Номер 24.3, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.3. Вычислите:

1) $\cos \frac{8\pi}{15} \cdot \cos \frac{\pi}{5} + \sin \frac{8\pi}{15} \cdot \sin \frac{\pi}{5}$;

2) $\cos \frac{1}{10}\pi \cdot \cos \frac{2}{5}\pi - \sin \frac{1}{10}\pi \cdot \sin \frac{2}{5}\pi$;

3) $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin \frac{\pi}{12}$;

4) $\sin \frac{1}{9}\pi \cdot \cos \frac{4}{9}\pi - \cos \frac{1}{9}\pi \cdot \sin \frac{4}{9}\pi$.

1)

Данное выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{8\pi}{15}$ и $\beta = \frac{\pi}{5}$.
Применим формулу:
$cos\frac{8\pi}{15} \cdot cos\frac{\pi}{5} + sin\frac{8\pi}{15} \cdot sin\frac{\pi}{5} = cos(\frac{8\pi}{15} - \frac{\pi}{5})$.
Приведем дроби к общему знаменателю 15: $\frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{15}$.
Вычислим разность углов: $\frac{8\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, выражение равно $cos(\frac{\pi}{3})$.
Значение $cos(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta - sin\alpha \cdot sin\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{1}{10}\pi$ и $\beta = \frac{2}{5}\pi$.
Применим формулу:
$cos\frac{1}{10}\pi \cdot cos\frac{2}{5}\pi - sin\frac{1}{10}\pi \cdot sin\frac{2}{5}\pi = cos(\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi}{5})$.
Приведем дроби к общему знаменателю 10: $\frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{10}$.
Вычислим сумму углов: $\frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, выражение равно $cos(\frac{\pi}{2})$.
Значение $cos(\frac{\pi}{2})$ равно 0.
Ответ: 0.

3)

Данное выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.
Применим формулу:
$sin\frac{\pi}{6} \cdot cos\frac{\pi}{12} + cos\frac{\pi}{6} \cdot sin\frac{\pi}{12} = sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12})$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}$.
Вычислим сумму углов: $\frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.
Таким образом, выражение равно $sin(\frac{\pi}{4})$.
Значение $sin(\frac{\pi}{4})$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4)

Данное выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{1}{9}\pi$ и $\beta = \frac{4}{9}\pi$.
Применим формулу:
$sin\frac{1}{9}\pi \cdot cos\frac{4}{9}\pi - cos\frac{1}{9}\pi \cdot sin\frac{4}{9}\pi = sin(\frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{9})$.
Вычислим разность углов: $\frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{9} = -\frac{3\pi}{9} = -\frac{\pi}{3}$.
Таким образом, выражение равно $sin(-\frac{\pi}{3})$.
Используя свойство нечетности синуса, $sin(-x) = -sin(x)$, получаем: $sin(-\frac{\pi}{3}) = -sin(\frac{\pi}{3})$.
Значение $sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, искомое значение равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.