Номер 23.9, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.9. Найдите знак значения выражения:

1) $ \sin135^\circ \cdot \cos210^\circ \cdot \mathrm{tg}405^\circ \cdot \mathrm{ctg}330^\circ \cdot \cos560^\circ; $

2) $ \sin425^\circ \cdot \cos250^\circ \cdot \mathrm{ctg}420^\circ \cdot \mathrm{tg}330^\circ \cdot \sin750^\circ; $

3) $ \sin\frac{7\pi}{3} \cdot \cos\frac{2\pi}{3} \cdot \mathrm{tg}\frac{9\pi}{4} \cdot \mathrm{ctg}\frac{13\pi}{6} \cdot \cos\frac{7\pi}{4}; $

4) $ \sin\frac{5\pi}{3} \cdot \cos\frac{7\pi}{6} \cdot \mathrm{tg}\frac{11\pi}{4} \cdot \mathrm{ctg}\frac{8\pi}{3} \cdot \sin\frac{11\pi}{6}. $

1) $sin135^\circ \cdot cos210^\circ \cdot tg405^\circ \cdot ctg330^\circ \cdot cos560^\circ$
Для определения знака всего выражения, найдем знак каждого множителя по отдельности, определив, в какой четверти находится угол.
$sin135^\circ$: угол $135^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$), синус во II четверти положителен. $sin135^\circ > 0$.
$cos210^\circ$: угол $210^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$), косинус в III четверти отрицателен. $cos210^\circ < 0$.
$tg405^\circ$: используя периодичность тангенса ($360^\circ$), $tg405^\circ = tg(360^\circ + 45^\circ) = tg45^\circ$. Угол $45^\circ$ находится в I четверти, тангенс в I четверти положителен. $tg405^\circ > 0$.
$ctg330^\circ$: угол $330^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 330^\circ < 360^\circ$), котангенс в IV четверти отрицателен. $ctg330^\circ < 0$.
$cos560^\circ$: используя периодичность косинуса ($360^\circ$), $cos560^\circ = cos(360^\circ + 200^\circ) = cos200^\circ$. Угол $200^\circ$ находится в III четверти, косинус в III четверти отрицателен. $cos560^\circ < 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Ответ: минус.

2) $sin425^\circ \cdot cos250^\circ \cdot ctg420^\circ \cdot tg330^\circ \cdot sin750^\circ$
Определим знак каждого множителя.
$sin425^\circ$: $sin425^\circ = sin(360^\circ + 65^\circ) = sin65^\circ$. Угол $65^\circ$ в I четверти, синус положителен. $sin425^\circ > 0$.
$cos250^\circ$: угол $250^\circ$ в III четверти, косинус отрицателен. $cos250^\circ < 0$.
$ctg420^\circ$: $ctg420^\circ = ctg(360^\circ + 60^\circ) = ctg60^\circ$. Угол $60^\circ$ в I четверти, котангенс положителен. $ctg420^\circ > 0$.
$tg330^\circ$: угол $330^\circ$ в IV четверти, тангенс отрицателен. $tg330^\circ < 0$.
$sin750^\circ$: $sin750^\circ = sin(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = sin30^\circ$. Угол $30^\circ$ в I четверти, синус положителен. $sin750^\circ > 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.
Ответ: плюс.

3) $sin\frac{7\pi}{3} \cdot cos\frac{2\pi}{3} \cdot tg\frac{9\pi}{4} \cdot ctg\frac{13\pi}{6} \cdot cos\frac{7\pi}{4}$
Определим знак каждого множителя.
$sin\frac{7\pi}{3}$: $sin\frac{7\pi}{3} = sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = sin\frac{\pi}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ в I четверти, синус положителен. $sin\frac{7\pi}{3} > 0$.
$cos\frac{2\pi}{3}$: угол $\frac{2\pi}{3}$ во II четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$), косинус отрицателен. $cos\frac{2\pi}{3} < 0$.
$tg\frac{9\pi}{4}$: $tg\frac{9\pi}{4} = tg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = tg\frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{\pi}{4}$ в I четверти, тангенс положителен. $tg\frac{9\pi}{4} > 0$.
$ctg\frac{13\pi}{6}$: $ctg\frac{13\pi}{6} = ctg(2\pi + \frac{\pi}{6}) = ctg\frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ в I четверти, котангенс положителен. $ctg\frac{13\pi}{6} > 0$.
$cos\frac{7\pi}{4}$: угол $\frac{7\pi}{4}$ в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$), косинус положителен. $cos\frac{7\pi}{4} > 0$.
Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Ответ: минус.

4) $sin\frac{5\pi}{3} \cdot cos\frac{7\pi}{6} \cdot tg\frac{11\pi}{4} \cdot ctg\frac{8\pi}{3} \cdot sin\frac{11\pi}{6}$
Определим знак каждого множителя.
$sin\frac{5\pi}{3}$: угол $\frac{5\pi}{3}$ в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$), синус отрицателен. $sin\frac{5\pi}{3} < 0$.
$cos\frac{7\pi}{6}$: угол $\frac{7\pi}{6}$ в III четверти ($\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$), косинус отрицателен. $cos\frac{7\pi}{6} < 0$.
$tg\frac{11\pi}{4}$: $tg\frac{11\pi}{4} = tg(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = tg\frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ во II четверти, тангенс отрицателен. $tg\frac{11\pi}{4} < 0$.
$ctg\frac{8\pi}{3}$: $ctg\frac{8\pi}{3} = ctg(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = ctg\frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ во II четверти, котангенс отрицателен. $ctg\frac{8\pi}{3} < 0$.
$sin\frac{11\pi}{6}$: угол $\frac{11\pi}{6}$ в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$), синус отрицателен. $sin\frac{11\pi}{6} < 0$.
Произведение знаков: $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$. Пять отрицательных множителей дают в произведении отрицательный результат.
Ответ: минус.