Номер 23.29, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.29. Постройте график функции:

1) $y = 3x^2 - 2|x|;$

2) $y = -x^2 - 2|x|;$

3) $y = x^2 - 2|x - 1|;$

4) $y = x^2 - |x + 2|.$

1) Построить график функции $y = 3x^2 - 2|x|$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 3(-x)^2 - 2|-x| = 3x^2 - 2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем зеркально отразить его относительно оси OY.

Раскроем модуль для $x \ge 0$:
При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 3x^2 - 2x$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.
$y_v = 3(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.
Найдем нули функции на этом участке: $3x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(3x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=\frac{2}{3}$.

Для $x < 0$ из-за симметрии функция будет иметь вид $y = 3x^2 + 2x$. Вершина этой параболы находится в точке $(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$, а нули в точках $x=0$ и $x=-\frac{2}{3}$.

Объединяя две части, получаем график, состоящий из двух ветвей парабол, соединенных в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции построен.

2) Построить график функции $y = -x^2 - 2|x|$.

Эта функция также является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 - 2|-x| = -x^2 - 2|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Построим его для $x \ge 0$ и отразим.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = -x^2 - 2x$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.
Эта вершина не попадает в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$. На этом промежутке функция монотонно убывает.
Найдем значение в точке $x=0$: $y(0) = 0$.

Для $x < 0$ из-за симметрии функция будет иметь вид $y = -x^2 + 2x$. Вершина этой параболы находится в точке $x_v=1$, что также не входит в промежуток $x < 0$. На этом промежутке функция монотонно возрастает.

Максимальное значение функция достигает в точке $(0, 0)$. График состоит из двух симметричных дуг парабол.

Ответ: График функции построен.

3) Построить график функции $y = x^2 - 2|x - 1|$.

В этой функции модуль содержит выражение $x-1$. Раскроем его, рассмотрев два случая. Точка "переключения" - $x=1$.

Случай 1: $x \ge 1$.
В этом случае $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 2(x - 1) = x^2 - 2x + 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$.
Вершина находится в точке $(1, 1)$, которая является начальной точкой для этого участка графика.

Случай 2: $x < 1$.
В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 2(1-x) = x^2 + 2x - 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$.
Вершина находится в точке $(-1, -3)$. Эта точка является локальным минимумом всей функции.

График состоит из двух частей парабол, состыкованных в точке $(1, 1)$.

Ответ: График функции построен.

4) Построить график функции $y = x^2 - |x + 2|$.

Раскроем модуль, который зависит от выражения $x+2$. Точка "переключения" - $x=-2$.

Случай 1: $x \ge -2$.
В этом случае $|x+2| = x+2$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - (x+2) = x^2 - x - 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.
$y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25$.
Вершина находится в точке $(\frac{1}{2}, -2.25)$, которая является глобальным минимумом функции.

Случай 2: $x < -2$.
В этом случае $|x+2| = -(x+2) = -x-2$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - (-x-2) = x^2 + x + 2$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.
Вершина находится в точке $(-\frac{1}{2}, 1.75)$. Эта точка не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < -2$. На этом промежутке функция монотонно убывает.

График состоит из двух частей парабол, состыкованных в точке $x=-2$.
Значение в точке стыка: $y(-2) = (-2)^2 - |-2+2| = 4$. Точка стыка - $(-2, 4)$.

Ответ: График функции построен.