\text{ctg }\alpha = 3$:

$\frac{4 \cdot 3 - 1}{2 + 3} = \frac{12 - 1}{5} = \frac{11}{5}$

Ответ: $\frac{11}{5}$

2) Аналогично первому пункту, разделим числитель и знаменатель выражения $\frac{4\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}$ на $\sin\alpha$:

$\frac{4\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 2\cos\alpha} = \frac{\frac{4\cos\alpha + 6\sin\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{3\sin\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{4\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + 6\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha}}{3\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} - 2\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{4\text{ctg }\alpha + 6}{3 - 2\text{ctg }\alpha}$

Подставим значение $\text{ctg }\alpha = 3$:

$\frac{4 \cdot 3 + 6}{3 - 2 \cdot 3} = \frac{12 + 6}{3 - 6} = \frac{18}{-3} = -6$

Ответ: $-6$

3) Выражение $\frac{5\cos\alpha - 9\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 5\cos^3\alpha}$ не является однородным. Чтобы его решить, преобразуем дробь. Разделим числитель и знаменатель на $\cos^3\alpha$. Это возможно, так как если $\cos\alpha = 0$, то $\text{ctg }\alpha = 0$, что противоречит условию.

$\frac{5\cos\alpha - 9\sin\alpha}{\sin^3\alpha + 5\cos^3\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha - 9\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha + 5\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{5\frac{\cos\alpha}{\cos^3\alpha} - 9\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} + 5\frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{5\frac{1}{\cos^2\alpha} - 9\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{1}{\cos^2\alpha}}{\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^3 + 5} = \frac{5\sec^2\alpha - 9\tan\alpha\sec^2\alpha}{\tan^3\alpha + 5}$

Известно, что $\text{ctg }\alpha = 3$, тогда $\tan\alpha = \frac{1}{\text{ctg }\alpha} = \frac{1}{3}$.

Используем основное тригонометрическое тождество в виде $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$.

$\sec^2\alpha = 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$

Подставим значения $\tan\alpha$ и $\sec^2\alpha$ в преобразованное выражение:

$\frac{5 \cdot \frac{10}{9} - 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{9}}{\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 5} = \frac{\frac{50}{9} - \frac{30}{9}}{\frac{1}{27} + 5} = \frac{\frac{20}{9}}{\frac{1+135}{27}} = \frac{\frac{20}{9}}{\frac{136}{27}} = \frac{20}{9} \cdot \frac{27}{136} = \frac{20 \cdot 3}{136} = \frac{60}{136} = \frac{15}{34}$

Ответ: $\frac{15}{34}$

4) В выражении $\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 3\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha}$ числитель и знаменатель являются однородными многочленами второй степени. Разделим числитель и знаменатель на $\sin^2\alpha$:

$\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 3\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha - 3\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - 3}{3 + 5\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\text{ctg }\alpha - 3}{3 + 5(\text{ctg }\alpha)^2}$

Подставим значение $\text{ctg }\alpha = 3$:

$\frac{3 - 3}{3 + 5 \cdot 3^2} = \frac{0}{3 + 5 \cdot 9} = \frac{0}{3 + 45} = \frac{0}{48} = 0$

Ответ: $0$