Номер 24.1, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.1. Упростите выражение:

1) $\sin(60^\circ + \alpha) + \sin(\alpha - 60^\circ)$;

2) $\cos(60^\circ + \alpha) + \cos(\alpha - 60^\circ)$;

3) $\sin(30^\circ + \alpha) - \sin(30^\circ - \alpha)$;

4) $\cos(30^\circ + \alpha) - \cos(30^\circ - \alpha)$;

5) $\cos2\phi \cos3\phi + \sin2\phi \sin3\phi$;

6) $\sin\gamma \cos2\gamma - \cos\gamma \sin2\gamma$;

7) $\cos\frac{1}{3}\alpha \cos\frac{2}{3}\alpha - \sin\frac{1}{3}\alpha \sin\frac{2}{3}\alpha$;

8) $\sin\frac{1}{2}\gamma \cos\frac{3}{2}\gamma + \cos\frac{1}{2}\gamma \sin\frac{3}{2}\gamma$.

1) Для упрощения выражения $\sin(60° + \alpha) + \sin(\alpha - 60°)$ воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin(\frac{x+y}{2}) \cos(\frac{x-y}{2})$. Пусть $x = 60° + \alpha$ и $y = \alpha - 60°$. Тогда полусумма аргументов равна $\frac{(60° + \alpha) + (\alpha - 60°)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$, а полуразность равна $\frac{(60° + \alpha) - (\alpha - 60°)}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$. Подставляя в формулу, получаем $2 \sin(\alpha) \cos(60°)$. Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, имеем $2 \sin(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = \sin(\alpha)$.
Ответ: $\sin(\alpha)$.

2) Для выражения $\cos(60° + \alpha) + \cos(\alpha - 60°)$ применим формулу суммы косинусов: $\cos(x) + \cos(y) = 2 \cos(\frac{x+y}{2}) \cos(\frac{x-y}{2})$. Пусть $x = 60° + \alpha$ и $y = \alpha - 60°$. Полусумма аргументов: $\frac{(60° + \alpha) + (\alpha - 60°)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$. Полуразность аргументов: $\frac{(60° + \alpha) - (\alpha - 60°)}{2} = \frac{120°}{2} = 60°$. Выражение принимает вид $2 \cos(\alpha) \cos(60°)$. Так как $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем $2 \cos(\alpha) \cdot \frac{1}{2} = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$.

3) Для выражения $\sin(30° + \alpha) - \sin(30° - \alpha)$ воспользуемся формулой разности синусов: $\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos(\frac{x+y}{2}) \sin(\frac{x-y}{2})$. Пусть $x = 30° + \alpha$ и $y = 30° - \alpha$. Полусумма аргументов: $\frac{(30° + \alpha) + (30° - \alpha)}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$. Полуразность аргументов: $\frac{(30° + \alpha) - (30° - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$. Подставляя в формулу, получаем $2 \cos(30°) \sin(\alpha)$. Зная, что $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, имеем $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{3}\sin(\alpha)$.
Ответ: $\sqrt{3}\sin(\alpha)$.

4) Для выражения $\cos(30° + \alpha) - \cos(30° - \alpha)$ применим формулу разности косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2 \sin(\frac{x+y}{2}) \sin(\frac{x-y}{2})$. Пусть $x = 30° + \alpha$ и $y = 30° - \alpha$. Полусумма аргументов: $\frac{(30° + \alpha) + (30° - \alpha)}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$. Полуразность аргументов: $\frac{(30° + \alpha) - (30° - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$. Выражение принимает вид $-2 \sin(30°) \sin(\alpha)$. Так как $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем $-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin(\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$.

5) Выражение $\cos(2\phi)\cos(3\phi) + \sin(2\phi)\sin(3\phi)$ соответствует правой части формулы косинуса разности: $\cos(y-x) = \cos(y)\cos(x) + \sin(y)\sin(x)$. Пусть $y=3\phi$ и $x=2\phi$. Тогда выражение равно $\cos(3\phi - 2\phi) = \cos(\phi)$. Альтернативно, можно использовать $\cos(x-y)$, что даст $\cos(2\phi-3\phi) = \cos(-\phi) = \cos(\phi)$, так как косинус - четная функция.
Ответ: $\cos(\phi)$.

6) Выражение $\sin(\gamma)\cos(2\gamma) - \cos(\gamma)\sin(2\gamma)$ соответствует формуле синуса разности: $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$. В данном случае $x=\gamma$ и $y=2\gamma$. Тогда выражение равно $\sin(\gamma - 2\gamma) = \sin(-\gamma)$. Поскольку функция синус является нечетной, $\sin(-\gamma) = -\sin(\gamma)$.
Ответ: $-\sin(\gamma)$.

7) Выражение $\cos(\frac{1}{3}\alpha)\cos(\frac{2}{3}\alpha) - \sin(\frac{1}{3}\alpha)\sin(\frac{2}{3}\alpha)$ соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$. В данном случае $x=\frac{1}{3}\alpha$ и $y=\frac{2}{3}\alpha$. Тогда выражение равно $\cos(\frac{1}{3}\alpha + \frac{2}{3}\alpha) = \cos(\frac{3}{3}\alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$.

8) Выражение $\sin(\frac{1}{2}\gamma)\cos(\frac{3}{2}\gamma) + \cos(\frac{1}{2}\gamma)\sin(\frac{3}{2}\gamma)$ соответствует формуле синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$. В данном случае $x=\frac{1}{2}\gamma$ и $y=\frac{3}{2}\gamma$. Тогда выражение равно $\sin(\frac{1}{2}\gamma + \frac{3}{2}\gamma) = \sin(\frac{4}{2}\gamma) = \sin(2\gamma)$.
Ответ: $\sin(2\gamma)$.