Номер 22.8, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.8. Докажите тождество:

1) $sin^2 x - cos^2 x = sin^4 x - cos^4 x;$

2) $(1 + cosa) (1 + tga ) = 1 + sina + cosa + tga;$

3) $(tgx + ctgx)^2 - (tgx - ctgx)^2 = 4;$

4) $(sina + cosa)^2 + (sina - cosa)^2 = 2;$

5) $sin^3 x (1 + ctgx) + cos^3 x (1 + tgx) = sinx + cosx;$

6) $\frac{(sina + cosa)^2 - 1}{ctga - sina cosa} = 2tg^2 a.$

1) Для доказательства тождества $sin^2 x - cos^2 x = sin^4 x - cos^4 x$ преобразуем его правую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$sin^4 x - cos^4 x = (sin^2 x)^2 - (cos^2 x)^2 = (sin^2 x - cos^2 x)(sin^2 x + cos^2 x)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2 x + cos^2 x = 1$.
$(sin^2 x - cos^2 x)(sin^2 x + cos^2 x) = (sin^2 x - cos^2 x) \cdot 1 = sin^2 x - cos^2 x$.
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(1 + cosa)(1 + tga) = 1 + sina + cosa + tga$ преобразуем его левую часть, раскрыв скобки.
$(1 + cosa)(1 + tga) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot tga + cosa \cdot 1 + cosa \cdot tga = 1 + tga + cosa + cosa \cdot tga$.
Используем определение тангенса $tga = \frac{sina}{cosa}$.
$1 + tga + cosa + cosa \cdot \frac{sina}{cosa} = 1 + tga + cosa + sina$.
Переставив слагаемые, получаем $1 + sina + cosa + tga$, что равно правой части тождества.
Ответ: тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(tgx + ctgx)^2 - (tgx - ctgx)^2 = 4$ используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$((tgx + ctgx) - (tgx - ctgx)) \cdot ((tgx + ctgx) + (tgx - ctgx))$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
Первая скобка: $tgx + ctgx - tgx + ctgx = 2ctgx$.
Вторая скобка: $tgx + ctgx + tgx - ctgx = 2tgx$.
Перемножим полученные выражения: $2ctgx \cdot 2tgx = 4 \cdot ctgx \cdot tgx$.
Так как $ctgx \cdot tgx = 1$, получаем $4 \cdot 1 = 4$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $(sina + cosa)^2 + (sina - cosa)^2 = 2$ раскроем скобки в левой части, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.
$(sina + cosa)^2 = sin^2a + 2sinacosa + cos^2a$.
$(sina - cosa)^2 = sin^2a - 2sinacosa + cos^2a$.
Сложим эти два выражения:
$(sin^2a + 2sinacosa + cos^2a) + (sin^2a - 2sinacosa + cos^2a) = sin^2a + cos^2a + sin^2a + cos^2a + 2sinacosa - 2sinacosa$.
Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $sin^2a + cos^2a = 1$:
$(sin^2a + cos^2a) + (sin^2a + cos^2a) = 1 + 1 = 2$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

5) Для доказательства тождества $sin^3x(1 + ctgx) + cos^3x(1 + tgx) = sinx + cosx$ преобразуем левую часть.
Заменим $ctgx = \frac{cosx}{sinx}$ и $tgx = \frac{sinx}{cosx}$.
$sin^3x(1 + \frac{cosx}{sinx}) + cos^3x(1 + \frac{sinx}{cosx}) = sin^3x \cdot 1 + sin^3x \frac{cosx}{sinx} + cos^3x \cdot 1 + cos^3x \frac{sinx}{cosx}$.
$sin^3x + sin^2x cosx + cos^3x + cos^2x sinx$.
Сгруппируем слагаемые: $(sin^3x + cos^3x) + (sin^2x cosx + cos^2x sinx)$.
Разложим на множители каждую группу. Сумма кубов: $sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(sin^2x - sinxcosx + cos^2x) = (sinx + cosx)(1 - sinxcosx)$.
Вторая группа: $sin^2x cosx + cos^2x sinx = sinxcosx(sinx + cosx)$.
Подставим обратно в выражение:
$(sinx + cosx)(1 - sinxcosx) + sinxcosx(sinx + cosx)$.
Вынесем общий множитель $(sinx + cosx)$ за скобки:
$(sinx + cosx)((1 - sinxcosx) + sinxcosx) = (sinx + cosx)(1) = sinx + cosx$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

6) Для доказательства тождества $\frac{(sina + cosa)^2 - 1}{ctga - sinacosa} = 2tg^2a$ преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части.
Числитель: $(sina + cosa)^2 - 1 = (sin^2a + 2sinacosa + cos^2a) - 1$.
Так как $sin^2a + cos^2a = 1$, получаем: $(1 + 2sinacosa) - 1 = 2sinacosa$.
Знаменатель: $ctga - sinacosa = \frac{cosa}{sina} - sinacosa$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{cosa}{sina} - \frac{sin^2acosa}{sina} = \frac{cosa - sin^2acosa}{sina}$.
Вынесем $cosa$ в числителе за скобку: $\frac{cosa(1 - sin^2a)}{sina}$.
Используя тождество $1 - sin^2a = cos^2a$, получаем: $\frac{cosa \cdot cos^2a}{sina} = \frac{cos^3a}{sina}$.
Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:
$\frac{2sinacosa}{\frac{cos^3a}{sina}} = 2sinacosa \cdot \frac{sina}{cos^3a} = \frac{2sin^2acosa}{cos^3a} = \frac{2sin^2a}{cos^2a}$.
Так как $\frac{sin^2a}{cos^2a} = tg^2a$, выражение равно $2tg^2a$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.