Номер 22.10, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.10. Докажите, что не зависит от переменной значение выражения:

1) $ \frac{2\sin x \cos x - 1}{(\sin x - \cos x)^2} $

2) $ \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 x} + \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 x} $

3) $ \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha} $

4) $ \frac{1}{1 - \operatorname{tg}^2 x} + \frac{1}{1 - \operatorname{ctg}^2 x} $

1) Упростим данное выражение. Раскроем квадрат разности в знаменателе, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получим:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) - 2\sin x \cos x = 1 - 2\sin x \cos x$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{2\sin x \cos x - 1}{1 - 2\sin x \cos x}$.

Вынесем $-1$ за скобки в числителе:

$\frac{-(1 - 2\sin x \cos x)}{1 - 2\sin x \cos x}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю (т.е. $1 - 2\sin x \cos x \neq 0$), мы можем сократить дробь. В результате получаем $-1$. Значение выражения является константой и не зависит от переменной $x$.
Ответ: $-1$.

2) Для упрощения выражения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

$1 + \ctg^2 x = \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

$1 + \tg^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$\frac{1}{1 + \ctg^2 x} + \frac{1}{1 + \tg^2 x} = \frac{1}{\csc^2 x} + \frac{1}{\sec^2 x} = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 x}} + \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}}$.

Упростив дроби, получим:

$\sin^2 x + \cos^2 x$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значение выражения равно $1$ и не зависит от переменной $x$.
Ответ: $1$.

3) Упростим данное выражение. Знаменатель $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$ является разностью квадратов. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда знаменатель равен:

$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

Подставим упрощенный знаменатель в исходное выражение:

$\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем дробь и получаем $1$. Значение выражения является константой и не зависит от переменной $\alpha$.
Ответ: $1$.

4) Упростим данное выражение. Выразим котангенс через тангенс, используя тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$:

$\frac{1}{1 - \tg^2 x} + \frac{1}{1 - \ctg^2 x} = \frac{1}{1 - \tg^2 x} + \frac{1}{1 - \frac{1}{\tg^2 x}}$.

Преобразуем второе слагаемое:

$\frac{1}{1 - \frac{1}{\tg^2 x}} = \frac{1}{\frac{\tg^2 x - 1}{\tg^2 x}} = \frac{\tg^2 x}{\tg^2 x - 1}$.

Подставим его обратно в выражение:

$\frac{1}{1 - \tg^2 x} + \frac{\tg^2 x}{\tg^2 x - 1}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, вынесем $-1$ из знаменателя второй дроби:

$\frac{1}{1 - \tg^2 x} + \frac{\tg^2 x}{-(1 - \tg^2 x)} = \frac{1}{1 - \tg^2 x} - \frac{\tg^2 x}{1 - \tg^2 x}$.

Теперь вычтем дроби:

$\frac{1 - \tg^2 x}{1 - \tg^2 x}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем дробь и получаем $1$. Значение выражения является константой и не зависит от переменной $x$.
Ответ: $1$.