Номер 22.25, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.25. Известно, что $\sin \beta + \cos \beta = 0,6$. Найдите значение выражения:

1) $\sin \beta - \cos \beta$;

2) $\sin^3 \beta + \cos^3 \beta$;

3) $\sin^4 \beta + \cos^4 \beta$;

4) $\sin^6 \beta + \cos^6 \beta$.

Для решения всех пунктов задачи сначала найдем значение произведения $sin \beta cos \beta$. Из данного условия $sin \beta + cos \beta = 0,6$ путем возведения обеих частей равенства в квадрат получаем:
$(sin \beta + cos \beta)^2 = 0,6^2$
$sin^2 \beta + 2 sin \beta cos \beta + cos^2 \beta = 0,36$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$, имеем:
$1 + 2 sin \beta cos \beta = 0,36$
$2 sin \beta cos \beta = 0,36 - 1 = -0,64$
$sin \beta cos \beta = -0,32$

1) sinβ - cosβ;
Пусть искомое значение равно $x$, то есть $x = sin \beta - cos \beta$. Возведем это выражение в квадрат:
$x^2 = (sin \beta - cos \beta)^2 = sin^2 \beta - 2 sin \beta cos \beta + cos^2 \beta$
$x^2 = (sin^2 \beta + cos^2 \beta) - 2 sin \beta cos \beta = 1 - 2 sin \beta cos \beta$
Подставим ранее найденное значение $2 sin \beta cos \beta = -0,64$:
$x^2 = 1 - (-0,64) = 1 + 0,64 = 1,64$
Следовательно, $x = \pm\sqrt{1,64}$. Так как нет дополнительной информации об угле $\beta$, возможны два значения.
Ответ: $\pm\sqrt{1,64}$.

2) sin³β + cos³β;
Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$sin^3 \beta + cos^3 \beta = (sin \beta + cos \beta)(sin^2 \beta - sin \beta cos \beta + cos^2 \beta)$
$sin^3 \beta + cos^3 \beta = (sin \beta + cos \beta)((sin^2 \beta + cos^2 \beta) - sin \beta cos \beta)$
Подставим известные значения $sin \beta + cos \beta = 0,6$ и $sin \beta cos \beta = -0,32$:
$sin^3 \beta + cos^3 \beta = 0,6 \cdot (1 - (-0,32)) = 0,6 \cdot (1 + 0,32) = 0,6 \cdot 1,32 = 0,792$.
Ответ: $0,792$.

3) sin⁴β + cos⁴β;
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:
$sin^4 \beta + cos^4 \beta = (sin^2 \beta)^2 + (cos^2 \beta)^2 = (sin^2 \beta + cos^2 \beta)^2 - 2 sin^2 \beta cos^2 \beta$
$sin^4 \beta + cos^4 \beta = 1^2 - 2(sin \beta cos \beta)^2$
Подставим значение $sin \beta cos \beta = -0,32$:
$sin^4 \beta + cos^4 \beta = 1 - 2(-0,32)^2 = 1 - 2(0,1024) = 1 - 0,2048 = 0,7952$.
Ответ: $0,7952$.

4) sin⁶β + cos⁶β;
Представим выражение как сумму кубов для квадратов: $sin^6 \beta + cos^6 \beta = (sin^2 \beta)^3 + (cos^2 \beta)^3$.
Применим формулу суммы кубов:
$sin^6 \beta + cos^6 \beta = (sin^2 \beta + cos^2 \beta)((sin^2 \beta)^2 - sin^2 \beta cos^2 \beta + (cos^2 \beta)^2)$
$sin^6 \beta + cos^6 \beta = 1 \cdot (sin^4 \beta + cos^4 \beta - (sin \beta cos \beta)^2)$
Подставим значения, найденные ранее: $sin^4 \beta + cos^4 \beta = 0,7952$ и $sin \beta cos \beta = -0,32$:
$sin^6 \beta + cos^6 \beta = 0,7952 - (-0,32)^2 = 0,7952 - 0,1024 = 0,6928$.
Ответ: $0,6928$.