Номер 24.8, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.8. Используя формулы сложения, вычислите:

1) $ \sin 15^\circ $;

2) $ \sin 75^\circ $;

3) $ \cos 15^\circ $;

4) $ \cos 75^\circ $;

5) $ \text{tg} 15^\circ $;

6) $ \text{tg} 75^\circ $;

7) $ \text{ctg} 15^\circ $;

8) $ \text{ctg} 75^\circ $.

1) sin15°;Для вычисления представим $15°$ как разность $45° - 30°$. Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin15° = \sin(45° - 30°) = \sin45° \cos30° - \cos45° \sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

2) sin75°;Для вычисления представим $75°$ как сумму $45° + 30°$. Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin75° = \sin(45° + 30°) = \sin45° \cos30° + \cos45° \sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

3) cos15°;Для вычисления представим $15°$ как разность $45° - 30°$. Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.
$\cos15° = \cos(45° - 30°) = \cos45° \cos30° + \sin45° \sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

4) cos75°;Для вычисления представим $75°$ как сумму $45° + 30°$. Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
$\cos75° = \cos(45° + 30°) = \cos45° \cos30° - \sin45° \sin30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

5) tg15°;Для вычисления представим $15°$ как разность $45° - 30°$. Используем формулу тангенса разности: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$.
$\tan15° = \tan(45° - 30°) = \frac{\tan45° - \tan30°}{1 + \tan45° \tan30°} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$.
Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(3 - \sqrt{3})$:
$\frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

6) tg75°;Для вычисления представим $75°$ как сумму $45° + 30°$. Используем формулу тангенса суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.
$\tan75° = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan45° + \tan30°}{1 - \tan45° \tan30°} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$.
Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(3 + \sqrt{3})$:
$\frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

7) ctg15°;Используем тот факт, что $\cot15° = \frac{1}{\tan15°}$. Из пункта 5 мы знаем, что $\tan15° = 2 - \sqrt{3}$.
$\cot15° = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

8) ctg75°;Используем тот факт, что $\cot75° = \frac{1}{\tan75°}$. Из пункта 6 мы знаем, что $\tan75° = 2 + \sqrt{3}$.
$\cot75° = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.