Номер 21.28, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.28. Значение суммы катетов прямоугольного треугольника равно 79 см. Если длину одного из катетов увеличить на 23 см, другой уменьшить на 11 см, то полученный прямоугольный и данный треугольники будут иметь одинаковые длины гипотенуз. Найдите длины катетов данного треугольника.

Пусть длины катетов данного прямоугольного треугольника равны $a$ см и $b$ см.

Согласно условию задачи, сумма длин катетов равна 79 см. Это можно записать в виде уравнения:

$a + b = 79$

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $c$ исходного треугольника равен сумме квадратов катетов:

$c^2 = a^2 + b^2$

Далее, если длину одного из катетов (например, $a$) увеличить на 23 см, а длину другого ($b$) уменьшить на 11 см, то получатся катеты нового прямоугольного треугольника: $(a + 23)$ см и $(b - 11)$ см. По условию, гипотенуза нового треугольника равна гипотенузе исходного. Запишем теорему Пифагора для нового треугольника:

$c^2 = (a + 23)^2 + (b - 11)^2$

Поскольку левые части обоих уравнений Пифагора равны ($c^2$), мы можем приравнять их правые части:

$a^2 + b^2 = (a + 23)^2 + (b - 11)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$a^2 + b^2 = (a^2 + 46a + 529) + (b^2 - 22b + 121)$

Упростим уравнение, вычтя $a^2$ и $b^2$ из обеих частей:

$0 = 46a - 22b + 529 + 121$

$0 = 46a - 22b + 650$

Перенесем слагаемые с переменными в одну сторону, а числовое значение в другую:

$22b - 46a = 650$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$11b - 23a = 325$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 79 \\ -23a + 11b = 325 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 79 - a$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$11(79 - a) - 23a = 325$

$869 - 11a - 23a = 325$

$869 - 34a = 325$

$34a = 869 - 325$

$34a = 544$

$a = \frac{544}{34}$

$a = 16$

Теперь найдем длину второго катета $b$, подставив значение $a$ в выражение $b = 79 - a$:

$b = 79 - 16 = 63$

Таким образом, длины катетов исходного треугольника равны 16 см и 63 см.

Проверим полученное решение. Сумма катетов: $16 + 63 = 79$ см. Квадрат гипотенузы исходного треугольника: $c^2 = 16^2 + 63^2 = 256 + 3969 = 4225$. Новые катеты: $16 + 23 = 39$ см и $63 - 11 = 52$ см. Квадрат гипотенузы нового треугольника: $39^2 + 52^2 = 1521 + 2704 = 4225$. Квадраты гипотенуз равны, значит, и гипотенузы равны. Условия задачи выполнены.

Ответ: 16 см и 63 см.