Номер 22.15, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.15. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}$;

2) $\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha} + \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}$;

3) $\sin(-\alpha) \cdot \operatorname{ctg}\alpha + \cos(-\alpha) = 0$;

4) $\cos\alpha \cdot \operatorname{tg}(-\alpha) - \sin(-\alpha) = 0$.

1) Для доказательства данного "тождества" преобразуем его левую часть. Заменим котангенс по определению: $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$.
$\frac{cosα}{1 - sinα} + ctgα = \frac{cosα}{1 - sinα} + \frac{cosα}{sinα}$
Приведем слагаемые к общему знаменателю $sinα(1 - sinα)$:
$\frac{cosα \cdot sinα + cosα \cdot (1 - sinα)}{sinα(1 - sinα)}$
Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$\frac{cosα \cdot sinα + cosα - cosα \cdot sinα}{sinα(1 - sinα)} = \frac{cosα}{sinα(1 - sinα)}$
Полученное выражение $\frac{cosα}{sinα(1 - sinα)}$ не равно правой части $\frac{1}{sinα}$. Равенство было бы верным, если бы $cosα = 1 - sinα$, что не является тождеством (например, не выполняется для $α = \frac{π}{4}$).
Можно также привести контрпример. Пусть $α = \frac{π}{6}$, тогда $sinα = \frac{1}{2}$, $cosα = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $ctgα = \sqrt{3}$.
Левая часть: $\frac{\sqrt{3}/2}{1 - 1/2} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Правая часть: $\frac{1}{sin(π/6)} = \frac{1}{1/2} = 2$.
Так как $2\sqrt{3} \ne 2$, исходное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.
Ответ: Тождество неверно. Левая часть равна $\frac{cosα}{sinα(1 - sinα)}$, а правая $\frac{1}{sinα}$.

2) Преобразуем левую часть тождества. Заменим тангенс по определению: $tgα = \frac{sinα}{cosα}$.
$\frac{cosα}{1 + sinα} + tgα = \frac{cosα}{1 + sinα} + \frac{sinα}{cosα}$
Приведем дроби к общему знаменателю $cosα(1 + sinα)$:
$\frac{cosα \cdot cosα + sinα \cdot (1 + sinα)}{cosα(1 + sinα)} = \frac{cos^2α + sinα + sin^2α}{cosα(1 + sinα)}$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2α + cos^2α = 1$ в числителе:
$\frac{(sin^2α + cos^2α) + sinα}{cosα(1 + sinα)} = \frac{1 + sinα}{cosα(1 + sinα)}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 + sinα)$, при условии, что $1 + sinα \ne 0$ (т.е. $sinα \ne -1$):
$\frac{1}{cosα}$
Мы преобразовали левую часть к правой. Тождество доказано.
Ответ: $\frac{1}{cosα} = \frac{1}{cosα}$.

3) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: синус — функция нечетная ($sin(-α) = -sinα$), а косинус — функция четная ($cos(-α) = cosα$).
$sin(-α) \cdot ctgα + cos(-α) = -sinα \cdot ctgα + cosα$
Заменим $ctgα$ на отношение $\frac{cosα}{sinα}$:
$-sinα \cdot \frac{cosα}{sinα} + cosα$
Сократим $sinα$ (при условии, что $sinα \ne 0$):
$-cosα + cosα = 0$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $0 = 0$.

4) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства нечетности функций тангенса и синуса: $tg(-α) = -tgα$ и $sin(-α) = -sinα$.
$cosα \cdot tg(-α) - sin(-α) = cosα \cdot (-tgα) - (-sinα) = -cosα \cdot tgα + sinα$
Заменим $tgα$ на отношение $\frac{sinα}{cosα}$:
$-cosα \cdot \frac{sinα}{cosα} + sinα$
Сократим $cosα$ (при условии, что $cosα \ne 0$):
$-sinα + sinα = 0$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $0 = 0$.