Номер 22.23, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.23. Найдите значение выражения $ctg^2 \beta + \frac{1}{\cos\beta \cdot \sin\beta} + tg^2 \beta$, если $ctg \beta + tg \beta = 4$.

Для нахождения значения выражения, мы преобразуем его части, используя данное условие $\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta = 4$.

Сначала преобразуем сумму котангенса и тангенса, выразив их через синус и косинус:

$\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\cos^2\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta \cdot \cos\beta}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, получаем:

$\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta = \frac{1}{\sin\beta \cdot \cos\beta}$

Так как по условию $\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta = 4$, то мы можем заключить, что:

$\frac{1}{\sin\beta \cdot \cos\beta} = 4$

Теперь мы знаем значение среднего слагаемого в искомом выражении.

Далее, найдем значение суммы $\text{ctg}^2\beta + \text{tg}^2\beta$. Для этого возведем в квадрат обе части исходного равенства:

$(\text{ctg}\beta + \text{tg}\beta)^2 = 4^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$\text{ctg}^2\beta + 2 \cdot \text{ctg}\beta \cdot \text{tg}\beta + \text{tg}^2\beta = 16$

Мы знаем, что произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице: $\text{ctg}\beta \cdot \text{tg}\beta = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$\text{ctg}^2\beta + 2 \cdot 1 + \text{tg}^2\beta = 16$

$\text{ctg}^2\beta + \text{tg}^2\beta = 16 - 2$

$\text{ctg}^2\beta + \text{tg}^2\beta = 14$

Теперь у нас есть значения для всех частей искомого выражения. Подставим их в исходное выражение:

$\text{ctg}^2\beta + \frac{1}{\cos\beta \cdot \sin\beta} + \text{tg}^2\beta = (\text{ctg}^2\beta + \text{tg}^2\beta) + \frac{1}{\cos\beta \cdot \sin\beta}$

Подставляем найденные значения $14$ и $4$:

$14 + 4 = 18$

Ответ: 18