Номер 22.3, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.3. Найдите значение выражения:

1)

$1 - \sin\alpha \cos\alpha \text{ctg}\alpha, \text{ если } \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3};$

2)

$\frac{\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha}{\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha}, \text{ если } \text{tg}\alpha = \frac{2}{3};$

3)

$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}, \text{ если } \text{tg}\alpha = \frac{2}{5};$

4)

$\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}, \text{ если } \text{tg}\alpha = \frac{3}{2};$

5)

$\frac{1 - \text{tg}^2\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}, \text{ если } \sin\alpha = \frac{2}{3};$

6)

$\frac{1 - \text{tg}^2\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}, \text{ если } \cos\alpha = -\frac{1}{3}.$

1) Упростим данное выражение, используя определение котангенса $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$1 - \sin\alpha \cos\alpha \operatorname{ctg}\alpha = 1 - \sin\alpha \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1 - \cos^2\alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Таким образом, нам нужно найти значение $\sin^2\alpha$.
По условию $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Тогда $\sin^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Известно, что $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.
Если $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{3}$, то $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.
Подставим значения тангенса и котангенса в выражение:
$\frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{ctg}\alpha} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}}{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{4+9}{6}}{\frac{4-9}{6}} = \frac{\frac{13}{6}}{-\frac{5}{6}} = -\frac{13}{5} = -2.6$.
Ответ: $-2.6$.

3) Разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$ (это возможно, так как если $\cos\alpha = 0$, то $\operatorname{tg}\alpha$ не был бы определен).
$\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\operatorname{tg}\alpha - 1}{\operatorname{tg}\alpha + 1}$.
Подставим значение $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}$:
$\frac{\frac{2}{5} - 1}{\frac{2}{5} + 1} = \frac{\frac{2-5}{5}}{\frac{2+5}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{7}{5}} = -\frac{3}{7}$.
Ответ: $-\frac{3}{7}$.

4) Разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\alpha$ (это возможно, так как если $\cos\alpha = 0$, то $\operatorname{tg}\alpha$ не был бы определен).
$\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2 - 1} = \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}$.
Подставим значение $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{2}$:
$\frac{\frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2 - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{4} - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9-4}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2$.
Ответ: $1.2$.

5) Сначала упростим выражение, используя тождество $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$:
$\frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 - \frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{-( \operatorname{tg}^2\alpha - 1)}{\frac{\operatorname{tg}^2\alpha - 1}{\operatorname{tg}^2\alpha}} = -(\operatorname{tg}^2\alpha - 1) \cdot \frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha - 1} = -\operatorname{tg}^2\alpha$.
Теперь найдем $\operatorname{tg}^2\alpha$, зная, что $\sin\alpha = \frac{2}{3}$.
По основному тригонометрическому тождеству $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Тогда $\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{(2/3)^2}{5/9} = \frac{4/9}{5/9} = \frac{4}{5}$.
Значение исходного выражения равно $-\operatorname{tg}^2\alpha = -\frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{4}{5}$.

6) Выражение $\frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha}$ идентично выражению из предыдущего пункта. Как мы уже показали, оно равно $-\operatorname{tg}^2\alpha$.
Найдем $\operatorname{tg}^2\alpha$, зная, что $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$.
$\cos^2\alpha = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Тогда $\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{8/9}{1/9} = 8$.
Значение исходного выражения равно $-\operatorname{tg}^2\alpha = -8$.
Ответ: $-8$.