Номер 23.24, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.24. Найдите значение выражения:

1) $ \operatorname{tg}15^{\circ} \cdot \operatorname{tg}210^{\circ} \cdot \operatorname{tg}75^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}330^{\circ}; $

2) $ \operatorname{ctg}35^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}55^{\circ} \cdot \operatorname{tg}420^{\circ} \cdot \operatorname{ctg}300^{\circ}; $

3) $ \sin \frac{4\pi}{3} \cdot \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} \frac{13\pi}{6}; $

4) $ \sin \frac{5\pi}{3} \cdot \cos \frac{5\pi}{6} \cdot \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} \frac{19\pi}{3}. $

1) $\text{tg}15^\circ \cdot \text{tg}210^\circ \cdot \text{tg}75^\circ \cdot \text{ctg}330^\circ$

Сгруппируем множители и используем формулы приведения. Заметим, что $\text{tg}75^\circ = \text{tg}(90^\circ - 15^\circ) = \text{ctg}15^\circ$.

Тогда произведение $\text{tg}15^\circ \cdot \text{tg}75^\circ = \text{tg}15^\circ \cdot \text{ctg}15^\circ = 1$.

Теперь упростим остальные множители:

$\text{tg}210^\circ = \text{tg}(180^\circ + 30^\circ) = \text{tg}30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$\text{ctg}330^\circ = \text{ctg}(360^\circ - 30^\circ) = -\text{ctg}30^\circ = -\sqrt{3}$.

Перемножим все значения:

$(\text{tg}15^\circ \cdot \text{tg}75^\circ) \cdot \text{tg}210^\circ \cdot \text{ctg}330^\circ = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-\sqrt{3}) = -1$.

Ответ: $-1$.

2) $\text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}55^\circ \cdot \text{tg}420^\circ \cdot \text{ctg}300^\circ$

Сгруппируем множители. Используем формулу приведения $\text{ctg}55^\circ = \text{ctg}(90^\circ - 35^\circ) = \text{tg}35^\circ$.

Тогда произведение $\text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}55^\circ = \text{ctg}35^\circ \cdot \text{tg}35^\circ = 1$.

Упростим остальные множители:

$\text{tg}420^\circ = \text{tg}(360^\circ + 60^\circ) = \text{tg}60^\circ = \sqrt{3}$.

$\text{ctg}300^\circ = \text{ctg}(360^\circ - 60^\circ) = -\text{ctg}60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Перемножим все значения:

$(\text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}55^\circ) \cdot \text{tg}420^\circ \cdot \text{ctg}300^\circ = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -1$.

Ответ: $-1$.

3) $\sin\frac{4\pi}{3} \cdot \cos\frac{2\pi}{3} \cdot \text{ctg}\frac{7\pi}{4} \cdot \text{tg}\frac{13\pi}{6}$

Найдем значение каждого множителя, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

$\sin\frac{4\pi}{3} = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

$\text{ctg}\frac{7\pi}{4} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{4} = -1$.

$\text{tg}\frac{13\pi}{6} = \text{tg}(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь перемножим полученные значения:

$(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

4) $\sin\frac{5\pi}{3} \cdot \cos\frac{5\pi}{6} \cdot \text{ctg}\frac{11\pi}{4} \cdot \text{tg}\frac{19\pi}{3}$

Найдем значение каждого множителя, используя формулы приведения и периодичность.

$\sin\frac{5\pi}{3} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\text{ctg}\frac{11\pi}{4} = \text{ctg}(2\pi + \frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}\frac{3\pi}{4} = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{4} = -1$.

$\text{tg}\frac{19\pi}{3} = \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Перемножим полученные значения:

$(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-1) \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{4} \cdot (-1) \cdot \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$.