Номер 23.18, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.18. Докажите тождество:

1)

$\frac{\operatorname{tg}(\pi - x)}{\cos(\pi + x)} \cdot \frac{\sin(270^\circ + x)}{\operatorname{tg}(270^\circ + x)} = \operatorname{tg}^2x;$

2)

$\frac{\sin(\pi - x)}{\operatorname{tg}(\pi + x)} \cdot \frac{\operatorname{ctg}(270^\circ + x)}{\operatorname{ctg}(270^\circ + x)} \cdot \frac{\cos(2\pi - x)}{\sin x} = \sin x.$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для этого воспользуемся формулами приведения. Напомним, что $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$.
Упростим каждый тригонометрический член выражения по отдельности:
$ \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg}(x) $ (угол $(\pi - x)$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен; функция не меняется, так как прибавляется $\pi$).
$ \text{cos}(\pi + x) = -\text{cos}(x) $ (угол $(\pi + x)$ находится в III четверти, где косинус отрицателен; функция не меняется).
$ \text{sin}(270^\circ + x) = \text{sin}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{cos}(x) $ (угол $(\frac{3\pi}{2} + x)$ находится в IV четверти, где синус отрицателен; функция меняется на кофункцию, так как прибавляется $\frac{3\pi}{2}$).
$ \text{tg}(270^\circ + x) = \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{ctg}(x) $ (угол $(\frac{3\pi}{2} + x)$ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен; функция меняется на кофункцию).
Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:
$ \frac{\text{tg}(\pi - x)}{\text{cos}(\pi + x)} \cdot \frac{\text{sin}(270^\circ + x)}{\text{tg}(270^\circ + x)} = \frac{-\text{tg}(x)}{-\text{cos}(x)} \cdot \frac{-\text{cos}(x)}{-\text{ctg}(x)} $
Сократим минусы и упростим полученное выражение:
$ \frac{\text{tg}(x)}{\text{cos}(x)} \cdot \frac{\text{cos}(x)}{\text{ctg}(x)} = \frac{\text{tg}(x) \cdot \text{cos}(x)}{\text{cos}(x) \cdot \text{ctg}(x)} $
Сократим $ \text{cos}(x) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{\text{tg}(x)}{\text{ctg}(x)} $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)} $, получим:
$ \frac{\text{tg}(x)}{\frac{1}{\text{tg}(x)}} = \text{tg}(x) \cdot \text{tg}(x) = \text{tg}^2(x) $
Мы получили, что левая часть тождества равна правой: $ \text{tg}^2(x) = \text{tg}^2(x) $.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и выражение должно выглядеть следующим образом (в знаменателе второго сомножителя должен быть тангенс): $ \frac{\text{sin}(\pi - x)}{\text{tg}(\pi + x)} \cdot \frac{\text{ctg}(270^\circ + x)}{\text{tg}(270^\circ + x)} \cdot \frac{\text{cos}(2\pi - x)}{\text{sin}(x)} = \text{sin}(x) $. Докажем это исправленное тождество.
Воспользуемся формулами приведения для каждого члена выражения:
$ \text{sin}(\pi - x) = \text{sin}(x) $ (угол во II четверти, синус положителен, функция не меняется).
$ \text{tg}(\pi + x) = \text{tg}(x) $ (угол в III четверти, тангенс положителен, функция не меняется).
$ \text{ctg}(270^\circ + x) = \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{tg}(x) $ (угол в IV четверти, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$ \text{tg}(270^\circ + x) = \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{ctg}(x) $ (угол в IV четверти, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$ \text{cos}(2\pi - x) = \text{cos}(x) $ (угол в IV четверти, косинус положителен, функция не меняется).
Подставим упрощенные выражения в левую часть:
$ \frac{\text{sin}(x)}{\text{tg}(x)} \cdot \frac{-\text{tg}(x)}{-\text{ctg}(x)} \cdot \frac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)} $
Упростим выражение:
$ \frac{\text{sin}(x)}{\text{tg}(x)} \cdot \frac{\text{tg}(x)}{\text{ctg}(x)} \cdot \frac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)} $
Сократим $ \text{sin}(x) $ и $ \text{tg}(x) $:
$ \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\text{ctg}(x)} \cdot \frac{\text{cos}(x)}{1} = \frac{\text{cos}(x)}{\text{ctg}(x)} $
Используя определения тангенса и котангенса $ \text{ctg}(x) = \frac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)} $, получим:
$ \frac{\text{cos}(x)}{\frac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)}} = \text{cos}(x) \cdot \frac{\text{sin}(x)}{\text{cos}(x)} = \text{sin}(x) $
Мы получили, что левая часть тождества равна правой: $ \text{sin}(x) = \text{sin}(x) $.
Ответ: Тождество доказано (с учетом исправления опечатки в условии).