Номер 22.22, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.22. Существует ли угол $\alpha$, для которого верно равенство:

1) $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{5}$;

2) $\sin\alpha = \frac{5}{8}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{8}$;

3) $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{4}$;

4) $\text{tg}\alpha = 1,4$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{5}{7}$;

5) $\text{tg}\alpha = -2,4$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{5}{12}$;

6) $\text{tg}\alpha = \sqrt{3}$ и $\text{ctg}\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$?

1) Для проверки существования угла $\alpha$, для которого верны равенства $sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $cos\alpha = \frac{3}{5}$, используется основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Подставим в него заданные значения:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{16 + 9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Так как тождество выполняется ($1 = 1$), такой угол существует.
Ответ: да, существует.

2) Проверим, существует ли угол $\alpha$ с $sin\alpha = \frac{5}{8}$ и $cos\alpha = \frac{3}{8}$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (\frac{5}{8})^2 + (\frac{3}{8})^2 = \frac{25}{64} + \frac{9}{64} = \frac{25 + 9}{64} = \frac{34}{64}$.
Равенство не выполняется, так как $\frac{34}{64} \neq 1$.
Ответ: нет, не существует.

3) Проверим равенства $sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $cos\alpha = -\frac{3}{4}$, используя тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (\frac{4}{5})^2 + (-\frac{3}{4})^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{16}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $25 \cdot 16 = 400$:
$\frac{16 \cdot 16}{400} + \frac{9 \cdot 25}{400} = \frac{256}{400} + \frac{225}{400} = \frac{481}{400}$.
Равенство не выполняется, так как $\frac{481}{400} \neq 1$.
Ответ: нет, не существует.

4) Для проверки равенств $tg\alpha = 1,4$ и $ctg\alpha = \frac{5}{7}$ используется тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Подставим значения в тождество:
$tg\alpha \cdot ctg\alpha = \frac{7}{5} \cdot \frac{5}{7} = 1$.
Тождество выполняется. Также знаки тангенса и котангенса совпадают (оба положительные), что является необходимым условием.
Ответ: да, существует.

5) Проверим равенства $tg\alpha = -2,4$ и $ctg\alpha = \frac{5}{12}$.
Для любого угла $\alpha$ тангенс и котангенс должны иметь одинаковые знаки, так как $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$. В данном случае $tg\alpha = -2,4$ (отрицательный), а $ctg\alpha = \frac{5}{12}$ (положительный). Поскольку знаки разные, такой угол не может существовать.
Можно также проверить тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
$-2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}$.
$tg\alpha \cdot ctg\alpha = (-\frac{12}{5}) \cdot \frac{5}{12} = -1$.
Так как $-1 \neq 1$, тождество не выполняется.
Ответ: нет, не существует.

6) Проверим равенства $tg\alpha = \sqrt{3}$ и $ctg\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Тангенс и котангенс должны иметь одинаковые знаки. Здесь $tg\alpha > 0$, а $ctg\alpha < 0$. Разные знаки означают, что такой угол не существует.
Проверим тождество $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$:
$tg\alpha \cdot ctg\alpha = \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{(\sqrt{3})^2}{3} = -\frac{3}{3} = -1$.
Поскольку $-1 \neq 1$, тождество не выполняется.
Ответ: нет, не существует.