Вопросы, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Произведение каких тригонометрических функций равно 1?

2. Каким тождественным равенством связаны функции синус и косинус?

3. Можно ли, зная значения синуса некоторого угла и его принадлежность некоторой четверти, вычислить значение котангенса этого угла?

1. Единице равно произведение взаимно обратных тригонометрических функций одного и того же угла. Основными парами таких функций являются тангенс и котангенс. Их определения: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Их произведение равно $1$ (при условии, что угол $\alpha$ не является таким, при котором одна из функций не определена):
$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1$.
Другими парами взаимно обратных функций являются синус и косеканс, а также косинус и секанс:
$\sin\alpha \cdot \operatorname{cosec}\alpha = 1$
$\cos\alpha \cdot \sec\alpha = 1$
Ответ: Произведение тангенса и котангенса; синуса и косеканса; косинуса и секанса (для одного и того же угла).

2. Функции синус и косинус связаны одним из фундаментальных соотношений в тригонометрии — основным тригонометрическим тождеством. Оно утверждает, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
Ответ: Основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

3. Да, это возможно. Для вычисления котангенса необходимо знать значения и синуса, и косинуса, так как по определению $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Значение синуса нам известно по условию. Значение косинуса можно найти, используя основное тригонометрическое тождество:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$
$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$
Чтобы выбрать правильный знак («+» или «–») перед корнем, необходимо знать, в какой координатной четверти находится угол. Эта информация дана в условии.
- Если угол находится в I или IV четверти, $\cos\alpha > 0$.
- Если угол находится во II или III четверти, $\cos\alpha < 0$.
Таким образом, зная значение синуса и четверть, мы можем однозначно определить значение косинуса. После этого мы легко вычисляем котангенс, разделив найденный косинус на данный в условии синус.
Ответ: Да, можно.