Номер 22.24, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.24. Упростите выражение:

1) $1 - \sin^2 3\beta - \cos^2 3\beta;$

2) $\frac{(\sin^2 4\alpha - \cos^2 4\alpha)^2}{1 - 4\sin^2 4\alpha \cdot \cos^2 4\alpha};$

3) $2 - 2 \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha;$

4) $1 - 2\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \sin^6 \alpha - \cos^6 \alpha.$

1) Исходное выражение: $1 - \sin^2 3\beta - \cos^2 3\beta$.
Вынесем $-1$ за скобки у второго и третьего слагаемых: $1 - (\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, где $x = 3\beta$:
$1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$.

2) Исходное выражение: $\frac{(\sin^2 4\alpha - \cos^2 4\alpha)^2}{1 - 4\sin^2 4\alpha \cdot \cos^2 4\alpha}$.
Упростим числитель. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$\sin^2 4\alpha - \cos^2 4\alpha = -(\cos^2 4\alpha - \sin^2 4\alpha) = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha)$.
Тогда числитель равен $(-\cos(8\alpha))^2 = \cos^2(8\alpha)$.
Упростим знаменатель. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
$1 - 4\sin^2 4\alpha \cos^2 4\alpha = 1 - (2\sin 4\alpha \cos 4\alpha)^2 = 1 - (\sin(2 \cdot 4\alpha))^2 = 1 - \sin^2(8\alpha)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, откуда $1 - \sin^2 y = \cos^2 y$. При $y=8\alpha$ получаем $1 - \sin^2(8\alpha) = \cos^2(8\alpha)$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$\frac{\cos^2(8\alpha)}{\cos^2(8\alpha)} = 1$.
Ответ: $1$.

3) Исходное выражение: $2 - 2\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^4\alpha - \cos^4\alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $2 - (\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha + \cos^4\alpha)$.
Выражение в скобках является формулой квадрата суммы: $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$.

4) Исходное выражение: $1 - 2\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^6\alpha - \cos^6\alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $1 - (\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 2\sin^2\alpha \cos^2\alpha$.
Преобразуем сумму кубов $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \sin^2\alpha$ и $b=\cos^2\alpha$:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)((\sin^2\alpha)^2 - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2) = 1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha)$.
Преобразуем $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Тогда $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$1 - (1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 1 + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.