Номер 22.1, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.1. Вычислите:

1) $sin\beta$, если $cos\beta = 0,5$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$;

2) $cos\beta$, если $sin\beta = 0,5$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$;

3) $sin\beta$, если $cos\beta = -0,5$ и $90^\circ < \beta < 180^\circ$;

4) $cos\beta$, если $sin\beta = -0,5$ и $180^\circ < \beta < 270^\circ$.

1) Для вычисления $sin\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$. Отсюда $sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$. Подставим данное значение $cos\beta = 0,5$:$sin^2\beta = 1 - (0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.Следовательно, $sin\beta = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.По условию угол $\beta$ находится в интервале $0^\circ < \beta < 90^\circ$, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти синус имеет положительное значение. Значит, $sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

2) Для вычисления $cos\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$. Отсюда $cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$. Подставим данное значение $sin\beta = 0,5$:$cos^2\beta = 1 - (0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.Следовательно, $cos\beta = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.По условию угол $\beta$ находится в интервале $0^\circ < \beta < 90^\circ$, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительное значение. Значит, $cos\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Для вычисления $sin\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$. Отсюда $sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$. Подставим данное значение $cos\beta = -0,5$:$sin^2\beta = 1 - (-0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.Следовательно, $sin\beta = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.По условию угол $\beta$ находится в интервале $90^\circ < \beta < 180^\circ$, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти синус имеет положительное значение. Значит, $sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

4) Для вычисления $cos\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$. Отсюда $cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$. Подставим данное значение $sin\beta = -0,5$:$cos^2\beta = 1 - (-0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$.Следовательно, $cos\beta = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.По условию угол $\beta$ находится в интервале $180^\circ < \beta < 270^\circ$, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательное значение. Значит, $cos\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$