Номер 22.4, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.4. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} - 1;$

2) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} - 1;$

3) $\frac{1}{1 - \cos \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha};$

4) $\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha};$

5) $\frac{1 - \operatorname{ctg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha};$

6) $\frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{ctg} \alpha - 1};$

7) $\frac{1}{1 + \sin \alpha} - \frac{1}{1 - \sin \alpha};$

8) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha + 1};$

9) $\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha;$

10) $\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \operatorname{tg} \alpha;$

11) $\frac{\sin \beta}{1 - \cos \beta} + \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta};$

12) $\frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta}.$

1) Для упрощения выражения используем основное тригонометрическое тождество $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\tg\alpha} - 1 = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} - 1 = \frac{\sin\alpha\cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha} - 1 = \cos^2\alpha - 1$.
Из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$.
Ответ: $-\sin^2\alpha$.

2) Используем тождество $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\ctg\alpha} - 1 = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} - 1 = \frac{\sin\alpha\cos\alpha \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha} - 1 = \sin^2\alpha - 1$.
Из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$.
Ответ: $-\cos^2\alpha$.

3) Приводим дроби к общему знаменателю $(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha) = 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
$\frac{1}{1-\cos\alpha} - \frac{1}{1+\cos\alpha} = \frac{1+\cos\alpha}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)} - \frac{1-\cos\alpha}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)} = \frac{(1+\cos\alpha) - (1-\cos\alpha)}{1-\cos^2\alpha} = \frac{1+\cos\alpha-1+\cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$.

4) Заменяем $\tg\alpha$ и $\ctg\alpha$ через синус и косинус.
$\frac{1+\tg\alpha}{1+\ctg\alpha} = \frac{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tg\alpha$.
Ответ: $\tg\alpha$.

5) Заменяем $\ctg\alpha$ и $\tg\alpha$ через синус и косинус.
$\frac{1-\ctg\alpha}{1-\tg\alpha} = \frac{1-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{-(\sin\alpha-\cos\alpha)} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\ctg\alpha$.
Ответ: $-\ctg\alpha$.

6) Заменяем $\tg\alpha$ и $\ctg\alpha$ через синус и косинус.
$\frac{\tg\alpha-1}{\ctg\alpha-1} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-1} = \frac{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\sin\alpha}} = \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{-(\sin\alpha-\cos\alpha)} = -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tg\alpha$.
Ответ: $-\tg\alpha$.

7) Приводим дроби к общему знаменателю $(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.
$\frac{1}{1+\sin\alpha} - \frac{1}{1-\sin\alpha} = \frac{1-\sin\alpha}{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)} - \frac{1+\sin\alpha}{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)} = \frac{(1-\sin\alpha)-(1+\sin\alpha)}{1-\sin^2\alpha} = \frac{1-\sin\alpha-1-\sin\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{-2\sin\alpha}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{-2\sin\alpha}{\cos^2\alpha}$.

8) Заменяем $\ctg\alpha$ и $\tg\alpha$ через синус и косинус.
$\frac{\ctg\alpha+1}{\tg\alpha+1} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1} = \frac{\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \ctg\alpha$.
Ответ: $\ctg\alpha$.

9) Заменяем $\ctg\alpha$ на $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и приводим к общему знаменателю.
$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \ctg\alpha = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos\alpha(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha + \cos\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)} = \frac{1}{\sin\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\sin\alpha}$.

10) Заменяем $\tg\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и приводим к общему знаменателю.
$\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} - \tg\alpha = \frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin\alpha(1-\sin\alpha)}{\cos\alpha(1-\sin\alpha)} = \frac{\cos^2\alpha - \sin\alpha + \sin^2\alpha}{\cos\alpha(1-\sin\alpha)} = \frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha(1-\sin\alpha)} = \frac{1}{\cos\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos\alpha}$.

11) Приводим дроби к общему знаменателю $(1-\cos\beta)(1+\cos\beta) = 1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.
$\frac{\sin\beta}{1-\cos\beta} + \frac{\sin\beta}{1+\cos\beta} = \frac{\sin\beta(1+\cos\beta) + \sin\beta(1-\cos\beta)}{(1-\cos\beta)(1+\cos\beta)} = \frac{\sin\beta+\sin\beta\cos\beta+\sin\beta-\sin\beta\cos\beta}{1-\cos^2\beta} = \frac{2\sin\beta}{\sin^2\beta} = \frac{2}{\sin\beta}$.
Ответ: $\frac{2}{\sin\beta}$.

12) Приводим дроби к общему знаменателю $(1+\sin\beta)(1-\sin\beta) = 1 - \sin^2\beta = \cos^2\beta$.
$\frac{\cos\beta}{1+\sin\beta} + \frac{\cos\beta}{1-\sin\beta} = \frac{\cos\beta(1-\sin\beta) + \cos\beta(1+\sin\beta)}{(1+\sin\beta)(1-\sin\beta)} = \frac{\cos\beta-\cos\beta\sin\beta+\cos\beta+\cos\beta\sin\beta}{1-\sin^2\beta} = \frac{2\cos\beta}{\cos^2\beta} = \frac{2}{\cos\beta}$.
Ответ: $\frac{2}{\cos\beta}$.