Номер 21.28, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 21. Тригонометрические функции и их свойства. Глава IV. Тригонометрия. Часть 2 - номер 21.28, страница 34.

Условие рус.

21.28. Значение суммы катетов прямоугольного треугольника равно 79 см. Если длину одного из катетов увеличить на 23 см, другой уменьшить на 11 см, то полученный прямоугольный и данный треугольники будут иметь одинаковые длины гипотенуз. Найдите длины катетов данного треугольника.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть длины катетов данного прямоугольного треугольника равны $a$ см и $b$ см.

Согласно условию задачи, сумма длин катетов равна 79 см. Это можно записать в виде уравнения:

$a + b = 79$

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $c$ исходного треугольника равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2$

Далее, если длину одного из катетов (например, $a$) увеличить на 23 см, а длину другого ($b$) уменьшить на 11 см, то получатся катеты нового прямоугольного треугольника: $(a + 23)$ см и $(b - 11)$ см. По условию, гипотенуза нового треугольника равна гипотенузе исходного. Запишем теорему Пифагора для нового треугольника:

$c^2 = (a + 23)^2 + (b - 11)^2$

Поскольку левые части обоих уравнений Пифагора равны ($c^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + b^2 = (a + 23)^2 + (b - 11)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$a^2 + b^2 = (a^2 + 46a + 529) + (b^2 - 22b + 121)$

Упростим уравнение, вычтя $a^2$ и $b^2$ из обеих частей:

$0 = 46a - 22b + 529 + 121$

$0 = 46a - 22b + 650$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а числовое значение в другую:

$22b - 46a = 650$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$11b - 23a = 325$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 79 \\ -23a + 11b = 325 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 79 - a$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$11(79 - a) - 23a = 325$

$869 - 11a - 23a = 325$

$869 - 34a = 325$

$34a = 869 - 325$

$34a = 544$

$a = \frac{544}{34}$

$a = 16$

Теперь найдем длину второго катета $b$, подставив значение $a$ в выражение $b = 79 - a$:

$b = 79 - 16 = 63$

Таким образом, длины катетов исходного треугольника равны 16 см и 63 см.

Проверим полученное решение. Сумма катетов: $16 + 63 = 79$ см. Квадрат гипотенузы исходного треугольника: $c^2 = 16^2 + 63^2 = 256 + 3969 = 4225$. Новые катеты: $16 + 23 = 39$ см и $63 - 11 = 52$ см. Квадрат гипотенузы нового треугольника: $39^2 + 52^2 = 1521 + 2704 = 4225$. Квадраты гипотенуз равны, значит, и гипотенузы равны. Условия задачи выполнены.

Ответ: 16 см и 63 см.